29.2.2圆心角（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“圆心角”核心内容，引导学生理解圆心角概念及同圆或等圆中弧、弦、圆心角的关系。通过复习圆的轴对称性、垂径定理及其推论搭建旧知支架，自然过渡到中心对称与旋转不变性的探究，形成完整知识脉络。 此资料以动手旋转圆形纸片探究圆的旋转不变性，培养学生几何直观与空间观念，通过逻辑推理证明定理发展推理意识，融入中考真题与分层练习提升应用能力，助力学生掌握知识并形成数学思维，适合课堂教学与自主学习。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.2圆心角（导学案） 一、学习目标 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性。 2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等。 学习重点： 掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系。 学习难点： 灵活运用弧、弦、圆心角之间的关系进行转化。 二、学习过程 （一）复习引入 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形， 是圆的对称轴. 2.垂径定理 . 3.垂径定理的推论 . （二）合作探究 圆心角 我们把 的角叫作圆心角. 追问 下列各图中的角是不是圆心角? 如图， 是圆心角，它所对的弧是 ，它所对的弦是 . 所对的圆心角是 ，它所对的弦是 . 弦AB所对的圆心角是 ，它所对的弧是 . 探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢? 实际上，圆是中心对称图形， 就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形 ，即圆是旋转对称图形. 思考 如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A'OB′时，它们所对的弧和有什么关系?弦AB和A'B′呢?为什么? 分析 我们把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合. ∵∠AOB=∠A'OB'， ∴射线OB与 重合. 又OA=OA′，OB=OB′， ∴点A与 重合，点B与 重合. 因此，与 重合，AB与 重合， 即= ，AB= . 弧、弦、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角 . 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么 ： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么 . 追问1 “在同圆或等圆中”可以省略不写吗？ 追问2 “优弧和劣弧”可以简写为“弧”吗？ （三）典例分析x2−x−56=0 例1 如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 中考演练1（2023四川宜宾） 如图，已知点A、B、C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC=35°，则∠AOB等于（ ）   A．140° B．120° C．110° D．70° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2（2025湖北武汉） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，=2．若AB=6，CD=13，则⊙O的半径是（     ） A． B． C． D．5 （四）巩固练习 1. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦. (1)如果AB=CD，那么 ， . (2)如果=，那么 ， . (3)如果∠AOB=∠COD，那么 ， . (4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF相等吗?为什么? 2. 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°.求∠AOE的度数. 3. 如图，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，=，M，N分别是OA，OB的中点.求证MC=NC. （五）当堂检测 1.如图所示，下列各角是圆O内的角，其中圆心角是（     ） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，AO，CO是⊙O的半径，B是的中点，连接AB，BC，点D在BC的延长线上．若∠OCD=130°，则∠AOC的度数为（      ） A．160° B．130° C．100° D．80° 3.如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则：①AB=CD；②弧AB等于弧CD；③PO=PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB=PD；其中结论正确的是 （填序号） 4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF． (1)求证：AF=CD． (2)若AE=2，AF=10，求⊙O的半径． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.2：第2，11题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.2圆心角（导学案） 一、学习目标 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性。 2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等。 学习重点： 掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系。 学习难点： 灵活运用弧、弦、圆心角之间的关系进行转化。 二、学习过程 （一）复习引入 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 2.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （二）合作探究 圆心角 我们把顶点在圆心的角叫作圆心角. 追问 下列各图中的角是不是圆心角? 如图，∠AOB是圆心角，它所对的弧是，它所对的弦是AB. 所对的圆心角是∠AOB，它所对的弦是AB. 弦AB所对的圆心角是∠AOB，它所对的弧是和. 探究 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢? 实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形. 思考 如图，在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A'OB′时，它们所对的弧和有什么关系?弦AB和A'B′呢?为什么? 分析 我们把∠AOB连同绕圆心O旋转，使射线OA与OA'重合. ∵∠AOB=∠A'OB'， ∴射线OB与OB'重合. 又OA=OA′，OB=OB′， ∴点A与A′重合，点B与B'重合. 因此，与重合，AB与A'B'重合， 即=，AB=A'B'. 弧、弦、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等： 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 追问1 “在同圆或等圆中”可以省略不写吗？ 答：不能，反例如下： 追问2 “优弧和劣弧”可以简写为“弧”吗？ 答：不能，反例如下： （三）典例分析x2−x−56=0 例1 如图，在⊙O中，=，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵在⊙O中，=, ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形，可得AB=BC=AC. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 中考演练1（2023四川宜宾） 如图，已知点A、B、C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC=35°，则∠AOB等于（ A ）   A．140° B．120° C．110° D．70° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2（2025湖北武汉） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，=2．若AB=6，CD=13，则⊙O的半径是（  A   ） A． B． C． D．5 （四）巩固练习 1. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦. (1)如果AB=CD，那么，∠AOB=∠COD. (2)如果=，那么AB=CD，∠AOB=∠COD. (3)如果∠AOB=∠COD，那么AB=CD，=，=. (4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF相等吗?为什么? 解：OE=OF，理由如下： ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠AEO=∠CFO=90°，AE=AB，CF=CD. 又∵AB=CD， ∴AE=CF. 又∵OA=OC， ∴△AEO≌△CFO， ∴OE=OF. 2. 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=35°.求∠AOE的度数. 证明：∵==，∠COD=35°， ∴∠BOC=∠COD=∠DOE=35° ， ∴∠BOE=∠BOC+∠COD+∠DOE=105°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AOB=180° ， ∴∠AOE=180°−∠BOE=180°−105°=75°. 3. 如图，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，=，M，N分别是OA，OB的中点.求证MC=NC. 证明：∵ =，∴ ∠AOC=∠BOC. ∵ M，N分别是OA，OB的中点. ∴ OM=OA，ON=OB. 又∵OA=OB，∴OM=ON. 又∵OC=OC， ∴△COM≌△CON， ∴MC=NC. （五）当堂检测 1.如图所示，下列各角是圆O内的角，其中圆心角是（  A   ） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，AO，CO是⊙O的半径，B是的中点，连接AB，BC，点D在BC的延长线上．若∠OCD=130°，则∠AOC的度数为（  A   ） A．160° B．130° C．100° D．80° 3.如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则：①AB=CD；②弧AB等于弧CD；③PO=PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB=PD；其中结论正确的是①②④⑤（填序号） 4.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是的中点，连接AF． (1)求证：AF=CD． (2)若AE=2，AF=10，求⊙O的半径． （1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴=， ∵C是的中点， ∴=， ∴+=+，即=， ∴AF=CD. （2）解：如图，连接OD， 由（1）可知AF=CD=10， 设⊙O的半径为r，则OA=OD=r， ∵AE=2，∴OE=OA−AE=r−2， ∵CD⊥AB于点E， ∴DE=CD=5， ∴在Rt△ODE中，OE2+DE2=OD2， 即(r−2)2+52=r2，解得r=， ∴⊙O的半径为． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.2：第2，11题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $