第26章 二次函数 单元检测卷 2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册第26章二次函数培优单元卷，通过基础巩固、实际应用与创新探究的梯度设计，考查二次函数解析式、图像性质、最值及综合应用，适配新授课后核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10题40分|解析式确定、图像平移、交点判断|基础知识点全面，如第3题平移考查几何直观| |填空|4题20分|最值计算、取值范围、图形面积|结合图像与计算，如第14题翻折图像交点考查推理能力| |解答|6题60分|实际应用（销售利润、养牛场面积）、新定义“靓点”|第17-19题以生活情境构建模型，体现应用意识；第20题新定义问题培养创新意识|

第26章二次函数单元检测卷培优卷人教版2026—2027学年九年级数学上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 1．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 4．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 6．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 7．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 8．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 10．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．二次函数的最小值为___________． 12．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 13．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 14．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 16．已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 18．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 19．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 20．我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； (2)当时，求证：关于的函数（，为常数）的图象上总存在两个不同的“靓点”； (3)已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 参考答案 1．D 2．B 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．C 9．D 10．D 11． 12． 13．28 14． 15．【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 16．【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 17．【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）=每箱苹果的利润×平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 18．【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 19．【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 20．(1)点是“靓点”，证明如下： ∵点为“靓点”， ∴， ∵，， ∴将代入上式，得， ∴， ∴点是“靓点”； (2)证明：将代入，得， 整理得， ∵， ∴判别式 ， ∵，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 将代入方程左边，得， ∴方程的两个根都不等于1，即对应的点均满足“靓点”定义， 又∵，两个不同的对应两个不同的， ∴函数的图象上总存在两个不同的“靓点”； （3）解：将代入得， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”， ∴令，则方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴或， 将代入得， ∵， ∴， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴（不符合题意，舍去）或， ∴的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $