29.2.3圆周角（第1课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“圆周角（第1课时）”，核心内容为圆周角的概念、定理及推论。通过复习圆心角、圆的对称性、弧弦圆心角关系等旧知，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 突出合作探究特色，通过小组画图、分类讨论圆心与圆周角的位置关系，培养学生几何直观与推理能力。结合典例分析、中考真题及分层练习，强化应用意识，助力学生理解分类讨论、转化思想，提升数学思维与解决问题能力。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.3圆周角（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.理解圆周角的概念，探索并证明圆周角定理及其推论。 2.经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的思想方法。 学习重点： 探索并证明圆周角定理及其推论。 学习难点： 探索并证明圆周角定理及其推论。 二、学习过程 （一）复习引入 1.圆心角 我们把 的角叫作圆心角. 2.圆的对称性 圆是中心对称图形， 就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形 ，即圆是旋转对称图形. 3.弧、弦、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角 . 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么 ： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么 . （二）合作探究 对于与圆有关的角，除了圆心角，还有一种特殊位置的情形：如图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点B，C是∠A的两边与圆的交点. 圆周角 像这样， 并且 的角叫作圆周角. 如图，连接BO，CO，得到圆心角∠BOC.可以发现，圆周角∠BAC 与圆心角∠BOC对着同一条弧，它们之间是否存在一定的关系? 探究 分别测量图中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系? 经测量发现： . 猜想： . 小组活动 1.请同学们在纸上画出⊙O，并画出所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC. 2.组内分享画图结果并对其进行分类. （提示：观察圆心O与圆周角∠BAC的位置关系.） 绘图区 探究 在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，可以发现，圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有三种: (1)圆心在 . (2)圆心在 . (3)圆心在 . 证明（1） 证明（2） 证明（3） 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于 . 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 . 如图，点A、B、C、D、E、F在⊙O上. （1）求证：∠AEB=∠AFB. （2）若=，求证：∠AEB=∠CFD. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，点A、B、C在⊙O上. （1）若AB为直径，求证：∠C=90°. （2）若∠C=90°，求证：AB为直径. （三）典例分析x2−x−56=0 例3 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 中考演练1（2026云南） 如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上．若∠ACB=26°，则∠AOB=（     ） A．10° B．26° C．40° D．52° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2（2026甘肃武威） 如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P．若∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠BPC=（     ） A．95° B．100° C．105° D．110° （四）巩固练习 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 2. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点， 连接BD，CD．若∠D=28°，则∠OAB的度数为（ B　） A．28° B．34° C．56° D．62° 3. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC， 求证∠ACB=2∠BAC. （五）当堂检测 1.(2026黑龙江绥化)如图，在⊙O中，=，∠ABC=70°，则∠BOC= ． 学习笔记 2.(2026河南)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠ADC=40°，则∠CAB的度数为 ． 学习笔记 3.(2024山东潍坊·多选题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（   ） A．= B．AB=OE C．∠AOD=∠BAC D．四边形AOCE为菱形 （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.2：第3，4，10题. B组题：习题29.2：第14题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.3圆周角（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.理解圆周角的概念，探索并证明圆周角定理及其推论。 2.经历探究同弧（或等弧）所对圆周角与圆心角之间的关系的过程，进一步体会分类讨论、转化的思想方法。 学习重点： 探索并证明圆周角定理及其推论。 学习难点： 探索并证明圆周角定理及其推论。 二、学习过程 （一）复习引入 1.圆心角 我们把顶点在圆心的角叫作圆心角. 2.圆的对称性 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形. 3.弧、弦、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. （二）合作探究 对于与圆有关的角，除了圆心角，还有一种特殊位置的情形：如图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点B，C是∠A的两边与圆的交点. 圆周角 像这样，顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 如图，连接BO，CO，得到圆心角∠BOC.可以发现，圆周角∠BAC 与圆心角∠BOC对着同一条弧，它们之间是否存在一定的关系? 探究 分别测量图中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系? 经测量发现：∠BOC=2∠BAC. 猜想：一条弧所对圆周角的度数等于这条弧所对圆心角的度数的一半. 小组活动 1.请同学们在纸上画出⊙O，并画出所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC. 2.组内分享画图结果并对其进行分类. （提示：观察圆心O与圆周角∠BAC的位置关系.） 探究 在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，可以发现，圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有三种: (1)圆心在圆周角的一条边上. (2)圆心在圆周角的内部. (3)圆心在圆周角的外部. 证明思路（1） 证明思路（2） 证明思路（3） 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 如图，点A、B、C、D、E、F在⊙O上. （1）求证：∠AEB=∠AFB. （2）若=，求证：∠AEB=∠CFD. 证明：（1）连接OA、OB. 由圆周角定理得： ∠AEB=∠AOB，∠AFB=∠AOB， ∴∠AEB=∠AFB. 证明：（2）连接OC、OD. 由圆周角定理得： ∠AEB=∠AOB，∠CFD=∠COD， ∵=， ∴∠AOB=∠COD， ∴∠AEB=∠CFD. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，点A、B、C在⊙O上. （1）若AB为直径，求证：∠C=90°. （2）若∠C=90°，求证：AB为直径. 证明：（1）∵AB为直径， ∴∠AOB=180°. 由圆周角定理得： ∠C=∠AOB=90°. 证明：（2）∵∠C=90°， 由圆周角定理得：∠AOB=2∠C=180°， ∴AB为直径. （三）典例分析x2−x−56=0 例3 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 解：如图，连接OD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°. ∵在Rt△ABC中，AB=10，AC=6， ∴BC==8. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD. ∵在⊙O中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD. 又 在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²， ∴AD=BD=AB=5. 中考演练1（2026云南） 如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上．若∠ACB=26°，则∠AOB=（   D  ） A．10° B．26° C．40° D．52° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2（2026甘肃武威） 如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P．若∠ABC=60°，∠ACB=50°，则∠BPC=（   B  ） A．95° B．100° C．105° D．110° （四）巩固练习 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 2. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点， 连接BD，CD．若∠D=28°，则∠OAB的度数为（ B　） A．28° B．34° C．56° D．62° 3. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证∠ACB=2∠BAC. 证明：由圆周角定理得：∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC， ∵∠AOB=2∠BOC， ∴2∠ACB=2×2∠BAC， ∴∠ACB=2∠BAC. （五）当堂检测 1.(2026黑龙江绥化)如图，在⊙O中，=，∠ABC=70°，则∠BOC=80°． 分析 ∵=， ∴AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB=40°， ∴∠BOC=2∠A=80°． 2.(2026河南)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠ADC=40°，则∠CAB的度数为50°． 分析 ∵=， ∴∠ABC=∠ADC=40°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°−∠ABC=50°． 3.(2024山东潍坊·多选题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO∥BC，连接CO并延长交⊙O于点D．分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，并使两弧交于圆外一点M．直线OM交BC于点E，连接AE，下列结论一定正确的是（ ABD ） A．= B．AB=OE C．∠AOD=∠BAC D．四边形AOCE为菱形 （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.2：第3，4，10题. B组题：习题29.2：第14题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $