第2章 反比例函数『高频易错题型培优讲练』 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学反比例函数单元复习讲义通过思维导图和易错知识卡片系统构建知识体系，梳理了从反比例函数定义、图象性质到几何综合、实际应用的完整脉络，用清晰框架呈现22个高频题型的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“典例精讲+变式训练”的分层练习设计，如题型十六“反比例函数与几何综合”结合图形面积求比例系数，培养推理意识，题型二十一“实际问题与反比例函数”通过消毒含药量等情境发展模型意识。59道题涵盖名校真题，基础题巩固概念，优选题拔尖练提升能力，助力学生自主复习，也为教师提供精准分层教学资源。

第2章 反比例函数『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+22个题型讲练+优选题拔尖练 共59题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 题型讲练 4 题型一 用反比例函数描述数量关系 4 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 5 题型三 根据反比例函数的定义求参数 6 题型四 求反比例函数值 7 题型五 由反比例函数值求自变量 9 题型六 判断(画)反比例函数图象 12 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 14 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 17 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 17 题型十 判断反比例函数的增减性 18 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 20 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 21 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 21 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 22 题型十五 求反比例函数解析式 24 题型十六 反比例函数与几何综合 26 题型十七 根据图形面积求比例系数(解析式) 29 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 31 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 33 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 36 题型二十一 实际问题与反比例函数 40 题型二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 41 优选题拔尖练 44 题型一 用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 【详解】解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【变式训练】（2023·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的负等积点已知点． (1)在，，，中，点M的负等积点是 ． (2)如果点M的负等积点N在双曲线上，求点N的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； 【分析】（1）根据负等积点定义直接求值判断即可得到答案； （2）设点，根据负等积点定义代入列式求值即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得， ，故不是点M的负等积点， ，故是点M的负等积点， ，故不是点M的负等积点， ，故是点M的负等积点， 故答案为：，； （2）解：设， ∵点N是点M的负等积点， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为：或； 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可． 【详解】解：① ，不是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④ ，分母不是，不是反比例函数； ⑤ ，即，是反比例函数； ⑥ ，不是反比例函数； ⑦ ，即，是正比例函数，不是反比例函数． ∴ 是反比例函数的有②、③、⑤，共3个． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·广西贵港·阶段检测）下列函数中：①，②，③，④（为常数，且）；属于反比例函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y＝()的函数是反比例函数． 【详解】①∵， ∴，是反比例函数，符合题意； ②，不是反比例函数，不合题意； ③∵， ∴，是反比例函数，符合题意； ④（为常数，且），是反比例函数，符合题意； 是反比例函数的有①③④，共3个， 故选：C． 题型三 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质． （1）函数是反比例函数，因此指数为，且系数不为零；点在图像上，代入可求和； （2）求出函数解析式后，根据且，分和讨论的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数是反比例函数，，解得 系数， 代入点：， 解得 经检验，，符合要求 ， （2）由（1）得函数解析式为 且 当时， 当时，，且随的增大而增大， 当时， ∴ 综上，或 【变式训练】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握反比例函数的定义是关键． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由，解得或， 由，得， ∴． ∴， ∴这个反比例函数的表达式为． 题型四 求反比例函数值 【典例精讲】（2026·广东深圳·三模）如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象的一支与线段有交点，可得：，写出一个符合条件的整数即可． 【详解】解：当时，可得：， 反比例函数图象的一支与线段有交点， ， 解得：， 是整数， 或或或或或或， 写出一个符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 【变式训练】（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，以及反比例函数增减性列出等式与不等式求解，即可解题； （2）由（1）得到反比例函数解析式，结合解析式分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 题型五 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交轴于点，交反比例函数（为常数，且，）的图象于点，已知． (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数的图象上一点，且点在第二象限，连接、、，若四边形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，比例系数的几何意义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数比例系数的几何意义，以及面积公式即可求解． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ． ，轴，且交轴于点， ，， ． 将代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：轴，且交轴于点，， 点的坐标为，， 即． ， ． 点在第二象限， ． 将代入中，得， 点的坐标为． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 【答案】(1) (2)或． (3)或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于数形结合． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴， 把A、B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 把代入得：， ∴， ， 设， 由题意， 解得， ∴或． （3）解：观察图象可得：不等式的解集为：或． 题型六 判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·课堂例题）画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 【答案】(1)依次填入：，，，，6，3，2， (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量的值，即可求对应的函数值； （2）由（1）中表格信息，在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线连接，绘制即可； （3）将代入解析式，根据函数值与点的纵坐标的关系，即可解答． 【详解】（1）解： ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． 【变式训练】（2024·安徽·一模）如图是抛物线（a，b，c是常数且）的图象，则双曲线和直线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数以及反比例函数的图象与系数的关系； 根据，可得，则双曲线的图象位于一、三象限；根据抛物线的图象判断出，，，可得，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行判断． 【详解】解：根据抛物线的图象可得，当时，，即， ∴双曲线的图象位于一、三象限； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴位于y轴左侧， ∴， ∴； ∵抛物线与y轴交于原点下方， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， 综上，选项A符合题意， 故选：A． 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（23-24九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①正确；把、代入中得到故②正确；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故③正确；根据图象得到不等式的解集是或，故④正确． 【详解】解：①由图象知，，， ，故①正确； ②把、代入中得， ，故②正确； ③把、代入得， 解得， ， ， 已知直线与轴、轴相交于、两点， ，， ，， ，， ，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确； 故答案为：①②③④． 【变式训练】如图1，在矩形中，动点P从点A出发，沿的方向在AB和BC上运动，记，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图2所示．当的面积与的面积相等时，y的值为__________________． 【答案】 【分析】根据图像信息,得AD=2，AB=1，当x＞1时，y=，当的面积与的面积相等时，点P恰好是BC的中点，计算x=，代入函数解析式即可求得y值． 【详解】根据图像信息,得当点P在AB上运动时，∵四边形ABCD是矩形， ∴x=0，此时点D到PA的距离就是AD， ∴AD=2， 当x=1时，y=2， ∴AB=1， 设的面积为S，当x＞1时，y=， 根据图像，得（1，2）是图像上一点， ∴2S=2即S=1， ∴y=， 当的面积与的面积相等时，点P恰好是BC的中点， 故AB=1,PB=1, ∴x=， ∴y==． 故答案为：． 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：∵反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点， ∴点与点关于原点对称， ∴，且， ∴． 【变式训练】已知直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为__________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（3，4）， ∴另一个交点的坐标是（-3，-4）． 故填（-3，-4）． 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【答案】(1)第四象限， (2) 【分析】（1）根据一支所处象限可求得另一支所在象限，同时可知反比例函数的系数小于零，即可解得答案； （2）根据反比例函数的性质，在图象的每一个象限内随增大而增大，即可求得答案． 【详解】（1）解：根据图象知：该函数的图象的另一支位于第四象限， ∵这个反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴在这个函数图象的任意一支上，都随的增大而增大， ∴当时，． 【变式训练】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 题型十 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据增减性求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得：， ∴该反比例函数表达式为， 当时，， 解得， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，或． 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确； ∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确； ∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确； 取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 【变式训练】（2026·陕西宝鸡·二模）若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】1（答案不唯一，比3小的数均可） 【分析】根据点的坐标特征得出反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限， ∴， 解得：， ∴k的值可能是1（答案不唯一）． 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 【变式训练】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵， ∴． 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【答案】1 【分析】首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出的面积． 【详解】解：设点的坐标为， 则点的坐标为，，， 则． ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 题型十五 求反比例函数解析式 【典例精讲】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）由点，在反比例函数图象上，得横纵坐标乘积相等，求出，再用待定系数法求一次函数表达式． （2）先求出点，坐标，再设，利用直线与轴的交点把的面积转化为含的式子，由面积关系列方程求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 或0（舍去） ，， ， 反比例函数的表达式为． 设一次函数的表达式为， 把，代入，得 ， 解得，， 一次函数的表达式为． （2）解：作直线， 直线经过原点和点， 直线的表达式为． 联立与，得 ， 解得或， 点的坐标为． 直线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， ． 点到轴的距离为， ． 设点的坐标为． ． 点，到轴的距离分别为，， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【变式训练】如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 【答案】 【分析】先根据菱形的性质得到点C的坐标，再代入反比例函数中可求得k值． 【详解】解：设与y轴相交于点D， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，即轴， ∴点C的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴． 题型十六 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【答案】 【分析】分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，根据反比例函数得，，根据四边形是矩形，进而可证明，，即可得，，再根据，计算即可得答案． 【详解】解：如图， 分别过点A，C作y轴的垂线，分别交y轴于点D，E，则：， 点A在反比例函数的图象上， ∴， 点C在反比例函数的图象上， ∴， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为12． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 【答案】① 【分析】根据题意，得，，解得，，结合函数的性质，求解即可； 【详解】解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ， ， 直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点， ， 故① 正确； 点和点在反比例函数的图象上，但是没有说明是否是在同一支上，故当，则不一定成立； 故②错误； 根据题意，得， 解得，， 根据图象，知当或时，直线在反比例函数图象的下方， 故不等式的解集是或， 故③错误． 题型十七 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【答案】6 【分析】作交于点D，根据等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式求出，根据k的几何意义及反比例函数所在象限作答即可． 【详解】解：如图，作交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， 即． 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 【变式训练】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集为______； 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象下方时自变量的取值范围为或． ∴不等式的解集为或． 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，即可求出的值； （2）根据，设直线的解析式为，根据平行线间距离相等得出，结合的面积为求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线过点， ， 解得：． （2）解：如图，连接， ∵将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点， ∴， ∴设直线的解析式为，， 当时，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ， ， 直线的解析式为． 【变式训练】如图，直线与反比例函数的图象交于点、，连接、． (1)求m、n、k的值； (2)求的面积； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）将、代入求出、，再将代入计算即可； （2）设直线与y轴交于点D，求出，根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点、两点， ∴当时，， 当时，，解得：， ∴、， 将代入反比例函数，得：， 解得：， （2）解：设直线与y轴交于点D， 当时，， ∴， 即， ∴的面积 ． 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2) (3)4 【分析】（1）先将代入求出的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点， ∴将代入得， ， ∴反比例函数解析式为， 将代入得， ， 将代入一次函数解析式， 得，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由图象可知，的解集为：． （3）解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 【变式训练】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式： (2)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． (3)当时，直接写出的取值范围； 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意，得，得到； （2）设，则，过点P作于点F，根据勾股定理，得，结合三角形的面积得，求解即可； （3）根据交点的横坐标，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． ， 故， 反比例函数的图象经过点， ， 解得， ； （2）解：根据题意，得， 整理，得， ， 解得， 当时，， ． ， 设直线与x轴的交点为E，与y轴的交点为D， 当时，；当时，； 则，， ， ， 设，则， 过点P作于点F， ， ， 根据勾股定理，得， ， ， 的面积为6， ， ， 或， 解得或， 故，． （3）解：，， 故不等式的解集为：或． 题型二十一 实际问题与反比例函数 【典例精讲】过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 【变式训练】某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据压强P的取值范围列出不等式，结合S的实际意义求解即可． 【详解】解：设P与S的反比例函数解析式为：， 把点代入得：， ∴， 即反比例函数解析式为：， 当时，则， 解得：． 题型二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)正比例函数的表达式为  反比例函数的表达式为， (2)至少需要经过分钟后，学生才能回到教室 (3) 此次消毒有效，理由如下： 将代入，得， 解得：， 将代入，得， 解得：， ， 此次消毒有效． 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入，即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入，求出的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 将代入，得， 解得：， 反比例函数的表达式为， 把代入，得， 解得：， ， 将点代入，得， 解得：， 正比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， 解得：， 由图可知，当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而增加， 当时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增加而减少， 至少需要经过分钟后，学生才能回到教室； 【变式训练】（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】反比例函数，观察函数图象在第一象限，在第一象限内，随着值的增大，的值随之减小． 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 【答案】B 【分析】联立方程组可求得点C坐标，可判断A；由一次函数图象与反比例函数图象相对点C坐标的位置关系可判断B；根据一次函数图象的平移，结合反比例函数图象的位置可判断C；先求得点A、B的坐标，再利用坐标与图形性质求得的面积可判断D，进而可得答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点C， ∴联立方程组，解得或（舍去）， ∴点C的坐标为，故A正确； 由图象知，当时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故B错误； ∵将直线向上平移k个单位后，直线始终经过第一象限，又反比例函数的图象位于第一象限， ∴将直线向上平移k个单位后与反比例函数的图象一定有交点， 故C正确； ∵点A在反比例函数的图象上，且点A的横坐标为1． ∴当时，，则点A坐标为， 又∵过点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B， ∴点B坐标为， ，如图， 则，故D正确． 4．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、两点代入函数，求出的值，再结合图象，根据函数的图象在函数的图象上方部分对应的自变量取值直接作答即可． 【详解】解：将，两点代入， 得，， 解得：， ，， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 当时，的取值范围是． 6．（26-27九年级上·北京·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 【答案】50 【分析】设p关于V的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式，再求出时对应的自变量值即可． 【详解】解：设p关于V的函数关系式为， 由题意可知，点在反比例函数图象上， 则， 解得：， 则p关于V的函数关系式为， 当时，汽缸内气体的体积． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 【答案】20 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，利用待定系数法求出的值，将值代入求解即可． 【详解】解：∵近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数， ∴设该函数为， 将，代入，得， 解得， ， 当时，，解得． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 【答案】9 【分析】过点A作于点E，设，求得，，得到，于是得到结论． 【详解】解：过点A作于点E，设． ， ∵点A是的中点， ， ∵   的图象经过点A， ， ． ∵点D在反比例函数的图象上， ， ， ． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 10．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 11．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 12．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意分别确定点，点的坐标，用待定系数法即可求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点P作x轴的平行线交于Q，先确定直线的关系式，设，则，分别求出和的面积，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：，， 在中，，， 把代入，得， ， 一次函数的解析式为． 四边形是菱形， ． 轴， ， 把代入反比例函数， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：将联立，解得或， ． 过点P作x轴的平行线交于Q， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 设，则， ， ， 由题意， ， 解得， 点P为线段上的一个动点， ， 不合题意（舍去）， ， ． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式即可确定的值，再把代入求出的值，把，分别代入直线即可求出的值； （2）先把不等式进行变形，再观察图象写出答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ， ，即， 点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得， ，； （2）解：由得， ，， 不等式的解集为或． 15．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)函数图象如图： (3)①减小；②；③右，1 (4)或 【分析】（1）把代入即可得出m的值； （2）利用连线画出函数图象即可； （3）观察图象即可解答； （4）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得， ； （2）略 （3）①当时，y随x的增大而减小； ②图象关于点中心对称； ③函数的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的； （4）的图象可由函数的图象向左平移2个单位得到， 当或时，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+22个题型讲练+优选题拔尖练 共59题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材•九年级上册•原卷版】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 题型讲练 4 题型一 用反比例函数描述数量关系 4 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 4 题型三 根据反比例函数的定义求参数 4 题型四 求反比例函数值 5 题型五 由反比例函数值求自变量 5 题型六 判断(画)反比例函数图象 7 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 8 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 9 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 9 题型十 判断反比例函数的增减性 10 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 10 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 10 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 11 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 11 题型十五 求反比例函数解析式 11 题型十六 反比例函数与几何综合 12 题型十七 根据图形面积求比例系数(解析式) 13 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 13 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 15 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 16 题型二十一 实际问题与反比例函数 17 题型二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 17 优选题拔尖练 19 题型一 用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 【变式训练】（2023·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的负等积点已知点． (1)在，，，中，点M的负等积点是 ． (2)如果点M的负等积点N在双曲线上，求点N的坐标． 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】（25-26九年级上·山东烟台·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（24-25九年级上·广西贵港·阶段检测）下列函数中：①，②，③，④（为常数，且）；属于反比例函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三 根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知函数是关于x的反比例函数，求这个反比例函数的表达式． 题型四 求反比例函数值 【典例精讲】（2026·广东深圳·三模）如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 【变式训练】（24-25九年级上·江西上饶·期末）已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 题型五 由反比例函数值求自变量 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，交轴于点，交反比例函数（为常数，且，）的图象于点，已知． (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数的图象上一点，且点在第二象限，连接、、，若四边形的面积为，求点的坐标． 【变式训练】（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ． 题型六 判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（26-27九年级上·北京·课堂例题）画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 【变式训练】（2024·安徽·一模）如图是抛物线（a，b，c是常数且）的图象，则双曲线和直线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（23-24九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是______． 【变式训练】如图1，在矩形中，动点P从点A出发，沿的方向在AB和BC上运动，记，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图2所示．当的面积与的面积相等时，y的值为__________________． 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（2026·陕西西安·模拟预测）已知反比例函数图象与正比例函数的图象交于点和点，则______________． 【变式训练】已知直线与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标为__________． 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么b、有怎样的大小关系？ 【变式训练】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 题型十 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【变式训练】（26-27九年级上·全国·课后作业）反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·单元复习）选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 【变式训练】（2026·陕西宝鸡·二模）若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26九年级上·广东茂名·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系________．（用“”连接） 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，交x轴于点B，点C在x轴负半轴上，连接交y轴于点D，若，则________． 【变式训练】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 题型十五 求反比例函数解析式 【典例精讲】如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【变式训练】如图，菱形的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6（），反比例函数的图象经过点C，则k的值为______； 题型十六 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点P是矩形的对称中心，点P在y轴正半轴上，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点C，求矩形的面积． 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，下面三个结论：①；②点和点在反比例函数的图象上，若，则；③不等式的解集是，其中正确的结论是________（只填序号） 题型十七 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 题型十八 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集为______； 题型十九 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【变式训练】如图，直线与反比例函数的图象交于点、，连接、． (1)求m、n、k的值； (2)求的面积； 题型二十 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式： (2)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． (3)当时，直接写出的取值范围； 题型二十一 实际问题与反比例函数 【典例精讲】过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【变式训练】某物体对地面的压强与物体和地面的接触面积成反比例函数关系，其图象如图，当压强小于等于时，的取值范围是________． 题型二十二 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（24-25八年级下·四川宜宾·期中）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薫药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【变式训练】（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，的值（     ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先减小后不变 2．（26-27九年级上·北京·课后作业）y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，点A的横坐标为1．则下列说法错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，一次函数的值小于反比例函数的值 C．将直线向上平移k个单位长度后与反比例函数的图象一定有交点 D．连接，，则的面积为12 4．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·北京·课后作业）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．当汽缸壁所产生的压强为时，汽缸内气体的体积为________． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据物理学知识，近视眼镜的度数y（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为．小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为______． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，反比例函数的图象经过斜边上的中点A，与边交于点D，分别连接，，则的面积为_________． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 10．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 11．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 12．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 14．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 15．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象和性质． (1)根据题意，列表如下： … … … … 表格中的值为________； (2)在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的图象； (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而________； ②函数的图象关于点________中心对称；（填点的坐标） ③函数的图象是由的图象向________平移________个单位长度得到的； (4)函数的图象可由函数的图象平移得到，想象函数的图象，直接写出当时，的取值范围是________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null第1章反比例函数『高频易错题型培优讲练』 「易错卡片+22个题型讲练+优选题拔尖练共59题」 【2026-2027学年苏科版数学新教材九年级上册·原卷版】 山进义简 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲 义包含精编易错点知识卡片，高频易错题型题型讲练，优选题培优拔尖练等四大部分！题日新 颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题日，解析思路清晰，难 度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩 固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 售山且录导航 回回 题型讲练………… 题型一用反比例函数描述数量关系.· 题型二根据定义判断是否是反比例函数 …4 题型三根据反比例函数的定义求参数.….·· ……4 题型四求反比例函数值...· ……5 题型五由反比例函数值求自变量，..· 题型六判断（画）反比例函数图象. 7 题型七已知反比例函数的图象，判断其解析式. …8 题型八由反比例函数图象的对称性求点的坐标 …9 题型九已知双曲线分布的象限，求参数范围.9 题型十判断反比例函数的增减性. 10 题型十一判断反比例函数图象所在象限.·· 10 题型十二已知反比例函数的增减性求参数. 10 题型十三比较反比例函数值或自变量的大小.. 。。。 11 题型十四已知比例系数求特殊图形的面积.... 11 题型十五求反比例函数解析式….11 题型十六反比例函数与几何综合…………… 12 题型十七根据图形面积求比例系数（解析式）.3 第1页共24页 题型十八一次函数与反比例函数图象综合判断…………… 13 题型十九一次函数与反比例函数的交点问题. 15 题型二十一次函数与反比例函数的其他综合应用 16 题型二十一 实际问题与反比例函数……… 17 题型二十二一次函数与反比例函数的实际应用 17 优选题拔尖练………………… 19 0反比倒数的定义 二、反比例函数的图像与性质 。k0)的数叫隙反比。 一、反比例函数的版念 白变量x的取值范围是x+0的一切实数。 0图像的落本特征 数值y的值随图他是y中0的一切实对 Q易错点一：朝略k法0的条件 误示倒：认为y上曼反比通。忽略了k0的前搜条件 易点大：k的正负与图 意因的生系 正提理解：当k0时，y-0,此时不是反比例数 周型制想：，。一1的图在第二。四家用仙一10) 典型例题：断面数y血是反比数时。m的取值范围. 易二混反比数与其他函数形式 误判为及比例语数 霸，天大时，设即 且分母只能是x 易) 典型衡：比较，三上，=一3和1=1两点的函戴值大小， 狮析技巧：只有整化为y-冬化0)形式的函数才是反比到函数 易点三：三种表达形式的 分式形式 O易维点八： 对称性的理解 易钮将y=是+1误认为是反比制通数《多了+)。 苏科版数学新整材 1忘记加地对值。面为数 目易错点四：实际问雕中白变量取值范围的确定 九年级上册第2章 O易错点九 需2 已知职求时，忘纪根耀象限判断k的正负， 《反比例函数》 易错点复习 ©易铺点五：判断是否为反比例西数的常见陷磷 船研1：y一是反比例函数，k■三（系数化简错误》 2y中。】+1不是反比数多了震数项1) 0易错点十 陷3：y中，k是常数但不一定是霍数，可以是分数、负数 画图像做的誉见相误 略阱4：移如，的通数，化后y，k值要重新计算 支线成的曲线再支条不相之) 方一，代入计直镇裤x代入)。 三、反比例函数的应用 0锅错点十二： 比较函数值大小的方法 西室辆：盒A-名，-..C以)有y-去上比载：：夫小 反比活数与一次面数的擦合 0行程问鞋：，当一定时，v与反比钢 O工程问题：Qm,当Q一定时。p与1成反比例 几何问题：5y,当一定时，与y成反比例 ③面积问题 ©实应用中的易错点 买际应用中的易 0物理问题：压强P一专（一定时），电流1一定时 G将槽：实际问顾中形略自变量的取值范图（如长度，时枫不能为负） 易信：单位换错保。 ：单位算误。 第2页共24页 九年级上册第2章《反比例函数》 易错点复习知识点 1,反比例函数的概念 6.易错点五：判断是否为反比例函数的常见陷阱 ·定义：一般地，形如y= (k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数 2云是反比例函数，k= 0y= 2 ·等价形式：y=kx1或xy=k。 ·自变量x的取值范围：x≠0。 2y=+=1+ ,不是反比例函数（多了常数项1）。 ·函数值y的取值范围：y≠0。 了，k是常数但不一定是整数，可以是分数、负数 y= ②易错点一：忽略k≠0的条件 0形如y= 的函数，化简后y:直 ,k值要重新计算 ·错误示例：认为y=冬就是反比例函数，忽略了k0。 ax ·正确理解：当k=0时，y=0,此时不是反比例函数。 ·典型例题：已知y= 3 的图像在第二、四象限，求k值。 ·典型例题：判断函数y=m-二是反比刚函数时.m的取值范围。 答案：k=-3(k<0)。 x ·答案：m≠2。 ③易错点二：混蒲反比例函数与其他函数形式 ·错误示例：将y= k x+1 误判为反比例函数。 7.易错点六：图像与性质 ·正确理解：反比例函数的自变量x必须在分母上，且分母只能是x, 不能是x+1、X-2等。 k的符号 图像位置 ·辨折技巧：只有能化为y-左收40)形式的适数才是反比猛放。 k>0 第一、三象限 k<0 ·典型例题：下列函数中，哪些是反比例函数？（填序号） 第二、四象限 ①y=3 2 ③y=-5 ·易错：忘记判断k的正负就直接画图像 ②y= ④y=2x1 x-1 x ·典型例题：函数y=2的图像在第几象限？ ·答案：①③④. ·答案：第一、三象限。 4.易错点三：三种表达形式的辨析 8.易错点七：增减性的理解（最高频易错！） 表达形式 特点与易错点 ·当k>0时，在每个象限内，函数值y随x的增大而减小。 y=冬（分式形式） 最直接体现反比例关系。 ·当k<0时，在每个象限内，函数值y随x的增大而增大。 x ·易错表述：把“每个象限内”忽略，导致判断错误。 y=kx1(指数形式) 便于与正比例函数y=kx对比。 。典型例题：比较y= xy=k(乘积形式) 最直接体现“两变量乘积为定值”。 2在灯=-3和=1时的函数值大小 ·易错例题：将y=+1误认为反比例函数 ·答案：y1<y2 因为在第二象限内，k>0时 y随x增大而减小。 ·答案：不是（多了“+1”）。 5.易错点四：实际问题中自变量取值范围的确定 9.易错点八：对称性的理解 ·反比例函数中x≠0是数学定义要求。 。中心对称：关于原点(0,0)对称 ·但实际问题中，自变量取值范围还需考虑实际意义。 ·典型例题：修路问题中，工作效率x和天数y的关系，y>0且x>0 。轴对称：关于直线y=x和y=-x对称 ·答案：x>0,y>0。 ·易错：将对称轴误认为坐标轴。 女小贴士：实际问题要结合“有意义”的条件，确保结果符合生活实际！ 经典例题精练 例题1判断函数是否为反比例函数 例题2求k的值 例题3比较函数值大小 例题 实际应用 判断西数y=+2是香为反比数 已知反比例西数y=冬的图像 已知y=-4 比较1,2，为 某物体运动路程s(m)与时间t(s)成反比例， 当t=2s时，s=10m 并说明理由。 经过点(2，-3)，求k的值 的大小其中1=-2，=1为=3 (1)写出s与t的函数表达式： (2)当t=5s时，s=? 解折：y=+2=1+2 x 解析：-3= 2 一k=-6 不是y=套的形式 答案：k=-6。 所以片>为> （2)t=5,s=20=4m 答案：不是。 答案：片>为>y2 答案：(1)5=20 (2)4m 学习建议 理腰像，牢记k≠0，x≠0：2.掌提图像与性质，注意区分正负；3.多做例题，联系实际，提升应用能力 第3页共24页 山高频易错题型讲练 题型一用反比例函数描述数量关系 【典例精讲】若以方程x2-2(k-3)x+2-4-1=0的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数)=号 的图象上，则满足条件的k值为一一· 【变式训练】(2023·福建福州·二模)在平面直角坐标系xOy中，对于点M(x1y1),给出如下定义：当点 N(x2,y2),满足x1·x2=-y1·y2时，称点N是点M的负等积点己知点M(1,2). (1)在N1(6,3),N2(4,-2),N3(-2,-1),N4(3,-1.5)中，点M的负等积点是_· ②)如果点M的负等积点W在双曲线y=-上，求点N的坐标。 题型二根据定义判断是否是反比例函数 【典例精讲】(25-26九年级上山东烟台·期中)下列函数：①y=x-2:②y=是③y=x1:④y=年行： ⑤xy=11;⑥y=kx;⑦=1.其中y是x的反比例函数的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式练】(2425九年级上·广西贵港·阶段检测)下列函数中：①x灯y=-子②y=3x,®y=三 ④y=业(k为常数，且k≠0)：属于反比例函数的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 题型三根据反比例函数的定义求参数 【典例精讲】(25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测)函数y=(m-1)x+1是反比例函数，点(1，-4) 在该函数图像上. (1)求m,n的值： (2)若x<3,求y的取值范围. 第4页共24页 【变式训练】(24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测)已知函数y=(m2-2m)xm2-m-3是关于x的反比例 函数，求这个反比例函数的表达式. 题型四求反比例函数值 【典例精讲】(2026·广东深圳·三模)如图，已知点4(3,3)，B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一 支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：-一一一。 B 0123 【变式训练】(24-25九年级上·江西上饶·期末)已知反比例函数y=(2m-1)xm2-2,当x>0时，y随 着x的增大而减小. (1)求m的值； (2)当x>-2时，求y的取值范围. 题型五由反比例函数值求自变量 【典例精讲】(25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测)如图，点A(a,2)在反比例函数y1=(x>0)的图象 上，过点A作ABIx轴，交y轴于点C,交反比例函数y2=兰(k为常数，且k≠0，x<0)的图象于点B,已 第5页共24页 知AC=2BC. k y2-x (1)求反比例函数y2=的表达式： (②)点D为反比例函数y2=K的图象上一点，且点D在第二象限，连接OA、OD、CD,若四边形ACDO的面积 为6，求点D的坐标. 【变式训练】(25-26九年级上·陕西汉中·期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反 比例函数y=-的图象交于A(-1,m),B(n,-2)两点，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点C. (1)求一次函数解析式： (2)点P是x轴上一点，△B0P的面积等于△AOB面积的2倍，求点P坐标； (3)根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤-的解集_· 第6页共24页 题型六判断（画）反比例函数图象 【典例精讲】(26-27九年级上·北京·课堂例题)画反比例函数y=的图象. (1)列表（请填空)； 4 -3 -2 -1 2 3 4 y (②)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）： y个 3 2 1 432直，01234 (3)点(12，)在y=的图象上吗？为什么？ 【变式训练】(2024·安徽·一模)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0)的图象，则 双曲线y=如-2b+c和直线y=Qbcx+b的大致图象可能是() -2 -1O 第7页共24页 题型七已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】(23-24九年级上·河南新乡·阶段检测)如图，已知直线y=k1x+b分别与x轴、y轴相交 于P,Q两点，与y=2的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点，连接0A,0B,给出下列结论：①k1k2>0:②m+ n=0:③Sa40P=SaB00:④不等式k1x+b>2的解集是x<-2或0<x<1,其中正确结论的序号是 一- 【变式训练】如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A-B-C的方向在AB和BC上运动，记PA=x, 点D到直线PA的距离为，且y关于x的函数图象如图2所示.当△PCD的面积与△PAB的面积相等时，y 的值为 第8页共24页 A D 2 0 253 图1 图2 题型八由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】(2026·陕西西安·模拟预测)己知反比例函数y=图象与正比例函数y=V3x的图象交于点 A(x1y1)和点B(x2y2),则2x1y2+3x2y1= 【变式训练】已知直线y=mx(m≠0)与反比例函数y=化≠0)的图象的一个交点坐标为3,49)，则它们的 另一个交点坐标为 题型九已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】(2627九年级上·全国·课后作业)如图是反比例函数y=生中的图象的一支，根据图象回 答下列问题， (1)图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(a,b)和点B(a',b'),如果a<a',那么bb'有怎样的大小关系？ 第9页共24页 【变式训练】己知关于x的函数y=-3的图象位于第二、四象限，则反比例函数y=的图象位于 ) A.第二、四象限B.第一、三象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限 题型十判断反比例函数的增减性 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)关于反比例函数y=三，下列说法错误的是( A.函数图象在第一、三象限 B.当x>0时，y的值随x的增大而减小 C.当x>-1时，y<-3 D.若点(a,b)在它的图象上，则点(b,a也在它的图象上 【变式训练】(2627九年级上·全国·课后作业)反比例函数y=的图象经过点A(4,1),当y<4时，x 的取值范围是」 题型十一判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】(25-26八年级下·河南周口·期末)关于反比例函数y=一说法错误的是（ ) A.图象分布在二、四象限 B.图象关于原点中心对称 C.当x>0时，y随x增大而增大 D.当x1<x2时，y1<y2 【变式训练】(25-26八年级下·江苏扬州·期末)已知点A(x1,-3),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数y= m2的图象上，则x1,x2,x3的大小关系是 (用“<”连接). 题型十二已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·单元复习)选一个数作为m的值，使关于x的函数y=m+3的图象 在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为一一一一· 【变式训练】(2026·陕西宝鸡·二模)若点4(-1，y)和点B(2,y2)在反比例函数y=3(k为常数，且k≠3) 的图象上，且y1<y2,则k的值可能是 一·（写出一个符合题意的数即可） 第10页共24页 题型十三比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】(2526九年级上·广东茂名·期末)若点A(-1,y)8(-2,).C3,y在反比例函数)=一 的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是( A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2 D.y3<y2<y1 【变式训练】若点Ax1,-3),B(x,-1),C(x,)在反比例函数y=的图象上，则x1,x2,x3的大小关系 (用“<”连接) 题型十四已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，已知点A是反比例函数y=图象上的一点，过 点A作ABIy轴，交x轴于点B,点C在x轴负半轴上，连接AC交y轴于点D,若B0=2CO,则S△AOc=_ 【变式训练】(25-26九年级上·江西景德镇·期末)如图所示，点A是反比例函数y=生(x>0)图象上 的任意一点，ABIx轴交反比例函数y=-(x<0)的图象于点B,以AB为边作口ABCD,点C,D在x轴上， 则□ABCD的面积为 题型十五求反比例函数解析式 【典例精讲】如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象相交于A(-Q,4a),B(-4,)两点，连 接AO,BO,并延长AO交反比例函数图象于点C,直线AB交x轴于点D. 第11页共24页 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (②)若点P是x轴上一点，当SAPAC-SA△BoD时求点P的坐标。 【变式训练】如图，菱形0ABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是10和6 (AC>OB),反比例函数y=x<0)的图象经过点C,则k的值为一一一： 0 题型十六反比例函数与几何综合 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，点P是矩形0ABC的对称中心，点P在y轴正半 轴上，反比例函数1=-(x<0)的图象经过点么反比例函数2-只(c>0)的图象经过点C求矩形0ABC 的面积. B P A 0 第12页共24页 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C与反比例函 数y=在第一象限内的图象交于点B(1,4),连接B0,下面三个结论：①S△40=6；②点(x1,y1)和点(x2y2) 在反比例函数的图象上，若x1>x2,则y1<y2:③不等式x+3<的解集是0<x<1,其中正确的结论 是 (只填序号)》 题型十七根据图形面积求比例系数（解析式） 【典例精讲】如图，点A和点B分别在反比例函数)=c<0)和y=Q>0)两个图象上，AB∥x抽且交)y 轴于点P,若PA:PB=2:3,则k的值为( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 【变式训练】(25-26八年级下·河南南阳·期末)反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，点A在函 数的图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接A0,AB,且A0=AB,若S△A0B=6,那么k= B 题型十八一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲(25-26八年级下湖南衡阳期末)在同一平面直角坐标系中，函数y=-kx+1与y=(k≠0) 的图象大致是( 第13页共24页 【变式训练】(25-26九年级上·吉林长春开学考试)如图，一次函数y1=Qx+b的图象与反比例函数y2= (x>0)的图象交于点A(6,1),B(2,m). B(2,m) A(6,1) (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)利用图象，直接写出不等式ax+b<的解集为_一一； 第14页共24页 题型十九一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，直线y=一x与反比例函数y=(化≠0)在第二象限内的图象相 1 交于点A(m,1). (1)求m的值； (2)将直线y=-x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B,与y轴交于点C,且△AB0的面积 为，求直线BC的解析式。 【变式训练】如图，直线y1=3x-5与反比例函数y2=的图象交于点A(2,m)、B(m,-6),连接0A、0B. (1)求mn、k的值； (2)求△AOB的面积； 第15页共24页 题型二十一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】(25-26八年级下河南周口期末)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=?(m≠ 0)(x<0)的图象相交于A(-1,3),B(-3,a)两点，连接A0,B0 (1)求反比例函数和一次函数的表达式： (2)根据函数图象直接写出不等式kx+b>的解集： (3)求△AB0的面积. 【变式训练】(25-26八年级下·山东东营·期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=-x+4 的图象与反比例函数y=的图象相交于A(1,n),B两点. 0 (1)求反比例函数的表达式： (2)点P是x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点P的坐标. (3)当-x+4>时，直接写出x的取值范围： 第16页共24页 题型二十一实际问题与反比例函数 【典例精讲】过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、 衣柜等区域均有很好的杀菌效果.对房间进行消毒时，采用浓度为2%的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒， 每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果.李某进行消毒时， 室内每立方米空气中的含药量y(毫升)与喷洒消毒液的时间x(分钟)成正比例关系，喷洒完成后，y与 x成反比例关系（如图所示），已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升. 16 6 x/分 (1)分别求出当0≤x≤6和x>6时，y与x之间的函数关系式： (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果， 【变式训练】某物体对地面的压强P(Pa)与物体和地面的接触面积S(m)成反比例函数关系，其图象如图， 当压强P(Pa)小于等于480Pa时，S(m2)的取值范围是 个PPa) (8,30) S(m2) 题型二十二一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】(2425八年级下·四川宜宾·期中)某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”， 对教室进行“薰药消毒”.己知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与燃烧时间x(mi) 之间的关系如图所示.根据图象所示信息，解答下列问题： 第17页共24页 Ay(mg) 24 x(min) (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg,对人体无毒害作用.从消毒开始，至少需要经过多 少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于4g且持续时间不低于40分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌.你认 为此次消毒是否有效？并说明理由. 【变式训练】(2024·辽宁大连·一模)智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加 热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降.在水温开始下降的过程中，水温y(℃)与通电时间 x(m)成反比例关系.当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温均 为20℃，接通电源后，水温y(℃)与通电时间x(min)之间的关系如图所示. ↑y/C 100 20 a x/min (1)当4<x≤a时，求y与x之间的函数关系式（写出x的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于40℃的时间. 第18页共24页 雪优选题培优拔尖练 =aee11e4=11111=, 1.(26-27九年级上·北京·课堂例题)反比例函数y=(k>0)的图象如图所示，随着x值的增大，y的 值( A.减小 B.增大 C.不变 D.先减小后不变 2.(26-27九年级上·北京·课后作业)y关于x的函数)=中nm>0,m<0)的图象可能是（ 0 3.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，一次函数y=x(x≥0)与反比例函数y=2(x>0)的图象交 于点C,过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D,交y=x的图象于点B,点A的横坐标为1.则 下列说法错误的是( 9 B OD A.点C的坐标为(3,3) B.当x>3时，一次函数的值小于反比例函数的值 C.将直线0C向上平移k个单位长度后与反比例函数y=2(x>0)的图象一定有交点 D.连接AC,0A,则△0AC的面积为12 4。（21-2八年级下·江苏盐城·阶段检测)若点A(-5,y),B(-3,y2),C(4,为)在反比例函数y=的图 象上，则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y3<y1<y2 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y1<y2<y3 第19页共24页 5.(25-26八年级下·福建泉州·期未)如图，函数y1=-x+5与2=x>0)的图象相交于A(4,m), B(n,2)两点，当y1>y2时，x的取值范围是( B A.4<x<6 B.4<x<8 C.4<x<7 D.x>4 6.(26-27九年级上·北京·课后作业)在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽 缸壁所产生的压强pkPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示.当汽缸壁所 产生的压强为120(kPa)时，汽缸内气体的体积为 mL. p(kPa) 120 60 100 V(mL) 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)根据物理学知识，近视眼镜的度数y(度)是镜片焦距x(cm)的反 比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距为25cm.小张眼睛近视度数为500度，如果他要配一副近视眼 镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为cm. 8.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，反比例函数y=号(x>0)的图象经过Rt△B0C斜边上的中 点A,与边BC交于点D,分别连接AD,OD,则△ADB的面积为 B 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x>0)与一次函数 y=x+1的图象交于点P(a,),则代数式好-的值为一 第20页共24页 10.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，边长为8的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x 轴，BC∥y轴，反比例函数y-与y=-8的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和为 11. (23-24九年级上·河北邢台·期末)己知反比例函数y=5(k为常数). (1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值： (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； (3)若k=13,试判断点B(,3),C(-4,2)是否在这个函数的图象上，并说明理由. 12.(26-27九年级上·北京·单元测试)如图，点P(1,2)、Q(m,n)在反比例函数y=(x>0)的图象上， 当m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A,B:过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点 C,D,QD交PA于点E.四边形ACQE的面积为S. B D E A 第21页共24页 (1)求这个反比例函数的表达式： (2)求S与n的函数关系式. 13.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边ADIx轴，直 线y=2x+b与x轴交于点B,与反比例函数y=(k>0)图象交于点D和点B,0B=3,0A=4. D A B EX (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)点P为线段BE上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当△CDE被这条平行线分成面积相等的两部分时， 求点P的坐标.（√70≈8.36） 第22页共24页 14.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，已知直线y=k1x+b与反比例函数y=2的图象交于A(-1,6), B(a,3)两点. V A b (1)求k1,k2的值： (②)结合图象，直接写出k1x+b-2>0时x的取值范围. 15.(25-26九年级上·江西景德镇·期末)在函数学习中，我们经历了“根据函数表达式画函数图象一一 利用函数图象研究函数性质一一利用函数图象和性质解决问题”的过程，我们可以借鉴这种方法探究函数 y=4的图象和性质. x-11 4 -5-4-3-2-10 12345x -2 3 4 第23页共24页 (1)根据题意，列表如下： -3 -2 ~1 0 2 3 4 5 4 -1 3 m 3 表格中m的值为 ②在所给的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数y=的图象： (3)观察函数图象，回答下列问题： ①当x<1时，y随x的增大而 ②函数=的图象关于点 中心对称：（填点的坐标） ③函数y=的图象是y=的图象向 平移个单位长度得到的： (④函数y=4的图象可由函数)=的图象平移得到，想象函数y=的图象，直接写出当本之2时，x 的取值范围是」 第24页共24页null