重难点培优04 平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量中三角形重心、外心、内心、垂心的向量表征及奔驰定理，按知识重构-题型精研-实战检测逻辑架构，通过梳理定义性质、提炼通法技巧、分层真题训练，帮助学生构建四心问题的解题框架。 讲义特色在于四心与奔驰定理系统整合，如重心问题通过向量关系式推导培养数学思维，设置重难巩固与创新提升分层练习，精准对接高考题型，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

重难点培优04 平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 重心问题（★★★★★） 3 题型02 外心问题（★★★★★） 8 题型03 内心问题（★★★★） 14 题型04 垂心问题（★★★★★） 18 题型05 奔驰定理（★★★★） 23 03 实战检测·分层突破验成效 32 重难知识巩固 32 创新能力提升 43 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 知识点02 三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 知识点03 三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 知识点04 三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 知识点05 奔驰定理 1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 3、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 题型精研·技巧通法提能力 题型01 重心问题 【技巧通法·提分快招】 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. （4）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （5）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知点P是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理逐项验证判断即得. 【详解】取的中点，根据中线性质可得， 因为是的重心，所以,将上式代入，得，故A,B错误； 又因,故C错误； ，故D正确. 2．（24-25高三下·江西·阶段检测）设为的重心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设为的中点，将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】如图，设为的中点，连接，则点在上，且， 故， 所以. 故选：A. 3．已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由题可得，结合重心性质及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因，则. 又，由平面向量基本定理可得： . 则，，故三角形是等腰直角三角形. 故选：D 4．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在中，，是边上的两点，是三角形的重心，且．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则即可求解． 【详解】由是的重心，取的中点，则在线段上，且， 又，则，， 则，， 所以， 故． 5．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【分析】利用向量共线的坐标公式通过与向量共线，经过整理得到，将其代入，经过整理得到，，利用向量减法的三角形法则得到，取的中点，由向量加法的平行四边形法则得到，将其代入得到，动点的轨迹必经过的重心. 【详解】与向量共线，故， 即，解得， 将代入，得到， 即，所以， 取的中点，则有， 故，所以动点的轨迹必经过的重心. 故选：D. 6．为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出，代入关系式由向量的加减法化简，得出与共线，由此得出点P的轨迹，得出答案. 【详解】   中，根据正弦定理， ，即. 设，， 所以， ， ， 设D为中点，则，故， 所以共线， 点的轨迹为射线（不含端点）. 的重心一定属于集合. 故选：A. 7．G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______. 【答案】 【分析】根据三角形的重心求得，再利用余弦定理来求得正确答案． 【详解】因为G是的重心，所以有. 又，所以. 设，则有.由余弦定理，可得，， 所以. 故答案为： 8．已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 【答案】重心 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质判断即可. 【详解】由，得， 设边的中点为，则，于是， 即，因此点在射线上（除点外）， 所以点的轨迹必过的重心. 故答案为：重心 题型02 外心问题 【技巧通法·提分快招】 设O是的外心 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； 1．为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算判断得解. 【详解】依题意，， ， ， 则，于是， 所以是的外心. 故选：B 2．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得. 【详解】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    3．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】取中点D，根据条件化简得，所以点P在中垂线上，所以，所以为三边中垂线交点，即为的外心. 【详解】    如图，取中点D， . ， ， ， ， ， 点P在中垂线上. ，又， 所以 为的外心. 故选：A. 4．在中，，若为的外心，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为，连接，则，结合条件，利用向量的数量积的运算律可得，，进而可得，利用基本不等式可求的最大值． 【详解】设所对的边为， 取的中点为，连接，则， 故，同理，而， 则， 即，也即①， 又， 即，也即②， 由①②解得，则， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 5．已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】D 【分析】点 是点 在平面 上的射影，知平面，所以，由直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，证得，从而证得，由此可知 是 的外心. 【详解】由题可知，平面，所以. 所以. 连接，则分别是直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角， 所以. 在中，，是公共边， 所以. 所以. 所以 是 的外心. 故选：D. 6．已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】/ 【分析】依题意可得，平方后求出，再由二倍角公式得到，最后应用同角三角函数关系求出答案. 【详解】不妨设的外接圆半径 因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： 7．（2025·广东江门·模拟预测）已知点分别是的外心，重心，，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】设的中点为，连接，，由为的重心可得，由于为的外心，过点作，垂足为，可得，同理可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，连接，， 由于为的重心，则一定在线段上，且， 所以， 由于为的外心，过点作，垂足为，则为中点， 则， 同理可得， 则. 故答案为：. 8．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 题型03 内心问题 【技巧通法·提分快招】 （1）（或） 其中分别是的三边BC、AC、AB的长 （2），则P点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） （3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 （4） 1．已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意是直角三角形，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算即可得出结论. 【详解】根据题意可知，所以是以为直角的直角三角形； 以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 可得，因此 不妨设的内切圆半径为，易知，解得； 即可得； 所以； 设，可得，解得； 所以. 故选：B 2．A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 3．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 4．已知O为的内心，三个角对应的边分别为，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算结合角平分线性质可得，再利用余弦定理和数量积的运算律可得计算结果. 【详解】连接并延长，交于， 因为O为的内心，故为角平分线，由角平分线的性质可得， 同理， 而，故，且，故， 故， 而，故， 故， 故 ， 故选：C. 5．在中，I为的内心，若，则__________. 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 6．设为的内心，，，，，则______． 【答案】/ 【分析】先判断的形状，确定其内切圆半径，明确相关线段的长度，用为基底，表示即可. 【详解】如图：因为，所以为直角三角形. 设内切圆半径为． 则. 设内切圆与边，的切点分别为. 则. 又， 所以. 故答案为： 题型04 垂心问题 【技巧通法·提分快招】 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 （4）. 1．在中，若，则点H是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断. 【详解】因为，则， 所以，即点H在边的高线所在直线上， 同理可得：， 所以点H为的三条高线的交点，即点H是的垂心. 故选：A. 2．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 3．在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 【答案】D 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 4．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项. 【详解】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 5．如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 6．已知H是的垂心，满足，且，则__________． 【答案】 【分析】由向量的线性运算，可得，两边点乘及由垂心向量公式得解. 【详解】由，得， 化简得，再左右点乘及垂心向量公式得 ，故. 故答案为：. 7．设是锐角三角形的垂心，若，则______. 【答案】 【分析】结合已知条件，根据向量共线，可得，从而求得，根据同角三角函数关系式，求得，即可得. 【详解】如图所示，取的中点，取的中点，连接，则. 因为，所以，所以. 所以三点共线，且. 连接，则，且. 所以. 如图2：在线段上取，使得：.连接， 取的中点，取的中点，连接， 则. 因为，所以，所以. 所以三点共线，且. 因为为的中点，所以，且，所以 所以. 综上所述. 设则. 因为锐角中，， 所以， 所以，解得：,所以. 所以解得：. 如图2，四边形中，，所以. 故答案为：. 题型05 奔驰定理 【技巧通法·提分快招】 1、奔驰定理：，则、、的面积之比等于 （已知是内的一点，的面积分别为，，） 2、三角形四心与奔驰定理的推论： （1）是重心：． （2）是内心：． （3）是外心：． （4）是垂心：. 1．已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（   ） A．5：2 B．1：4 C．5：8 D．4：1 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 解得 因为共线，所以设 ， 因为共线，所以设，且， 因为，即， 所以， 因为 共线，所以系数和为 1，即， 解得，即， 即，所以， 因为，， 所以， 解得， 即，即， 所以， 设， 因为，所以 ， 因为，所以 ， 因此， 则选项C正确. 2．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 3．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 4．（2025·湖南张家界·模拟预测）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奔驰定理得三小三角形面积比为 3：4：5，垂心下面积比对应内角正切之比，结合三角形正切恒等式即可求出. 【详解】 延长交于，延长交于， 根据奔驰定理 结合题设，可得面积比，其中 ，，， 是 的垂心， 所以，所以， 所以，所以，因此 ， 同理 ，， ，， ，， 在 中由正弦定理得， 代入 ，，得，得 同理 ，即 ， 由三角形面积公式：，同理得，， 所以： 因为， 所以 ， 在三角形内，故为锐角三角形，设 ，，（）， 在中，因为， 得， 所以，，解得， 所以. 5．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】由奔驰定理可判断A，利用重心结论可判断B，由外心可知，即可判断C，由内心可知，满足勾股定理，从而可判断D. 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（    ）. A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】取线段的中点，得到，所以三点共线，再取线段的中点，证得三点共线，且三点共线，可得判定A正确；由“奔驰定理”，化简得到，可判定B正确；由，化简得到 ，求得，结合，可判定C错误；设内切圆的半径为，利用面积比求得，结合余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，若，则， 如图所示，取线段的中点，连接， 则， 所以，即，所以三点共线， 分别取线段的中点，连接， 同理可证：三点共线，且三点共线， 所以点为的重心，所以A正确； 对于B中，若， 由“奔驰定理”可得，所以， 所以，即，所以B正确； 对于C中，若， 即， 可得， 又由，且不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”，可得，所以C错误； 对于D中，若为的内心，设的内切圆的半径为， 则, 因为，所以， 设，则， 由余弦定理，可得，所以D正确. 故选：ABD. 7．高一数学人教A版）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 【答案】/ 【分析】利用正弦定理角化边可得，设，，，可得，则是的重心，可得，分别用表示与的面积即可求解. 【详解】由正弦定理,可得， 因，，，， 代入得，因为，所以， 设，，，则得， 则是的重心，从而， 因为，， 所以，所以， 同理可得，， 所以与的面积之比为. 8．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得. 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 2．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，点M是的重心，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】点M是的重心，， ，，，故选项C正确. 3．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【答案】C 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 4．为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【分析】由题意为平面内的动点，是平面内不共线的三点，满足，可得出必过的中点，由此可以得出点的轨迹一定过三角形的重心． 【详解】如图，设为边的中点，， ， 共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 5．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 6．（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】将提取出来, 转化成表示与共线的向量, 点是的中点, 故的轨迹一定通过三角形的重心. 【详解】由正弦定理得， 设 而 表示与共线的向量 而点是的中点, 所以的轨迹一定通过三角形的重心. 故选：C 7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】由Q为重心时，可得，计算可得，反之，举例可说明不成立. 【详解】当Q为重心时，可得， 所以，所以， 所以，∴成立； 设，如图所示则Q可不为重心. 所以“”是“Q为重心”的必要不充分条件. 故选：D. 8．设为的重心，且，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形重心的性质可得出， 由正弦定理的角化边公式化简得出，，再由余弦定理求出. 【详解】∵，又是的重心 ∴，观察类比得：， 由正弦定理知：，则，， 即得， ∵，∴ 故选：B． 9．（25-26高三上·湖北·开学考试）设的外心为，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先结合圆的性质可得，，由数量积的运算律得，同理，，代入已知化简得，然后由正弦定理得，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为为的外心， 则在上的投影向量为，在上的投影向量为， 所以，， 所以， 同理根据外心的性质和数量积的几何意义得，， 由得， 即，又及正弦定理得， 所以，即，由余弦定理得. 故选：A 10．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】先转化为共起点的向量，对其两边点乘对边向量，提取公因式，再由数量积的值进行判定． 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 11．已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】得为斜边的中点，过点作，垂足为，在上的投影向量为，再由、共线可得答案. 【详解】因为，所以，所以是直角三角形． 又为的外心，所以为斜边的中点，所以． 如图，过点作，垂足为， 故在上的投影向量为， 又， ， 故，因此在上的投影向量为. 故选：D． 12．在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】B 【分析】根据“奔驰定理”列方程，整理后判断出是的内心. 【详解】过点分别作，，的垂线，，，其垂足依次为，如图所示， 由于， 根据奔驰定理就有： ， 即， 因此，故点是的内心，B选项正确. 故选：B    13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 14．（多选题）已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用向量与四心的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由重心为G，得， 则，A正确； 对于B，外心为O，有，， ，B错误； 对于C，由重心为G，得，由欧拉线定理得， 因此，C正确； 对于D，由，得，则， ，D正确. 故选：ACD 15．（多选题）（25-26高三上·福建福州·开学考试）在中，，点为内一点，的延长线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】BCD 【分析】利用向量数量积的运算律计算判断A；利用正弦定理、余弦定理及等面积思想计算判断BCD. 【详解】对于A，由为的重心，得， 则，A错误； 对于B，由余弦定理得，而为的外心， 由正弦定理得，B正确； 对于C，由为的垂心，则为边上的高，由面积相等可得， 则，C正确； 对于D，当为的内心时，为的角平分线，故， 由，可得，解得，D正确. 故选：BCD 16．（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 【答案】14 【分析】如图，利用平面向量数量积的几何意义求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足分别为， 因为为三角形的外心，所以分别为的中点， 则. 故答案为：14 17．（2025高三下·甘肃·竞赛）已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 【答案】 【分析】整理可得，结合奔驰定理即可得结果. 【详解】因为，则， 整理可得， 又因为点I是的内心，即点I在内， 由奔驰定理得． 18．已知是的外心，若，则______． 【答案】/ 【分析】由，分别与向量点积，即可得到从而求出的值. 【详解】由，又是的外心， 得即 从而有 所以，． 故答案为：. 19．已知的内心为，且，则______． 【答案】 【分析】借助奔驰定理，以此得出三角形三边之比，然后利用余弦定理计算即可 【详解】先证明奔驰定理：. 证明：延长与交于点， 则 ， 根据，有， 由共线定理有， 根据代入 ) ， 移项合并有， 所以， 在中，设、、的对边分别为、、， 因为，由奔驰定理得， 所以，故． 故． 创新能力提升 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 【答案】A 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用，表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点分别是的重心和外心，则 ，，， 则 于是 即得. 又由和，可得 整理得解得 因，则 即边的长为6. 2．已知为的垂心，且，，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先由已知向量和垂心得，，，，再由已知的向量和对应边的向量垂直得三边的关系，进而算出余弦及正弦. 【详解】设的三角对应的三边分别为， ， 整理得，， 因为，不共线，因此， 又因为，， 解得，，，． 因为为的垂心，所以 ， ， ， ， ， ， 则， 所以. 故选：B． 3．（多选题）（2026·湖北黄冈·二模）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】设的中点为.由知，过点，且. 若P为的重心，则， 所以，所以，所以A正确. 若P为的内心，则， 化简得，， 所以， 所以，所以B错误. 若P为的外心， 易知，所以的外接圆的半径为， 即. 则，所以C正确. 若P为的垂心，则，所以，所以 . 所以D正确. 4．（多选题）（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ） A．若点O为△ABC的重心，则 B．若点O为△ABC的外心，则 C．若点O为△ABC的垂心，则 D．若点O为△ABC的内心，且，则 【答案】ACD 【分析】A选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B选项，根据外心性质和向量的数量积运算法则求解即可；C选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D选项，根据三角形内心的性质及向量三点共线求系数和即可. 【详解】A选项，如图1，设BC中点为D，则，由于点O为△ABC的重心，则，所以，A选项正确； B选项，如图2，设AB中点为E，由于点O为△ABC的外心,则垂直，，B选项错误； C选项，如图3，作，垂足为，则在上，在△ABC中由余弦定理可得，在直角△ACF中，， 所以，C选项正确； D选项，如图4，设△ABC的内切圆半径为，由可得， 则，， 由，且为三角形内角，可得，， 则， 延长交于点， 则即， 则，则， 由于B、C、G三点共线，则，，D选项正确； 故选：ACD. 5．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案. 【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ， 由，则， 所以， 所以A，M，Q三点共线，且， 设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以M为的重心，故A项正确； 对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r， 则有，，， 所以， 即，故B项正确； 对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R， 又因为，， 所以，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 6．（多选题）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 【答案】ABD 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 7．已知是的重心，，那么______；若，，则的最小值是______. 【答案】 【分析】通过向量的线性运算来求解和的值 进而得到的值；根据向量的数量积公式，求出的值，再利用向量模长公式以及均值不等式来求解的最小值即可. 【详解】设的中点为，是的重心，根据重心的性质可知 ，又，，、，即. ，，，， 又，， 根据均值不等式，得，当且仅当时，等号成立， ， 那么，即的最小值是. 故答案为：，. 8．（25-26高三上·河北廊坊·阶段检测）已知点G是的重心，若，则的最大值为______． 【答案】/0.6 【分析】根据，利用向量的数量积运算可得，再由均值不等式即可求出的最小值，则得到的最大值. 【详解】如图所示，设的中点分别为，,， ,当且仅当 时，等号成立， 的最小值为，则的最大值为.故答案为：. 9．（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 【答案】 【分析】设，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】设，由是的重心，得， 则，又点共线，因此，即， 而，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 平面向量中三角形的“四心”问题及奔驰定理 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 重心问题（★★★★★） 3 题型02 外心问题（★★★★★） 5 题型03 内心问题（★★★★） 6 题型04 垂心问题（★★★★★） 6 题型05 奔驰定理（★★★★） 7 03 实战检测·分层突破验成效 10 重难知识巩固 10 创新能力提升 12 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有. 知识点02 三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 知识点03 三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 知识点04 三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 知识点05 奔驰定理 1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 3、三角形四心与奔驰定理的关系及证明 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 题型精研·技巧通法提能力 题型01 重心问题 【技巧通法·提分快招】 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. （4）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （5）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知点P是的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江西·阶段检测）设为的重心，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知三角形的重心为，内角A，，的对边分别为，，若，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在中，，是边上的两点，是三角形的重心，且．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 6．为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（    ）一定属于集合. A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 7．G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______. 8．已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的____（填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 题型02 外心问题 【技巧通法·提分快招】 设O是的外心 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； 1．为所在平面内一点，且满足，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 3．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．在中，，若为的外心，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 6．已知三角形的外心满足，则_____． 7．（2025·广东江门·模拟预测）已知点分别是的外心，重心，，则的值为__________. 8．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 题型03 内心问题 【技巧通法·提分快招】 （1）（或） 其中分别是的三边BC、AC、AB的长 （2），则P点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） （3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 （4） 1．已知中，，点O为的内心，则（    ） A． B． C． D． 2．A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．已知O为的内心，三个角对应的边分别为，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，I为的内心，若，则__________. 6．设为的内心，，，，，则______． 题型04 垂心问题 【技巧通法·提分快招】 （1） （2） （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 （4）. 1．在中，若，则点H是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 2．设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 3．在中，，点为的垂心，且满足，，则（    ） A． B．－1 C． D． 4．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知H是的垂心，满足，且，则__________． 7．设是锐角三角形的垂心，若，则______. 题型05 奔驰定理 【技巧通法·提分快招】 1、奔驰定理：，则、、的面积之比等于 （已知是内的一点，的面积分别为，，） 2、三角形四心与奔驰定理的推论： （1）是重心：． （2）是内心：． （3）是外心：． （4）是垂心：. 1．已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（   ） A．5：2 B．1：4 C．5：8 D．4：1 2．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 4．（2025·湖南张家界·模拟预测）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 6．（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（    ）. A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 7．高一数学人教A版）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为______ 8．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，点M是的重心，若，则（    ） A． B． C． D．1 3．已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 4．为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 5．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 6．（24-25高三下·陕西西安·阶段检测）在中，若动点P满足向量平行于向量，则P的轨迹过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）空间内有五点A，P，Q，S，T，则“”是“Q为重心”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 8．设为的重心，且，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·湖北·开学考试）设的外心为，若，则（　　） A． B． C． D． 10．已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 11．已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．在中，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）已知三角形的外心，重心，垂心依次位于同一条直线上，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍．若的外心为，重心为，垂心为为边的中点，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）（25-26高三上·福建福州·开学考试）在中，，点为内一点，的延长线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 16．（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 17．（2025高三下·甘肃·竞赛）已知中，，，点I是的内心.若有，则_________． 18．已知是的外心，若，则______． 19．已知的内心为，且，则______． 创新能力提升 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（） A．6 B．5 C．7 D．3 2．已知为的垂心，且，，，，则（    ） A． B． C． D．1 3．（多选题）（2026·湖北黄冈·二模）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 4．（多选题）（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（   ） A．若点O为△ABC的重心，则 B．若点O为△ABC的外心，则 C．若点O为△ABC的垂心，则 D．若点O为△ABC的内心，且，则 5．（多选题）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 6．（多选题）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 7．已知是的重心，，那么______；若，，则的最小值是______. 8．（25-26高三上·河北廊坊·阶段检测）已知点G是的重心，若，则的最大值为______． 9．（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $