学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用，范围：新教材北师大版九上第一～二章）

**基本信息** 深圳专用九年级9月学情卷聚焦北师大版九上第一~二章，以一元二次方程与特殊四边形为核心，通过社会热点情境（如电影票房、侨批文化打卡）、新定义探究（等邻边四边形）及材料阅读题，考查运算能力、推理意识与模型意识，适配月考学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8/24|一元二次方程配方、矩形性质|基础概念辨析，如第1题配方求参数| |填空|5/15|菱形性质、根与系数关系|几何动态问题，如第11题菱形中动点最值| |解答|7/61|方程应用、四边形判定与探究|结合电影票房增长率（第17题）、新定义“等邻边四边形”（第18题）及韦达定理材料题（第19题），体现数学思维与应用意识|

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专 用) 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1 3 4 5 6 7 8 B C B D B A 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 5 9.2 10.4 11.2 12.x=2027 13.①③④ 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题6分，15题7分，16-17题每题8分，18-19题每题10 分，20题12分。 14.【解析】(1)解：x2-5x=0 x(x-5)=0 x=0或x-5=0. :=05=5 (2)解：x2-7x+6=0 (x-6)(x-1)=0 x-6=0或x-1=0, :5=1为=6 (3)解：(x+3)°=2x+5 1/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x2+6x+9-2x-5=0 x2+4x+4=0 (x+2}2=0 x+2=0. ,=x2=-2 (6分) 15.【解析】(1)证明：，四边形ABCD为菱形， .AD∥BC,AD=BC, AD∥HE BH=CE, .BH+CH=CE+CH, .BC=HE. .AD=HE, AD∥HE 又 ∴.四边形AHED为平行四边形， :AH⊥BC, .∠AHC=90°， ∴.四边形AHED为矩形 (2)解：：四边形ABCD为菱形，周长为20， .AB=BC=5, :菱形ABCD的面积为24， S菱形HBcD=BC·AH=24 .5AH=24. 期头 AH⊥BC, 2/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠AHB=90° 在Rt△ABH中，∠AHB=90° CH=BC-BH=5子=5(7分) 16.【解析】(1)解：设P、O两点从出发开始到x秒时四边形PBC9的面积为33cm2, PB=(16-3x)cm QC=2xcm 根据梯形的面积公式得2(16-3x+2x)×6=33(cm), 解之得x=5, 答：卫、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBC0的面积为33cm2: (2)解：设P,O两点从出发经过t秒时，点P,Q间的距离是l0cm, 作QE⊥AB,垂足为E,则QE=AD=6cm,Pp=10cm, .PA=3tcm,Co=BE 2tcm PE=AB-AP-BE=16-5t 由勾股定理，得16-50)'+62=10 8 24 解得4=56=5（舍去）· 8 答：从出发到5秒时，点P和点O的距离第一次是10cm.(8分) 319 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.【解析】(1)解：设这三天票房的平均增长率为x 2100(1+x)2=3024 x=0.2 解得： x2=-2.2 (舍去) 答：这三天票房的平均增长率为20%. (2)解：设单价上涨了a元， (8+a)(300-20a)=8×300+200 a1=2,a2=5 解得： 答：扛标旗单价上涨了2元或5元.(8分) 18.【解析】(1)如图 D D A D B (2)·AD⊥DC,∠C=90° .ADI/BC :BD平分∠ABC .·.∠ABD=∠CBD=∠ADB ∴.AB=AD, ∴四边形ABCD为“等邻边四边形” (3)∠DCB=90°，∠DBC=30°，DC=2, :DB=4,BC=BD2-CD2=23 .BE EC=3 ①当DM=DC时，BM=2; ②如图3，当EM=EC=V3时，作EH⊥DB于H, 4/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 3 图3 在RtBEH中， 匹B肱号H=BFH派胃 2 EM=EB,DH⊥AB, .BM=2BH=3: ③当ME=MD时，设ME=MD=x,由②得， BH-3 EH=3 2,则 在Rt△MEH中，EM2=MH2+EH2, -任可。 解得， 5,即EM= 5, ·BM=4-7-13 55· 13 综上所述，当BM为2或3或5时，四边形CEMD是“等邻边四边形”·(10分) 19.【解析】(1)解：由题意得：m、n为x2+4x-2=0的两个不相等实数根， 可得m+n=-4,mn=-2, 故m+=m+n2-2mm=20 答：20 (2)解：1-39-2g2=0 .9≠0 13-2=0 .929 5/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 13-2=0,p9+1' p2-3p-2=0’q291 1 :p和g为r-3x-2=0的两个不相等实数根。 p+1-3 3,p12-2 -2 .91 991 p++2=3-2=l .99 答：1. 8解：由a+6=1,02。 c-1 可构造c-)r+20r+2+C=0,“和P是方程的两个实数根， .△=(2c)-4(c-10(2+c)≥0 c≤2 可得C的最大值为2. 答：2.(10分) 20.【解析】(1)解：如图，在AD边上取一点F,使得DF=BM,连接FM, D C 0 M ⊙ ,四边形ABCD是正方形， .∠A=∠ABC=90°，AD=AB, .AD-DF AB-BM, 即AF=AM, ∴.△AMF是等腰直角三角形， .∠AFM=45°， .∠DFM-135, .∠DMN=90°， 619 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠AMD+∠BMN=90°. .∠AMD+∠FDM=90°， ∴.∠FDM=∠BMN. :BN是正方形ABCD的外角的平分线， ∴.∠CBN=45° .∠MBN=∠ABC+∠CBN=135°， ∴.∠DFM=∠MBN, 在△DFM和△MBN中， [∠FDM=∠BMN DF =MB ∠DFM=∠MBN' △DFM≌AMBN(ASA) ∴.DM=MN (2)解：DM=MN, 理由：如图，作AD的中点P,连接PM, D C P02 ,入 43 M E ..DP=AP :四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠A=∠ABC=90°， .∠CBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°， P,M分别是AD,AB的中点， ∴.AP=AM=PD=MB, ∴.∠1=∠PMA=45°， .∠2=180°-∠1=180°-45°=135°， .BN是∠CBE的角平分线， .∠3=45°， 719 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠MBN=180°-∠3=180°-45°=135°， .∠2=∠MBN .∠DMN=90° ∴.∠AMD+∠4=90° 又.∠AMD+∠5=909 .∠4=∠5 在△DPM和△MBN中， [∠5=∠4 DP=MB ∠2=∠MBN' ADPM≌AMBN(ASA) ∴.DM=MN. (3)解：DM=MN, 理由：如图，延长AD使DP=BM, P 3 D 女2 ④ BIM E ,四边形ABCD是正方形 .DC∥AB,AD=AB,∠A=∠ADC=∠ABC=90° ∠3=180°-∠ADC=180°-90°=90°，∠CBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°， BN是∠CBE的角平分线， .∠4=45°， .AD=AB,DP=BM, .AD+DP=AB+BM, .AP=AM, .∠P=∠AMP=45°， ∴.∠4=∠P, 8/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DC∥AB .∠2=∠1， .∠3=∠DMN=90° .∠2+∠3=∠1+∠DMN, 即∠PDM=∠BMN, 在△PDM和△BMN中， 「∠P=∠4 PD=BM ∠PDM=∠BMN' △PDM≌ABMN(ASA) .DM=MN.(12分) 9/92026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][V][/] 一、 单项选择题：本题共8小题， 每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C]ID] 3.[A][B][C][D] 7.[AJ[B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9. 10. 1 12 13. 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 14.（6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(7分) D iB H E 16.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(8分) 18. (10分) B: C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 19.(10分) 20.(12分) N B B M 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版九上第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【解析】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 2．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【解析】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【解析】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【解析】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 5．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【解析】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 6．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用等积法可求得的长，在中，利用勾股定理可求得，设，则，在中，由勾股定理列方程求出x，再由勾股定理求出的长度． 【解析】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，可得， ∴，即， 解得， 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理可得． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【解析】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 8．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【解析】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】由矩形性质可得，结合可证点为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【解析】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， 点是边的中点， 是的中位线， ． 10．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，将所求式子变形后整体代入计算即可． 【解析】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∵是方程的根，满足方程等式， ∴，即， ∴． 11．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】连接，根据对称性得到，进而得到，易得为等边三角形，根据三线合一和勾股定理求出的长即可. 【解析】解：连接， ∵菱形的周长为4，， ∴，垂直平分， ∴为等边三角形，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值是. 12．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【解析】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 13．如图，在正方形中，点是边的中点，连结与交于点，连结、．给出下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】①根据正方形性质，找出边和角的相等关系，推出两个三角形全等即可． ②先假设是否垂直平分，找出相等的角和边，再根据角度关系，判断是否垂直平分即可． ③先找出边和角的对应关系，推出全等三角形，再根据全等三角形的性质，推出结论． ④先找出与的面积关系，因为两个三角形中都包含的面积，由此得出结论即可． 【解析】解：①根据题意可知， ， 为中点， （）． ③：在正方形中， ，，， （） 又 ． ②解：先假设垂直平分， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 与交于点， ， 这与相矛盾，假设不成立， 垂直平分是错误的． ④的边上的高与的边上的高相同， ， ， ； 综上所述，正确结论的序号有①③④． 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题6分，15题7分，16-17题每题8分，18-19题每题10分, 20题12分。 14．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【解析】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，； （3）解：， ， ， ， ， ∴． 15．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，   ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得出，再由，利用线段和差关系求出，从而得到，继而证明四边形为平行四边形，再由即可证得结论； （2）由菱形的周长求出其边长，再利用其面积，通过菱形的面积公式得出的长度，利用勾股定理求出的长度，最后通过线段和差关系即可求出结果． 【解析】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形，周长为20， ∴， ∵菱形的面积为24， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 16．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 【答案】(1)5秒 (2)从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 【分析】本题主要考查动点问题，一元一次与一元二次方程的应用，勾股定理； （1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可； （2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为， 则，， 根据梯形的面积公式得， 解之得， 答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为； （2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是， 作，垂足为E，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得， 解得（舍去）． 答：从出发到秒时，点P和点Q的距离第一次是． 17．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【解析】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 18．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点，，在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上． （2）如图2，，，平分，求证：四边形为“等邻边四边形”． （3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，点是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或或 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义画出3个不同形状的等邻边四边形； （2）根据题意求出DE，根据勾股定理求出CE，计算得到BE=AB，根据等邻边四边形的定义判断即可； （3）分AM=AC、DM=DC、MA=MD三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算即可． 【解析】（1）如图 （2）， 平分 ， 四边形为“等邻边四边形” （3），，， ，， ， ①当时，； ②如图3，当时，作于， 在中， ， ，， ； ③当时，设，由②得，，，则， 在中，， 即， 解得，，即， ， 综上所述，当为或或时，四边形是“等邻边四边形”． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握“等邻边四边形”的概念、矩形的性质定理是解题的关键． 19．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【解析】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 20．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)= (2)解：， 理由：如图，作的中点P，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． (3)解： ， 理由：如图，延长使， ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）在边上取一点F，使得，连接，证明，即可得出结论； （2）作的中点P，连接，证明，即可得出结论； （3）延长使，证明，即可得出结论． 【解析】（1）解：如图，在边上取一点F，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）略 （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9._______________ 12. ________________ 10. ___________ 13. _______________ 11. _________________ 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 14.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.（7分） 16.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版九上第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 2．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 5．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 8．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 10．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 11．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 12．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 13．如图，在正方形中，点是边的中点，连结与交于点，连结、．给出下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题6分，15题7分，16-17题每题8分，18-19题每题10分, 20题12分。 14．解方程： (1)； (2)； (3)． 15．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 16．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 17．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 18．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点，，在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上． （2）如图2，，，平分，求证：四边形为“等邻边四边形”． （3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，点是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 19．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 20．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷（深圳专用） （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：北师大版九上第一~二章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 2．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 5．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 8．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 10．若，是方程的两个实数根，则的值为___________． 11．如图，菱形的周长为4，，是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是______________． 12．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 13．如图，在正方形中，点是边的中点，连结与交于点，连结、．给出下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。其中：14题6分，15题7分，16-17题每题8分，18-19题每题10分, 20题12分。 14．解方程： (1)； (2)； (3)． 15．已知四边形为菱形，于点H，延长至点E，使得，连接，交于点O，连接； (1)求证：四边形为矩形； (2)已知菱形的周长20，菱形的面积为24，试求线段的长； 16．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，一直到达为止，点以的速度向移动． (1)、两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为； (2)、两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是． 17．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 18．我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点，，在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上． （2）如图2，，，平分，求证：四边形为“等邻边四边形”． （3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，点是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 19．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 20．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $