7.3 平行线的证明 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以平行线判定与性质为核心，通过基础应用、综合推理及实践探究，系统构建“概念-判定-性质-应用”逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|单选1-4、填空9-10|同位角/内错角/同旁内角判定法；平行公理推论|从判定公理到定理，结合尺规作图（作等角）形成判定体系| |性质综合|单选5-8、填空11-12|折叠问题中内错角转化；对称性质与平行结合|性质（角关系）与判定互逆应用，渗透转化思想| |实践探究|解答13-18|动态几何分类讨论；实际情境建模（如路灯维护）|从静态推理到动态变化，体现数学眼光与应用意识|

7.3 平行线的证明 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．已知直线及直线外一点C，如图是小明利用尺规作图作出的痕迹，他判定两直线平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行 2．如图，已知直线a，b被直线c所截，，若要使，则的度数应等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 5．如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（   ） A． B． C． D．被垂直平分 6．如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，若与分别经过格点A、B、C，D、E、F，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 8．如图，长方形为一长条形纸带，，将沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是_____． 10．如图，若，则a//b．请你用语言描述这一现象：____________________． 11．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多物品都与如图所示的曲线有关、如图，从点O照射到曲线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果 ，，则______，______． 12．如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是_______（填序号） 13．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 三、解答题 14．作图题：用本学期所学的尺规作图知识，过点求作的平行线．（保留作图痕迹，不写作法） 15．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 16．有一座锥形小山，如图． (1)要测量锥形小山两端的距离，先在平地上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，量出的长度，就能得出锥形小山两端的距离，请说明其中的道理． (2)为加快开山修路的进度，施工队要在两点同时施工，师傅在（1）的基础上，过A作，过作，沿方向开工就能使在同一条直线上．请运用相关知识说明其中的道理． 17．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 18．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，已知，，试说明与的位置关系． 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整． 解：，理由如下： 因为，所以，依据是______； 又因为，所以； 由得，依据是_______． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，、、三个角的关系为：，请说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，请直接写出的度数之和． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C C A C C C 1．【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图—作与已知角相等的角，由作图方法可知，，则由同位角相等，两直线平行可得，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解： 与是内错角，且， 要使，则， 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的性质．根据两直线平行同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴两直线平行； 故选C． 5．【答案】A 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 6．【答案】C 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果． 【详解】解：如图，过A点作， ， ∴， ， ， ， 即， ，， ， 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了网格的特点和全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．连接，取格点，连接，则，那么，由平行线的性质得到，而，即可求解． 【详解】解：连接，取格点，连接， 由网格可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、折叠问题、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型；由题意，根据平行线的性质得，根据已知，易得；由图可得，等量代换即可解答问题． 【详解】解：如图： 由翻折的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由图可得；， ∴， ， ∴ ∴． 故选：C． 9．【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】 解：这样做的数学依据是平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 10．【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据平行线的判定可直接进行求解． 【详解】解：若，则a//b，用语言描述这一现象是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 11．【答案】 /40度 /115度 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 故答案为：；． 12．【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有． 故答案为：． 13．【答案】5秒或秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况． 分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，． 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即． 解得； 旋转到与都在的右侧时， ，， 要使，则， 即， 解得； 旋转到与都在的左侧时， ，， 要使，则， 即， 解得． ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5秒或秒． 14．【答案】 解：如图，即为所求．   . 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．延长到，作，使和在的同一侧即可． 【详解】略 15．【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、已知证明过程填写理论依据 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 16．【答案】(1) 解：∵在和中， ∴， ∴； (2) 解：∵， ∴， ∴， ∵，， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴在同一条直线上． 【知识点】对顶角相等、平行公理的应用、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形性质得出，根据平行线的性质得出，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出在同一条直线上． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，平行公理的应用，解题的关键是证明． 17．【答案】(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题 (2)题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，举反例： 如图与是内错角，；    (3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题 【知识点】举反例、两直线平行内错角相等、写出命题的题设与结论、判断命题真假 【分析】（1）如果引出的部分就是命题的题设，那么引出的部分就是命题的结论，题设成立，结论也成立命题是真命题，否则是假命题，据此结合补角的定义判定即可； （2）两直线平行，内错角才相等，画出不平行的直线形成的内错角即可； （3）利用平行线的性质判定即可； 【详解】（1）解：题设：如果两个角的和等于平角时， 结论：那么这两个角互为补角； 是真命题； （2）解：题设：如果两个角是内错角， 结论：这两个角相等； 是假命题； （3）解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截， 结论：那么同旁内角互补． 是真命题． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的概念和真假命题的判定方法是解题的关键． 18．【答案】(1)两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 (2) ，理由： 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据两直线平行，同位角相等，即可得，根据等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为，所以，依据是两直线平行，同位角相等； 又因为，所以； 由得，依据是内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 （2）略 （3）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $