专题1.1 集合的概念重难点题型专训讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念这一核心知识点，系统梳理集合的概念（元素特性、集合相等）、元素与集合的关系（属于/不属于、常用数集）、集合的表示法（列举法、描述法、图示法），形成从概念本质到元素关系再到表示方法的递进式学习支架。 该资料通过13大基础题型与3大提高题型分层设计，结合即时训练与例题解析。以判断元素能否构成集合培养抽象能力（数学眼光），通过元素互异性求参数问题发展推理意识（数学思维），借助列举法与描述法表示集合提升数学语言表达能力。课中辅助教师精准教学，课后助力学生自我检测、查漏补缺。

专题1.1 集合的概念重难点题型专训 （3个知识点+13大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断元素能否构成集合 题型二、判断是否为同一集合 题型三、判断元素与集合的关系 题型四、根据元素与集合的关系求参数 题型五、用集合元素的互异性求参数 题型六、描述法表示集合 题型七、列举法表示集合 题型八、根据集合中元素的个数求参数 题型九、集合元素互异性的应用 题型十、利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型十一、列举法求集合中元素的个数 题型十二、常用数集或数集关系应用 题型十三、集合的分类 第二部分·练提高题型 题型一、元素与集合的相关求参 题型二、表示集合的方法 题型三、求集合元素的个数 第三部分・自我检测 知识点01 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【即时训练】 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【分析】根据集合元素的特点判断即可． 【详解】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 2．（25-26高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的有______（填序号） ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合； ④集合与表示同一个集合． 【答案】② 【分析】利用集合的定义和性质逐项分析可得. 【详解】①不正确．单词book中的字母o有重复，共有3个不同字母，因此单词book的所有字母组成的集合的元素个数是3． ②正确．因为a，b，c是集合M中的3个元素，所以a，b，c互不相等，因此的三边长互不相等，故不可能是等腰三角形. ③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的． ④不正确．集合表示数3，4构成的集合，集合中有两个元素，集合表示点集，集合中有一个元素，故集合M与N不是同一个集合． 故答案为：② 知识点02 元素与集合的关系 知识点2  元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*（或N＋） Z Q R 【即时训练】 1．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 2．（25-26高一上·上海·期中）若，则的值为______. 【答案】 【分析】通过分情况讨论集合中元素与的相等关系，结合集合元素的互异性求解的值. 【详解】因为，所以分两种情况讨论： 若，解得，此时集合为，不满足元素的互异性，舍去. 若，解得，此时集合为，满足元素的互异性，符合条件. 故答案为： 知识点03 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【即时训练】 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解，即可. 【详解】由， 可得， 即，又 所以， 故选：C 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若且，则___________ 【答案】 【分析】根据集合的描述法表示，利用列举法求解. 【详解】因为，且， 所以， 故答案为： 【基础题型一 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 1．（25-26高一上·全国·阶段检测）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 3．（2025高一·全国·专题练习）设集合，已知且，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【分析】由或解出的值，再验证集合中元素的互异性即得解. 【详解】当时，可得或， 若时，则，不合题意； 若时，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 故答案为： 4．（24-25高一·全国·课堂例题）以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 【答案】(1)能构成一个集合 (2)不能构成一个集合 (3)不能构成一个集合 (4)能构成一个集合 【详解】（1）能构成集合．河北红星工厂的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合． （2）“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合． （3）“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合． （4）任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合． 【基础题型二 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 1．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 2．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第________组． 【答案】（1） 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 4．（25-26高一·全国·课后作业）有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？ 【答案】（1）不是；（2）答案见解析. 【分析】（1）由各个集合的特征进行判断； （2）由用描述法表示集合的方法进行判断 【详解】解：（1）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}＝R；②{y|y＝x2+1，x∈R}＝[1，+∞）；③{（x，y）|y＝x2+1}是点集，它们不是相同的集合； （2）①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}表示满足y＝x2+1，y≥1，y∈R的x的取值；②{y|y＝x2+1，x∈R}，表示函数的值域；③{（x，y）|y＝x2+1}表示点的集合. 【基础题型三 判断元素与集合的关系】 【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 2．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 3．（24-25高一上·湖北·阶段检测）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为________． 【答案】 【分析】对的非空子集进行分类讨论，即分满足和满足讨论即可得解. 【详解】可设的非空子集为， 又把这样的子集分为两类： （1）一类满足，这样的非空子集的“均值”的算术平均数为； （2）另一类满足，此时可把两个非空集合与 配对， 易知这是两个不同的集合，且都是的非空子集， 它们的最大数与最小数之和是， 所以此时非空子集的“均值”的算术平均数为. 综上，的所有非空子集的“均值”的算术平均数为， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海青浦·阶段检测）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）当时求出，当时利用韦达定理计算可得； （2）首先可得，再分析方程的解，当时求出，当时分为方程的解和不是方程的解两种情况讨论. 【详解】（1）因为且为非空集合， 对于方程， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 此时集合中所有元素之和； 综上可得集合中所有元素之和或； （2）因为， 由，则或， 对于，解得，所以； 对于， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 若为方程的解，则，此时方程的两根为和， 此时，则集合中所有元素之和； 若不为方程的解，即， 此时集合中所有元素之和； 综上可得：集合中所有元素之和或或. 【基础题型四 根据元素与集合的关系求参数】 【例4】（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C. 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 【答案】ACD 【分析】对于A,当时,,此时,分类讨论判断正误;对于B,由题意得,则,所以判断B的正误;对C,若,,此时,则求出范围判断即可;对于D,因为,则,所以,将转化为求解即可. 【详解】对于A,当时,,此时.若,则,满足题意;若,则,综上,若,则,故A正确; 对于B,因为,则,所以,解得或,故B错误; 对于C,若,,此时,则,解得,综上,故C正确; 对于D,因为,则,所以,所以,故D正确. 故选:ACD. 3．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 4．（2025高一上·北京海淀·专题练习）设，，若，求集合B． 【答案】 【分析】由题可得3是二次方程的两个等根，据此可得，，据此可得集合B. 【详解】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 【基础题型五 用集合元素的互异性求参数】 【例5】（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B．-1 C．-1或 D．1 【答案】B 【分析】集合，，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可求解. 【详解】由题知集合，， 当时，得，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去）， 即时，，故B正确. 故选：B. 1．（25-26高一·全国·课前预习）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合互异性,根据题意,分a＝0和a≠0分类讨论,得出答案. 【详解】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素. 故选:B. 【点睛】本题考查集合中元素的特征，其中互异性即集合中元素要求互不相同考查较多，解题时，注意分类讨论． 2．（24-25高三上·江西新余·阶段检测）（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 3．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据集合相等，对应元素相同，即可求解 【详解】由于集合等于集合，所以， 此时可得，则，可得， 当，不满足集合元素互异性,故舍， 所以， 所以， 故答案为： 4．（25-26高一上·新疆·阶段检测）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【分析】（1）根据集合元素的互异性列出不等式组，解不等式组即可； （2）若，则或，进而求解即可得答案. 【详解】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 【基础题型六 描述法表示集合】 【例6】（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，进而求解即可. 【详解】由，得，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为集合中的元素，先求，再根据，进行验证，即可求解. 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段检测）（多选）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（   ） A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 【答案】ACD 【分析】对于A：令，，可知对任意，均有，所以，即可判断A；说明，即可判断B；设，则，进而分析判断C；利用特殊值判断D. 【详解】对于A：令，，则， 即对任意，均有，所以，故A正确； 对于B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：，但是，故B错误； 对于C：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故C正确； 对于D：因为，，即，所以，使，故D正确. 故选：ACD 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有________．（填序号） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）中变形得到，故，，一一对应，（1）正确，同理判断（2）和（3）；对于（4），可举出反例. 【详解】对于（1），由，可得，，一一对应， 则，故（1）符合； 对于（2），由，可得，，一一对应， 则，故（2）符合； 对于（3），由， 可得，， 一一对应，则，故（3）符合； 对于（4），，但方程无实数解， 则与不相同，（4）不符合. 故答案为：（1）（2）（3） 4．（25-26高一上·全国·课后作业）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【答案】(1) (2)B表示直线y＝x－3上所有点组成的集合 (3)C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合 (4)D是一个单元素集 【分析】根据集合中元素的特点得出各集合表示的含义． 【详解】（1）A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知． （2）B中的元素是点，B表示直线上所有点组成的集合． （3）C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合． （4）D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为，D是一个单元素集． 【基础题型七 列举法表示集合】 【例7】（25-26高二下·吉林·期末）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 1．（25-26高一上·四川·阶段检测）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和三种情况讨论，结合定义即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，. 故选：B. 2．（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）（多选）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【答案】CD 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误. 故选：CD. 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 【答案】 【分析】当，，必然不是自然数，依次代入，验证是否是自然数，从而得到结果. 【详解】当时， ；当时， ；当时， ； 当时， ；当时， ；当时， . 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【答案】（1）当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）当时，集合； 当时，集合. 【分析】（1）分、、讨论，解方程可得答案； （2）利用韦达定理求出，再分、讨论求出集合即可. 【详解】（1）由得， 当时，解得， 当时，，方程无解， 当时，解得， 综上所述，当时，原方程的解为； 当时，原方程无解； 当时，原方程的解为， （2）因为关于的方程存在两个不相等实根, 所以，得，或， 且， 所以， 解得， 当时，由解得，或，所以集合； 当时，由解得， 所以方程无解，所以集合； 综上所述，当时，集合； 当时，集合. 【基础题型八 根据集合中元素的个数求参数】 【例8】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 1．（25-26高二下·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如果集合 中只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BD 【分析】直接分类讨论方程有一个解时实数的值即可. 【详解】由中只有一个元素，所以方程有一个解. ①当时，方程有一个解，集合M只有一个元素； ②当时，，得，此时方程有一个解. 所以或时，集合中只有一个元素. 故选：BD. 3．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 【基础题型九 集合元素互异性的应用】 【例9】（25-26高一上·河北·期中）下列四个结论中，正确的个数是（   ） ①集合中最小的数是1；②，，则的最小值是2；③，则；④的解集可表示为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据集合的概念以及性质逐一判断即可. 【详解】①错，集合中最小元素为0；②错，当，时的最小值为1； ③错，，则；④错，由集合中元素的互异性知，该集合为. 即正确的个数是0个， 故选：A. 1．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确 对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误 对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误 对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误． 2．（24-25高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（ ） A．方程的解集是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．9以内的素数组成的集合是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【答案】BD 【分析】由集合元素的互异性可得A错误，D正确；无序性可得B正确，由0不是素数可得C错误； 【详解】对于A，方程的解集是，故A错误； 对于B，由集合中元素的无序性可得B正确，故B正确； 对于C，9以内的素数组成的集合是，故C错误； 对于D，由集合中元素的互异性可得均不相等，故D正确； 故选：BD. 3．（25-26高一上·上海浦东新·期中）若，则___________． 【答案】/ 【分析】利用集合中元素与集合的关系，求出的值. 【详解】，或,若，解得. .若，解得或.当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去，所以的所有取值为或. 故答案为： 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 【基础题型十 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例10】（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的互异性可得出答案. 【详解】根据集合的互异性，， 所以集合中的元素个数为. 故选：B. 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，.定义集合，则的元素个数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先理解题意，然后分①当,时,②当,时, ③当,时,三种情况讨论即可. 【详解】解:由，, ①当,时, , , 此时的元素个数为个, ②当,时, , , 这种情况和第①种情况除外均相同,故新增个, ③当,时, , ,这种情况与前面重复,新增0个, 综合①②③可得: 的元素个数为个, 故选:A. 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题. 2．（25-26高一上·湖北·阶段检测）（多选）下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 【答案】BC 【分析】由根式与平方意义求解方程即可判断A；解不等式组即可判断B；化简实数，，再结合集合中元素的互异性即可分析求解判断C；根据集合中的元素的特点可得是6的正整数约数，即可求解判断D. 【详解】A，因为，所以由题意方程的解为，故方程的解集为，A错误； B，由得，整数解的集合为，B正确； C，由于，且在，，中，当时，， 当时，，当时，， 故三者，，中至少有两个相等， 则由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，C正确； D，因为且，所以是6的正整数约数， 即，解得， 因此集合中含有4个元素，故D错误 故选：BC 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若是正整数集的非空子集，称集合为集合的生成集.若是由个正整数构成的集合，则其生成集中元素个数的最小值为______. 【答案】n-1 【分析】根据生成集的定义判断即可. 【详解】由题意可得，当集合中的个元素从小到大排列成等差数列时其生成集中的元素个数最少， 设个元素分别为，且，则集合，所以生成集中元素个数最小值为. 故答案为：. 4．（2026高三·上海·专题练习）设非空集合，求集合A中所有元素的和． 【答案】 【分析】分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实根时由根与系数关系求解. 【详解】当时，解得，，所以A中所有元素之和为， 当时，， 方程有两个不等的实根， 由根与系数的关系知， 即A中所有元素之和为， 【基础题型十一 列举法求集合中元素的个数】 【例11】（25-26高二下·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为且，所以有5个元素. 1．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中正确的是（　　） A． B．由实数所组成的集合最多含2个元素 C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 【答案】BCD 【分析】根据集合的定义，以及集合的性质，即可判断选项. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，∵，，， ∴不论取何值，最多只能写成两种形式：，， 故该集合最多含2个元素，故B正确， 对于C，集合，只有一个元素，故C正确， 对于D，集合，为有限集，故D正确． 故选：BCD 3．（25-26高一上·广东揭阳·期中）由方程和的根组成的集合中的元素的个数为____. 【答案】3 【分析】解方程得到所求集合，即得元素个数. 【详解】方程，解得或. 方程，解得， 所以组成的集合为，共个元素. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【分析】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数. 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 【基础题型十二 常用数集或数集关系应用】 【例12】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据常用数集的概念进行判断即可. 【详解】对于①，是有理数，但不是整数，故①错误； 对于②，是无理数，不是有理数，故②正确； 对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误； 对于④，是无理数，也是实数，故④正确； 故正确的个数为2. 故选：B. 1．（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数集字母表示可得答案. 【详解】表示正整数集，表示有理数集，表示非负整数集，表示整数集. 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为2是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东清远·阶段检测）（多选）下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据，，及的范围，对各选项进行判定即可． 【详解】表示实数集，故，故A正确； 表示有理数集，，故B错误； 表示正整数集，，故C错误； 表示整数集，，故D正确． 故选：BC 3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，则将化为的形式为_______． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，建立方程求解即得. 【详解】依题意，，令，则，解得， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，，可列举出的值，得出的值，即可写出集合； （2）由且，可列举出的值，得出相应的的值，即可写出集合． 【详解】解：（1）由，，知可为3，4，6，12，即为0，1，3，9， 所以集合用列举法表示为； （2）因为且，所以，则相应的值为4，3，2，1， 所以集合用列举法表示为． 【基础题型十三 集合的分类】 【例13】（25-26高一上·辽宁抚顺·期中）下列集合中是有限集的是（    ） ①使得有意义的所有实数组成的集合； ②使得有意义的所有自然数组成的集合； ③方程的所有实数解组成的集合. ④15的质因数的全体构成的集合 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据有限集的知识进行分析，由此确定正确选项. 【详解】①，，为无限集，不符合题意，①错误，所以选B. ②，，为有限集，符合题意，②正确. ③，方程的所有实数解组成的集合为空集，为有限集，符合题意，③正确. ④，15的质因数的全体构成的集合为，为有限集，符合题意，④正确. 故选：B 1．（24-25高一上·河南·阶段检测）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【答案】C 【分析】根据集合的性质、有限和无限集定义，结合各选项的描述判断对应集合是否符合要求即可. 【详解】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误； B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误； C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确； D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是_________. ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 【答案】②③④ 【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案. 【详解】由于，设，得， 两式相减得，解得，于是得，故③正确； 因为，可以化为的形式，故是有理数，故①错误，②正确； 无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故④正确． 故答案为：②③④． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3）解不等式组判断； （4）根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）由，得，不等式组无解， 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （4）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 【提高题型一 元素与集合的相关求参】 【例1】（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 易知为四个各不相同的实数，所以集合. 因此集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， ，则， . 故选：C. 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】集合且，， 对于A，，即，则，A错误； 由， 得，即， 由，得，即，则， 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 【答案】0或1或2 【分析】分类讨论求得集合，利用集合所有元素之和为3，可求得的值. 【详解】由，可得， 当且时，方程的根为，，， 根据题意可得，解得， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 当时，方程的根为，，此时， 两根之和为，符合题意， 综上所述：实数或1或2. 故答案为：0或1或2. 4．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 【提高题型二 表示集合的方法】 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素. 【详解】集合，集合， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. 综上. 故选：C 1．（2026高一·全国·竞赛）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，，或或或时，，或或或时，， 故. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示________． 【答案】 【分析】由集合的性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）方程的解集为. （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 【提高题型三 求集合元素的个数】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案. 【详解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A. ∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素. 故选：D 1．（24-25高一上·上海普陀·阶段检测）已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解. 【详解】由题知：集合，若，且对任意、，均有，作如下等价转化： 考虑，是平面内的满足题目条件的任意两点， “”等价于“或” 即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零， 要使集合中这样的点最多，就是直线两条直线上的整数点，共19个， （当然也可考虑直线两条直线上的整数点，共19个） 故选：D 2．（25-26高一上·吉林·阶段检测）（多选）由实数所组成的集合的元素个数可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】利用集合的互异性及对的取值情况进行分类讨论求解. 【详解】当时，根据集合的互异性，可知集合的元素为0，集合的元素个数为1； 当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个； 当时，，，，集合中的元素有，，集合中的元素个数为2个. 综上可知集合的元素个数为1或2. 故选：BC 3．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）若集合，则集合的元素个数为___________． 【答案】 【分析】令，，分别求出对应的，即可写出集合. 【详解】由题意可知，当时，可取； 当时，可取；当时，不存在， 故，元素个数为 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·课后作业）对正整数n，记，，求集合中元素的个数. 【答案】46 【分析】确定，分类求解，分别求得时，种元素的个数，即可求得答案. 【详解】对于，有，， 故当时，m取，此时，即中有7个元素； 当时，m取，，此时中有7个元素； 当时，m取，，此时中对应有7个元素； 当时，m取，， 其中有3个元素与时中元素相同， 当时，m取，，此时中对应有7个元素； 当时，m取，，此时中对应有7个元素； 当时，m取，，此时中对应有7个元素； 故集合中元素的个数为. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·阶段检测）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 5．（2025·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 【答案】D 【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合. 【详解】因为集合的元素之和为1， 所以一元二次方程有等根时，可得，即， 当方程有两不相等实根时，，即， 综上，实数a 所有取值的集合为. 故选：D 6．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．炳辉中学高一年级聪明的学生 B．较小的实数 C．所有的偶数 D．地球上的四大洋 【答案】CD 【分析】根据集合的概念分析判断. 【详解】炳辉中学高一年级聪明的学生，较小的实数，所指元素都不满足集合元素的确定性，故AB错误； 所有的偶数，地球上的四大洋所指元素明确，故CD正确． 故选：CD 7．（25-26高一上·云南·阶段检测）（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】BC 【分析】讨论或两种情况，解等式即可求解. 【详解】由题意得，或．若，则，解得或． 当时，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去． 若，则，解得或．当时，，当时，舍去． 综上，x可能为，． 故选：BC 8．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】BC 【分析】解出方程，根据集合的描述法、列举法得出答案. 【详解】由可得， 所以根据描述法、列举法可得方程的解集为或， 故选：BC 9．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．方程组的解集可表示为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．集合中含有3个元素 【答案】BC 【分析】求出解集判断AB；利用绝对值及方根的意义判断C；求出集合A判断D. 【详解】对于A，由二次根式和绝对值均为非负数，得方程的解为，解集为，A错误； 对于B，由，解得，因此给定集合表示为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 当时，，因此所组成的集合最多含2个元素，C正确； 对于D，由，得可取，即可取， 因此集合含有4个元素，D错误. 故选：BC 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【答案】ABD 【分析】A选项，能被3整除的数有无数个，A正确；B选项，满足的实数有无数个，B正确；C选项，列举法表示出，为有限集；D选项，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集. 【详解】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选：ABD． 11．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 【答案】1 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 12．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【分析】根据3是集合的元素进行分类讨论，注意验证集合的元素是否互异可得. 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为， 故答案为： 13．（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合： （1）______； （2）______； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【分析】（1）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可； （2）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可； （3）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该数集集合； （4）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该点集集合. 【详解】（1）因为，，所以均符合题意， 所以原集合可以表示为. （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合可以表示为. （3）设，则被5除余1的正整数所构成的集合可以表示为 . （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为. 故答案为：；；；. 14．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 15．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则_______. 【答案】 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 16．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 17．（25-26高一上·甘肃定西·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 18．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）对于集合，集合. (1)若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； (2)若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 【答案】(1)； (2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析. 【分析】（1）根据差集的定义求解； （2）（i）（ii）根据的定义求解. 【详解】（1）因为，，，所以； 因为，，，所以. （2）（i）已知， 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 所以. （ii）若集合有个元素，集合有个元素， 则中的每一个元素是由中的一个元素和中的一个元素组成的有序数对， （其中，）. 因此，中元素的个数为，所有元素为. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 20．（24-25高一上·河北廊坊·阶段检测）设数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 【答案】(1)证明见解析； (2)集合中必含有两个元素； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据集合中元素的性质，循环迭代即可得出证明； （2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素； （3）设,且,则，，令及即可证明. 【详解】（1）若，则,与矛盾，故. 因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合中必含有两个元素. （3）设,由（1）且, 则，. 令，化简可得, 因为, 所以方程无解，即. 令，化简可得， 同理无解，即， 所以集合中至少有三个不同的元素． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合的概念重难点题型专训 （3个知识点+13大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断元素能否构成集合 题型二、判断是否为同一集合 题型三、判断元素与集合的关系 题型四、根据元素与集合的关系求参数 题型五、用集合元素的互异性求参数 题型六、描述法表示集合 题型七、列举法表示集合 题型八、根据集合中元素的个数求参数 题型九、集合元素互异性的应用 题型十、利用集合中元素的性质求集合元素个数 题型十一、列举法求集合中元素的个数 题型十二、常用数集或数集关系应用 题型十三、集合的分类 第二部分·练提高题型 题型一、元素与集合的相关求参 题型二、表示集合的方法 题型三、求集合元素的个数 第三部分・自我检测 知识点01 集合的概念 1．元素与集合的概念及表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【即时训练】 1．（2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 2．（25-26高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的有______（填序号） ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合； ④集合与表示同一个集合． 知识点02 元素与集合的关系 知识点2  元素与集合的关系 1．元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*（或N＋） Z Q R 【即时训练】 1．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）若，则的值为______. 知识点03 集合的表示法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开． （2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复． （4）集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 （1）定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P（x）}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【即时训练】 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）集合，集合A用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若且，则___________ 【基础题型一 判断元素能否构成集合】 【例1】（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 1．（25-26高一上·全国·阶段检测）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 3．（2025高一·全国·专题练习）设集合，已知且，则实数的取值集合为__________. 4．（24-25高一·全国·课堂例题）以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 【基础题型二 判断是否为同一集合】 【例2】（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第________组． 4．（25-26高一·全国·课后作业）有下列三个集合：①{x|y＝x2+1，y≥1，y∈R}；②{y|y＝x2+1，x∈R}；③{（x，y）|y＝x2+1}； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？ 【基础题型三 判断元素与集合的关系】 【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 3．（24-25高一上·湖北·阶段检测）记数集中的最小元素与最大元素的算术平均数为集合的“均值”，特别地，集合的“均值”为．已知集合，对于集合任意一个非空子集，记其“均值”为，则所有这样的的算术平均数为________． 4．（24-25高一上·上海青浦·阶段检测）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 【基础题型四 根据元素与集合的关系求参数】 【例4】（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 1．（25-26高一下·浙江·期中）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）（多选）设非空集合满足:当时,有,下列命题中,正确的有（    ） A．若,则 B．的取值范围为 C．若,则 D． 3．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 4．（2025高一上·北京海淀·专题练习）设，，若，求集合B． 【基础题型五 用集合元素的互异性求参数】 【例5】（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知集合，若，则（    ） A． B．-1 C．-1或 D．1 1．（25-26高一·全国·课前预习）由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三上·江西新余·阶段检测）（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 3．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为________． 4．（25-26高一上·新疆·阶段检测）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【基础题型六 描述法表示集合】 【例6】（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段检测）（多选）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（   ） A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合，在下列集合中： （1）； （2）； （3）； （4）； 与相同的集合有________．（填序号） 4．（25-26高一上·全国·课后作业）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【基础题型七 列举法表示集合】 【例7】（25-26高二下·吉林·期末）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 1．（25-26高一上·四川·阶段检测）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）（多选）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，则用列举法表示集合________. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）（1）求关于的方程的解集：； （2）已知集合，若关于的方程存在两个不相等实根且，求与集合． 【基础题型八 根据集合中元素的个数求参数】 【例8】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如果集合 中只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 4．（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【基础题型九 集合元素互异性的应用】 【例9】（25-26高一上·河北·期中）下列四个结论中，正确的个数是（   ） ①集合中最小的数是1；②，，则的最小值是2；③，则；④的解集可表示为 A．0 B．1 C．2 D．3 1．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（ ） A．方程的解集是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．9以内的素数组成的集合是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 3．（25-26高一上·上海浦东新·期中）若，则___________． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【基础题型十 利用集合中元素的性质求集合元素个数】 【例10】（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，.定义集合，则的元素个数满足（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北·阶段检测）（多选）下列四个命题中正确的是（   ） A．方程的解集为 B．满足的整数解的集合为 C．由实数x，，，，所组成的集合最多含2个元素 D．中含有3个元素 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）若是正整数集的非空子集，称集合为集合的生成集.若是由个正整数构成的集合，则其生成集中元素个数的最小值为______. 4．（2026高三·上海·专题练习）设非空集合，求集合A中所有元素的和． 【基础题型十一 列举法求集合中元素的个数】 【例11】（25-26高二下·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 1．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 2．（25-26高一·全国·课后作业）（多选）下列四个命题中正确的是（　　） A． B．由实数所组成的集合最多含2个元素 C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 3．（25-26高一上·广东揭阳·期中）由方程和的根组成的集合中的元素的个数为____. 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【基础题型十二 常用数集或数集关系应用】 【例12】（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东清远·阶段检测）（多选）下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，则将化为的形式为_______． 4．（25-26高一·全国·课后作业）（1）已知集合，试用列举法表示集合； （2）已知集合，试用列举法表示集合． 【基础题型十三 集合的分类】 【例13】（25-26高一上·辽宁抚顺·期中）下列集合中是有限集的是（    ） ①使得有意义的所有实数组成的集合； ②使得有意义的所有自然数组成的集合； ③方程的所有实数解组成的集合. ④15的质因数的全体构成的集合 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 1．（24-25高一上·河南·阶段检测）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 2．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 3．（24-25高一上·全国·课后作业）有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是_________. ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【提高题型一 元素与集合的相关求参】 【例1】（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合的所有元素之和为3，则实数_____. 4．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【提高题型二 表示集合的方法】 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）设集合，集合且，则（    ） A． B． C． D． 1．（2026高一·全国·竞赛）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 3．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）若，，用列举法表示________． 4．（25-26高一上·陕西安康·阶段检测）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【提高题型三 求集合元素的个数】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25高一上·上海普陀·阶段检测）已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林·阶段检测）（多选）由实数所组成的集合的元素个数可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）若集合，则集合的元素个数为___________． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）对正整数n，记，，求集合中元素的个数. 1．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段检测）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 4．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 5．（2025·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（    ） A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1} 6．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）（多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．炳辉中学高一年级聪明的学生 B．较小的实数 C．所有的偶数 D．地球上的四大洋 7．（25-26高一上·云南·阶段检测）（多选）已知集合，若，则满足条件的实数x可能为（    ） A．2 B． C． D．1 8．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）方程的解集可表示为（    ） A． B．或 C． D． 9．（25-26高一上·辽宁朝阳·开学考试）（多选）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．方程组的解集可表示为 C．由实数所组成的集合最多含2个元素 D．集合中含有3个元素 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 11．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 12．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，则实数的取值集合为___________. 13．（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合： （1）______； （2）______； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 14．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 15．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则_______. 16．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 17．（25-26高一上·甘肃定西·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）对于集合，集合. (1)若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； (2)若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 19．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 20．（24-25高一上·河北廊坊·阶段检测）设数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 学科网（北京）股份有限公司 $