7.3 平行线的证明 预习自测2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦平行线证明，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一判定到实际模型应用的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|平行线判定公理、性质直接应用|单选1-5（同位角判定等）、填空9-12（平行公理等），夯实概念理解| |能力提升|折叠/方向角结合平行线性质|单选8（折叠求角度）、填空13（多角关系推理），培养空间观念| |综合应用|实际情境中的平行模型构建|解答17（盘山公路角度计算）、18（折纸探究），发展模型意识与创新思维|

7.3 平行线的证明 预习自测2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，求证：．下面为琪琪同学的证明过程． 证明：，（① ）， ． 又， ， （② ）． 其中①②为解题依据，则下列描述正确的是（   ） A．①代表内错角相等 B．②代表同位角相等，两直线平行 C．①代表同位角相等 D．②代表同旁内角互补，两直线平行 3．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 4．如图，点，，，在同一条直线上，，，使得．可添加条件是（    ） A． B． C． D． 5．如图，下列关于学校位置的描述正确的是（    ） A．位于小明家北偏东方向上的1200米处 B．位于小明家南偏西方向上的1200米处 C．位于小明家北偏东方向上的1200米处 D．位于小明家北偏西方向上的1200米处 6．如图，，．若点，，，在同一条直线上，则添加下列条件仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 7．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，长方形为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，，所以O、M、N三点共线，理由是________________________． 10．若，则A，B，C三点共线，理由是_______________________． 11．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多物品都与如图所示的曲线有关、如图，从点O照射到曲线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果 ，，则______，______． 12．如图，（1）因为，所以_______；（2）因为_______，所以；（3）因为，所以_______． 13．如图所示，、则、、的关系为________．    三、解答题 14．作图题：用本学期所学的尺规作图知识，过点求作的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知）， 所以（1）（____________）， 因为（已知）， 所以， 所以， 因为、分别是和的角平分线（已知）， 所以，（2）（____________）， 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以（3）（____________）， 所以， 所以（4）（____________）． 16．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 17．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 18．【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D D A D A C 1．【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 【详解】解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 2．【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行、对顶角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行． 依据对顶角相等以及的度数，即可得到，根据平行线的判定即可判断． 【详解】证明：，（①对顶角相等）， ． 又， ， （②同旁内角互补，两直线平行）． 故选：D． 3．【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】两直线平行同位角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定定理． 先由平行得到，故只需要添加一组边相等，利用或证明即可． 【详解】解：∵， ∴， 当， ∴； 当或时， ∴， 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】两直线平行同旁内角互补、方向角的表示 【分析】本题考查方向角，掌握方向角的定义以及平行线的性质是正确解答的关键；根据方向角的定义以及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴学校位于小明家北偏东方向上的1200米处． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），平行线的性质，先整理得，，再结合每个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， A、∵，，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，，，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、∵，，，∴不能证明，故该选项符合题意； 故选：D 7．【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 8．【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、折叠问题、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型；由题意，根据平行线的性质得，根据已知，易得；由图可得，等量代换即可解答问题． 【详解】解：如图： 由翻折的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由图可得；， ∴， ， ∴ ∴． 故选：C． 9．【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，理解题意是解题关键． 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行即可得． 【详解】解：∵， ∴， 则点三点共线，理由是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 10．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答． 【详解】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下： ， 这是过同一个点作同一条直线的垂线． 、一定重合． 则、、三点共线． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 11．【答案】 /40度 /115度 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 故答案为：；． 12．【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）根据同位角相等，两直线平行即可解答； （3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答； 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为 ，所以； （3）因为，所以； 故答案为：；；． 13．【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】过M作，利用平行于同一条直线的两直线平行，可得，再根据两直线平行，内错角相等求解． 【详解】解：过M作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 14．【答案】 解：如图，即为所求．   . 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．延长到，作，使和在的同一侧即可． 【详解】略 15．【答案】两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义．熟悉平行线的性质与判定：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行，是解题的关键． 首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，，进而得到；再结合角平分线的定义，得到．再根据“两直线平行，内错角相等”和等量代换，得到，进而通过“同位角相等，两直线平行”判定． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式性质）， 因为、分别是和的角平分线（已知）， 所以，（角平分线定义）， 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等式性质）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行． 16．【答案】(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题 (2)题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，举反例： 如图与是内错角，；    (3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题 【知识点】举反例、两直线平行内错角相等、写出命题的题设与结论、判断命题真假 【分析】（1）如果引出的部分就是命题的题设，那么引出的部分就是命题的结论，题设成立，结论也成立命题是真命题，否则是假命题，据此结合补角的定义判定即可； （2）两直线平行，内错角才相等，画出不平行的直线形成的内错角即可； （3）利用平行线的性质判定即可； 【详解】（1）解：题设：如果两个角的和等于平角时， 结论：那么这两个角互为补角； 是真命题； （2）解：题设：如果两个角是内错角， 结论：这两个角相等； 是假命题； （3）解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截， 结论：那么同旁内角互补． 是真命题． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的概念和真假命题的判定方法是解题的关键． 17．【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的知识点是平行于同一条直线的两直线互相平行、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作交于点，可推得，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出； （2）作交于点，作交于点，推得后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出； （3）作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，推得后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， ，， ， ∴． （2）解：作交于点，作交于点， ， ， ，，， 又，，， ，， ， ． （3）解：作交于点，作交于点， 作交于点，作交于点， 作交于点， ， ，，， ，，， 又，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 18．【答案】(1) 理由：由折叠可知， (2) 证明：由折叠可知，， ， 即 由（1）知， (3) 过点作交于点 又 ∴ 又 ∴ 由折叠得， ， 由折叠得 【知识点】折叠问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质. （1）根据折叠的性质得到，即可判断； （2）由折叠可知，，，可得，再由同旁内角两直线平行证明即可； （3）过点作交于点，根据平行线的判定和性质得到，，由折叠得，由可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $