1.1集合的概念（知识点+7题型+过关检测） 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念这一核心知识点，系统梳理元素与集合的关系、常用数集记法、集合的表示方法（列举法、描述法、图示法）、集合相等及元素个数等内容，通过“筑·知能要点”夯实基础、“破·题型攻坚”提升应用、“巩·过关检测”巩固效果，构建完整学习支架。 该资料以模块式设计为特色，融入数学眼光（如通过“判断能否构成集合”培养抽象能力）、数学思维（如“元素与集合关系求参数”提升推理能力）、数学语言（如“描述法表示集合”规范表达）。题型覆盖集合组成、表示方法等，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与理解。

1.1 集合的概念 模块一 筑·知能要点 一、集合的相关概念 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 3.集合中元素的特征：确定的，互异的，无序的. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 二、元素和集合间的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 三、集合的表示 要点1　列举法表示集合 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可，不必考虑元素间的顺序. (3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. 要点2　描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性. (2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. 要点3　图示法 (1)Venn图法：用平面上封闭曲线的内部表示集合.如集合{1，2，3} 可表示为： (2)数轴法：对于某些数集，我们经常用数轴直观明了地表示出来.如集合A＝{x|x>1，x∈R}和B＝{x|x≤－2，x∈R}用数轴分别表示如下： 大于向右，小于向左；有“＝”画“·”，无“＝”画“。”. 要点4　非空集合的分类 有限集：含有有限个元素； 无限集：含有无限个元素. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 集合的组成 1．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 2．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 3．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 二、题型二 元素与集合关系 4．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 5．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 6．集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 7．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 三、题型三 元素与集合关系求参数 8．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 9．已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 10．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 11．实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 12．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 13．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 【答案】(1)任意奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素． (2)，且同是奇数或同是偶数， 所以集合中的元素是奇数，或者是的倍数. 一定是偶数，但不是的倍数，所以数字不是集合中的元素. (3)不妨任意取，则， 所以 ， 由得，，所以. 即属于集合的两个元素之积仍属于集合. (4) 【分析】⑴由任意奇数，可证； ⑵由可知集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析的特点可证； ⑶取，则，计算，并结合完全平方公式可得； ⑷由集合中的元素是奇数，或者是的倍数，分析可得中第个正整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）因为相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，由（2）知这个数中有个是集合的元素. 因为，所以中第个正整数是． 四、题型四 列举法表示集合 14．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【详解】，共5个元素． 15．平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【答案】C 【详解】选项A：表示去掉了直线和上所有点，错误； 选项B：错误保留了需要去掉的点，例如满足，会被包含在集合中，错误； 选项C：表示排除点，表示排除点， 同时满足即可精准剔除两点，正确； 选项D：，会去掉所有横坐标为1、横坐标为3、纵坐标为2、纵坐标为4的点，错误. 16．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程可得交点坐标，然后由集合表示方法可得答案. 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 17．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 五、题型五 描述法表示集合 18．下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【答案】BD 【详解】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误； D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合； A、C表述正确. 19．下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 20．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 21．用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 六、题型六 集合相等 22．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 23．下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据同一个集合概念进行判断即可. 【详解】A中，都是点集， 和是不同的点，则是不同的集合，所以A是； B中，都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，所以B不是； C中，表示函数的定义域，表示函数的值域，表示的范围相同，是同一个集合，所以C不是； D中，是数集，是点集，则是不同的集合，所以D是. 故选：AD 24．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 25．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 七、题型七元素个数 26．已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 27．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 28．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 29．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 30．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 31．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，根据题意，结合，准确运算，即可求解； （2）假设集合C中只有个元素，结合题意，得到方程，结合一元二次方程的性质，即可得证. 【详解】（1）若，则，若，则， 若，则， 当时，集合中必含有另两个元素、； （2）假设集合中只有一个元素，由题意可知， 集合为单元素集合，， 即，而，则此方程无实数解， 假设不成立，集合不可能是单元素集合． 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 3．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，，所以，故A错误. 对于B，在内无解，所以，故B错误. 对于C，当时，，所以，故C正确. 对于D，由，得，故，故D错误. 5．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，代入, 可得，解得，所以， 所以方程组的解集为. 6．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解. 【详解】集合. 故选：C. 7．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 8．集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 【答案】AC 【分析】分析，的特点，得到的值必为奇数，再对选项是奇数的进行验证. 【详解】，，则的值必为奇数， 又，，故AC正确． 故选：AC 10．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 11．已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 三、填空题 12．已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 13．已知集合，若且，则___________ 【答案】 【分析】根据集合的描述法表示，利用列举法求解. 【详解】因为，且， 所以， 故答案为： 14．集合有且仅有一个元素，则实数___________ 【答案】或 【分析】分别讨论和的情况，结合判别式可构造方程求得结果. 【详解】当，即时，，满足题意； 当，即时，，解得：； 综上所述：或. 故答案为：或. 四、解答题 15．用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，，元素无穷，. （2）大于2且小于15的质数有，. （3），为整数，得，. 16．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 17．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 模块一 筑·知能要点 一、集合的相关概念 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 3.集合中元素的特征：确定的，互异的，无序的. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 二、元素和集合间的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 三、集合的表示 要点1　列举法表示集合 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可，不必考虑元素间的顺序. (3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. 要点2　描述法表示集合 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性. (2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. 要点3　图示法 (1)Venn图法：用平面上封闭曲线的内部表示集合.如集合{1，2，3} 可表示为： (2)数轴法：对于某些数集，我们经常用数轴直观明了地表示出来.如集合A＝{x|x>1，x∈R}和B＝{x|x≤－2，x∈R}用数轴分别表示如下： 大于向右，小于向左；有“＝”画“·”，无“＝”画“。”. 要点4　非空集合的分类 有限集：含有有限个元素； 无限集：含有无限个元素. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 集合的组成 1．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 2．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 3．给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 二、题型二 元素与集合关系 4．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 5．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 6．集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 7．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 三、题型三 元素与集合关系求参数 8．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 10．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 11．实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 12．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 13．已知集合， (1)求证：任何奇数都是中的元素； (2)判断偶数是否为的元素？请说明理由； (3)求证：属于的两个元素之积仍属于； (4)试求中第个正整数． 四、题型四 列举法表示集合 14．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 15．平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 16．直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 17．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 五、题型五 描述法表示集合 18．下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 19．下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 20．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 21．用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 六、题型六 集合相等 22．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 23．下列各组集合表示的不是同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 24．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 25．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 七、题型七 元素个数 26．已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 27．若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 28．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 30．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 31．根据要求完成下列问题：集合满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 6．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 7．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 10．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 11．已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 三、填空题 12．已知集合，且，则___________． 13．已知集合，若且，则___________ 14．集合有且仅有一个元素，则实数___________ 四、解答题 15．用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 16．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 17．已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $