3.1 圆的相关概念 知识梳理+同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦圆的相关概念，通过基础认知、性质应用、综合探究三层设计，实现从概念辨析到问题解决的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|圆的定义、弦与直径、弧等概念|单选/填空辨析易错点，强化几何直观| |性质应用|半径与直径关系、等弧判定等性质|中档计算与性质应用，发展运算能力| |综合探究|实际问题与几何证明综合|解答题结合生活情境与推理证明，提升模型意识|

3.1圆的相关概念（知识梳理+同步练习） 一、圆的定义 1. 描述性定义 在同一平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，另一个端点A运动所形成的封闭曲线叫做圆。固定端点O为圆心，线段OA为半径。 2. 集合定义 圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。定点为圆心，定长为半径。圆上所有点到圆心的距离都等于半径。 二、圆的基本相关概念 1. 弦与直径 弦：连接圆上任意两点的线段。 直径：经过圆心的弦。 核心结论：直径是圆中最长的弦；直径属于弦，弦不一定是直径。 2. 圆弧（弧） 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 劣弧：小于半圆的弧，用两个点表示。 优弧：大于半圆的弧，用三个点表示。 半圆：直径所对的弧，半圆既不是优弧，也不是劣弧。 3. 等圆、等弧 等圆：半径相等、圆心不同的圆，可完全重合。 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。不等圆中不存在等弧。 4. 同心圆 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 三、核心性质 · 同圆或等圆中，所有半径长度相等。 · 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 · 等弧的判定前提为同圆或等圆，需同时满足长度相等、弯曲程度相同。 四、高频易错点 · 圆特指圆周这条封闭曲线，不包含圆内部区域。 · 弦是线段，弧是曲线，两类概念不能混淆。 · 仅长度相等的弧不是等弧，必须在同圆或等圆中才可判定为等弧。 · 任意弦不一定是直径，只有过圆心的弦才是直径。 同步练习 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）下列说法中正确的是（    ） A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦 2．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 3．（25-26九年级上·北京·随堂练习）下列说法正确的是（     ） A．圆上任意两点间的部分叫作圆弧 B．圆上任意两点间的线段叫作弧 C．圆上任意两点间的线段长度叫作弧 D．任意两点间的部分叫作弧 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 5．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于(　　)      A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，以四边形边长均大于的四个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川南充·一模）如图，在半径为的扇形中，正方形的顶点A，B，D在半径上，顶点在弧上，．则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公园计划砌一个形状如图①所示的喷水池，有人改为如图②所示的形状．若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则砌水池边沿需要的材料更多的是（    ） A．图① B．图② C．两图一样多 D．无法确定 10．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如果一个圆最长的弦是，那么它的半径是_____ 13．（25-26九年级上·北京·课后作业）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是__________． 15．（25-26六年级上·全国·课后作业）笑笑用如图所示的长方形纸剪尽可能大的圆，她剪出的圆半径是( )厘米，最多能剪出( )个这样的圆． 16．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 17．（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为________________． 18．（25-26九年级上·北京·期中）如图，等腰的顶角，以为直径的半圆分别交于点D，E．则是______度． 三、解答题 19．（25-26九年级下·全国·课后作业）火车机车上主动轮的直径为1.2，如果主动轮每分钟转400圈，那么火车每小时行多少千米？（精确到0.1） 20．（2025·广西·中考真题）如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，求∠2的度数． 22．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的弦的延长线交于点P，连接，且平分．求证：． 23．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘．已知大、小圆盘的直径都是整厘米数，涂色部分的面积为，求大、小圆盘的半径． 24．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点． (1)作的平分线交半圆于点． (2)在（1）的作图下，连接，求证：． 25．（24-25八年级上·河南开封·阶段检测）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于是，他又对进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请你和他一起完成下面的探究． (1)观察猜想 ①如图1，将放置在边长为1的正方形网格中，则，，之间的关系是______； ②如图2，以的三边向外作等边三角形，，，则，，之间的关系是______； (2)探究论证 如图3，以的三边为直径向外作半圆，若，，，则判断在（1）中发现的，，之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)拓展应用 如图4，以的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出的面积． 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A B B A B C B 1．A 【详解】解：A、直径是经过圆心的弦，故A正确； B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，原说法缺少前提条件，故B错误； C、相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，故C错误； D、平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直），故D错误． 故选：A． 2．A 【详解】解：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是圆的一半，是弧的一种，故甲正确； 等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，仅长度相等不一定能重合，故乙错误， 说法正确的是甲． 故选：A． 3．A 【详解】解：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆上任意两点间的线段叫作弦． 观察四个选项，只有选项A说法正确， 故选：A． 4．A 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 5．B 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， ， ， 而， ， ， ， ． 故选：B．      6．B 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 7．A 【详解】解：∵平行四边形的边长均大于2，各弧的半径都是1，四边形的内角和为， ∴图中阴影部分的面积等于一个圆的面积， 即． 故选：A． 8．B 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， 正方形的边长为． 故选：B． 9．C 【详解】解：设图①中每个外圆的直径为， ∴图①中水池边沿的周长为． 设图②中三个内圆的直径分别为、、，外圆的直径为，且， ∴图②中水池边沿的周长为外圆周长加上三个内圆的周长，即： ． ∴图①和图②水池边沿的周长相等，即砌水池边沿需要的材料一样多． 故选：C． 10．B 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    11． AB，AC AC ， ， 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 12． 【详解】解：∵一个圆最长的弦是， ∴这个圆的直径为， ∴这个圆的半径为， 故答案为：． 13．①③④ 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 14．/108度 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： ． 15． 1 2 【详解】（厘米） （个） 则她剪出的圆半径是1厘米，最多能剪出2个这样的圆， 故答案为：1，2． 16．/50度 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 17． 【详解】解：连接，过点B作轴于点，如图， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点Ｂ是第四象限内的点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 18．50 【详解】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：50． 19．约 【详解】解：已知主动轮直径为，每分钟转400圈． 主动轮的周长：，1时等于60分钟， 1小时主动轮转的圈数为：（圈）， 火车1小时行驶的距离为： ， 换算单位得， 答：火车每小时约行千米． 20．(1) 证明：的半径为， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 21． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22． 证明：过点O作于点于点H，连接． 平分， ， ∵ ， 又， ， ． 23．4cm和1.5cm． 【详解】解：设大圆盘的直径为，小圆盘的直径为，根据题意，得，即， 分解因式，得． 均为整数， 均为整数． 又和的奇偶性相同， 解得 ， 大、小圆盘的半径分别为4cm和1.5cm． 24．(1) 如图，即为所求． (2) 证明：如图． 平分， ． ， ， ， ． 25．(1)①；②； (2) 解：还成立，理由如下： ∵，，，， ∴； ∴； (3)8 【详解】（1）解：①，理由如下： 由网格可知：， ∴之间的关系是， 故答案为：； ②，理由如下： ∵， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）解：∵图中阴影部分的面积，， ∴． $