18.3.2 分式的混合运算-课件-2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式的混合运算，核心知识点涵盖运算顺序（先乘方再乘除后加减，有括号先算括号）、运算技巧（因式分解、分步化简）及运算原则（结果最简、分母不为零）。课堂导入通过具体计算问题引导学生类比有理数混合运算，建立前后知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于分层练习设计与实际应用结合，通过例2分步推理培养运算能力和推理意识，例3行程问题强化应用意识。课堂小结系统梳理方法，学生能提升运算与解决问题能力，教师可借助系统练习和详细解析高效开展教学。

人教版（新教材）数学八年级上册 第十八章 分式 18.3.2 分式的混合运算 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/2 人教版八年级上册18.3.2分式的混合运算专项练习 一、核心知识点梳理 1. 分式混合运算顺序：与有理数混合运算一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内部的运算。严格遵循运算层级，禁止越级运算。 2. 核心运算技巧：运算前优先对分子、分母的多项式进行因式分解，方便后续通分、约分；乘除运算统一转化为乘法，加减运算需通分统一分母，分步运算、步步化简，不积累复杂算式。 3. 运算基本原则：所有运算结果必须化为最简分式或整式；化简求值题型中，需保证代入的未知数取值使原分式所有分母不为零，保证分式有意义。 二、基础巩固练习（每题6分，共30分） 1. 计算：$$\frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{x-1}$$ 2. 计算：$$\left(\frac{2}{x}\right)^2 \cdot \frac{x^3}{4}+\frac{1}{x}$$ 3. 计算：$$\frac{a}{a+1} \div \frac{a^2}{a^2-1}$$ 4. 计算：$$\frac{1}{x-3}+\frac{x}{3-x}$$ 5. 化简：$$\frac{x+2}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2-4}$$ 三、能力提升练习（每题10分，共40分） 6. 计算：$$\left(1-\frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{x^2-1}{x}$$ 7. 计算：$$\frac{x^2-4}{x^2+2x} \div \left(\frac{4}{x}-1\right)$$ 8. 先化简，再求值：$$\left(\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}\right) \cdot \frac{a^2-1}{2a}$$，其中$$a=3$$。 9. 先化简，再求值：$$\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \div \left(1-\frac{3}{x}\right)$$，其中$$x=6$$。 四、综合应用练习（15分） 10. 已知甲、乙两人完成同一项任务，甲的工作效率为$$\frac{x}{x+1}$$，乙的工作效率比甲慢$$\frac{1}{x^2-1}$$，求甲、乙两人的工作效率之和，并化简结果。 五、参考答案与详细解析 1. 解析：同分母分式相减，分母不变，分子合并，原式$$=\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x$$，约分后得整式结果。 2. 解析：先算乘方，再算乘法，最后算加法，原式$$=\frac{4}{x^2} \cdot \frac{x^3}{4}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}$$。 3. 解析：除法变乘法，因式分解约分，原式$$=\frac{a}{a+1} \cdot \frac{(a+1)(a-1)}{a^2}=\frac{a-1}{a}$$。 4. 解析：统一分母符号，原式$$=\frac{1}{x-3}-\frac{x}{x-3}=\frac{1-x}{x-3}=\frac{x-1}{3-x}$$。 5. 解析：因式分解后约分，原式$$=\frac{x+2}{x} \cdot \frac{x^2}{(x+2)(x-2)}=\frac{x}{x-2}$$。 6. 解析：先算括号内减法，再算乘法，原式$$=\frac{x}{x+1} \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}=x-1$$，整体约分简化运算。 7. 解析：分别化简前后式子，原式$$=\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} \div \frac{4-x}{x}=\frac{x-2}{x} \cdot \frac{x}{4-x}=\frac{x-2}{4-x}$$。 8. 解析：括号内异分母通分相加，再乘法约分，原式$$=\frac{a+1+a-1}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{2a}=\frac{2a}{2a}=1$$，代入$$a=3$$，结果为1。 9. 解析：因式分解并化简括号内式子，原式$$=\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)} \div \frac{x-3}{x}=\frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{x}{x-3}=\frac{x}{x+3}$$，代入$$x=6$$，得$$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$。 10. 解析：先求出乙的效率，再求和。乙效率：$$\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x^2-1}$$，效率和：$$\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x+1}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}$$，通分化简得$$\frac{2x(x-1)-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x^2-2x-1}{x^2-1}$$。答：甲乙效率和为$$\frac{2x^2-2x-1}{x^2-1}$$。 六、易错总结 1. 运算顺序混乱，先算加减后算乘方、乘除，违背混合运算规则；2. 括号运算遗漏，未优先计算括号内式子，直接展开运算出错；3. 符号处理失误，分母互为相反数时符号转换错误，减法变加法遗漏负号；4. 因式分解不彻底，约分不完整，最终结果未化为最简形式；5. 化简求值忽略分式有意义条件，代入使分母为零的数值，解题不严谨。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 类比数的混合运算顺序明确分式的混合运算顺序； 能正确、合理、灵活地进行分式的混合运算，提高运算能力. 计算：(– 2)2×4 – 9 ÷(-3)2 解：原式 =____________ =____________ =____________ 4×4 – 9÷9 16 – 1 15 先乘方 再乘除 后加减 有理数的混合运算中，如果有括号，先算括号里的运算. 知识点1 分式的混合运算 情境导入 计算： 这道题包含了哪些运算？ 运算顺序又是怎样的？ 分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，如果有括号先进行括号里的运算. 运算结果要化为最简分式或整式. 情境导入 例1（教材P153例3）计算： 先_____， 再____， 然后_____ 乘方 乘除 加减 (1) 解：原式 探究点1：分式的混合运算 探究新知 返回 x－2 举一反三 6 返回 2.计算 的正确结果是( ) B A. B. C. D. 举一反三 7 返回 3.计算 的结果是( ) C A. B. C.1 D. 举一反三 8 例2 计算： 解：原式 分析：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并将其看作分母是“1”的式子. 即 先算括号里的加法，再算括号外的乘法 探究点1：分式的混合运算 探究新知 【对应训练】 1.计算： 问题2：你还有其他更简便的解法吗？ 解：原式= 总结：分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算，注意使用运算律. 探究点1：分式的混合运算 探究新知 2. 化简： . 探究点1：分式的混合运算 探究新知 返回 4.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 举一反三 12 举一反三 13 （2） ； 举一反三 14 例3 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地. 张华在前半段路程的平均行走速度是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度是 km/h. 如果 a≠b，两人谁先到达乙地? 解：设从甲地到乙地的路程为 s km，张华从甲地到乙地的时间(单位：h)为 探究点2：分式的混合运算的实际应用 探究新知 李明从甲地到乙地的时间(单位：h)为 两人的时间差为 因为 s，a，b 均大于 0，且 a≠b，所以 因此，李明先到达乙地. 探究点2：分式的混合运算的实际应用 探究新知 返回 举一反三 17 返回 举一反三 18 7. 一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需 天 完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 19 分式混合运算 混合运算 应用 关键是明确运算种类及运算顺序 明确运 算顺序 1. 同级运算自左向右进行； 2. 运算律可简化运算 运算方法及技巧 技巧 注意 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1．扬州中考计算：÷＝________． 解: 原式＝÷ ＝÷ ＝÷ ＝·＝. 5．化简：(1)泸州中考÷； 解: 原式＝·－＝－＝1. 解: 原式＝· ＝· ＝. (3)苏州中考节选·. 解：原式＝(x＋1)(x－1) ＝(x＋1)(x－1)· ＝(x＋2)(x－1) ＝x2＋x－2. 当x＝2时，原式＝22＋2－2＝4. 6．山东中考先化简，再求值：(x2－1)·，其中x＝2. $