29.2.3圆周角(第2课时 圆内接四边形)（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆内接四边形”，引导学生理解定义、掌握“对角互补”“外角等于内对角”等性质及应用。课堂导入通过温故知新回顾圆周角定理和四边形性质，创设圆上四点构成四边形情境，搭建从圆周角到四边形性质的学习支架。 特色在于“观察—猜想—证明—应用”探究过程，学生画图度量角猜想关系，结合圆周角定理推理证明，发展几何直观与推理能力。合作探究搭配典型例题及中考模拟题，强化性质应用，渗透转化思想，培养应用意识，助力自主学习与能力提升。

29.2.3 圆周角（第2课时　圆内接四边形） （导学案） （1）理解圆内接四边形的定义：能准确识别圆内接四边形，并能指出其外接圆. （2）掌握圆内接四边形的性质：能准确叙述并证明“圆内接四边形对角互补”这一性质，理解“外角等于内对角”的结论. （3）灵活运用性质：能运用圆内接四边形的性质进行角度计算和简单的几何证明. （4）发展核心素养：经历“观察—猜想—证明—应用”的探究过程，体会转化思想（将四边形问题转化为圆周角问题），发展逻辑推理和几何直观能力. 重点：圆内接四边形的性质定理——“对角互补”及其应用. 难点：圆内接四边形性质的证明（需运用圆周角定理，涉及弧的度数转化）.“外角等于内对角”的理解与灵活运用.在复杂图形中，准确识别圆内接四边形并选择恰当的性质进行解题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题1：圆周角定理的内容是什么？（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.） 问题2：四边形有什么基本性质？（内角和为360°.） 情境创设：多媒体展示一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，顺次连接得到一个四边形. 问题3：四边形ABCD的四个顶点在哪里？（都在⊙O上.） 揭示概念：像这样，四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. 追问：一般四边形的内角和为360°，但具体每个角是多少度不确定.圆内接四边形的四个角由于都在圆上，它们之间会不会有某种特殊的数量关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ129－131内容 【学法指导】自研课本Ｐ129－131内容 （一）度量观察猜想性质 活动：在学案上画一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，连接成四边形ABCD。用量角器分别测量∠A和∠C、∠B和∠D的度数. 学生操作后交流汇报数据. 追问1：观察每组对角的度数，你有什么发现？ 学生猜想：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°，即对角互补. 追问2：延长AB到E，∠CBE是四边形的一个外角.∠CBE与∠D有什么数量关系？ 学生观察发现：∠CBE = ∠D（即外角等于内对角）. （二）性质的证明 性质：圆内接四边形的对角互补. 已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°. 分析：追问1：∠A是圆周角，它对的弧是哪条？所对圆心角的度数如何表示？（∠A对，的度数 = 2∠A的度数） 追问2：∠C是圆周角，它对哪条弧？（，的度数 = 2∠C的度数） 追问3：和合起来是多少度？（合起来是整个圆，360°.） 追问4:请用数学式子表达这个关系.（的度数 + 的度数 = 2∠A + 2∠C 的度数= 360°，所以∠A + ∠C = 180°同理：∠B + ∠D = 180°.） 证明：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.连接OB，OD. ∠A 所对的弧为，∠C 所对的弧为， 又和所对的圆心角的和是周角， ∠A+∠C=×360°=180° 同理∠B+∠D=180°. 这样，利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质定理： 圆内接四边形的对角互补. 从前面的观察我们还得出：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. 怎样证明这一结论呢？学生交流讨论： 已知：四边形ABCD内接于⊙O，延长AB到E. 求证：∠CBE = ∠D. 证明：∵ ∠CBE + ∠ABC = 180°（邻补角定义）， 又 ∵ ∠ABC + ∠D = 180°（圆内接四边形对角互补）， ∴ ∠CBE = ∠D. 几何符号语言：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴ ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.∴ ∠CBE = ∠D. 【自研自探】 自研课本Ｐ129－131内容 典型例题 例1.如图.四边形ABCD是①O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数. 【分析】由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，得到∠C+∠A=180°，由圆周角定理求出∠A度数. 【详解】解：:在⊙O中，∠A与∠BOD所对的弧都是， ∴∠A=∠BOD=×100°=50°. 又四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180° ∴∠C=130°. 例2．求证：圆内接菱形是正方形． 【分析】本题主要考查正多边形和圆，根据题意写出已知、求证，并画出图形，证明菱形的内角为直角即可． 【详解】已知：如图，菱形内接于，求证：菱形是正方形． 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形内接于， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是圆内接四边形？ 2.讨论圆内接四边形的性质？ 3.讨论圆内接四边形的任何一个外角的它的内对角有什么关系？ 1.如图，四边形内接于平分，求四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 课本课堂练习P131（①②③）. 1．（2026·延安校联考）如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：． 【详解】证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026福建）如图，四边形 内接于， 是延长线上的一点，的延长线交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形. 【详解】（1）解： ，， 是等边三角形． ． ∵四边形 是的内接四边形， ． 又， ． ， ． （2）证明：， ． ． ∵四边形是的内接四边形， ． 是等边三角形， ， ． ． ． ∴四边形是平行四边形． 知识技能：定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形.性质：对角互补（∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）；外角等于内对角（∠CBE=∠D）.遇到圆内接四边形，立即想到“对角互补”或“外角=内对角”. 思想方法：转化思想：将四边形问题转化为圆周角问题，利用弧的度数关系进行证明.方程思想：在比例问题中，通过设未知数列方程求解.类比思想：类比一般四边形的内角和，发现圆内接四边形的特殊性质. 易错提醒：区分概念：找准外角：外角等于内对角——外角必须是“延长某一边”形成的邻补角，内对角是“与这个外角不相邻的内角”.弧的对应：在证明对角互补时，注意∠A对的是（不经过A的弧），不是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.3 圆周角（第2课时　圆内接四边形） （导学案） （1）理解圆内接四边形的定义：能准确识别圆内接四边形，并能指出其外接圆. （2）掌握圆内接四边形的性质：能准确叙述并证明“圆内接四边形对角互补”这一性质，理解“外角等于内对角”的结论. （3）灵活运用性质：能运用圆内接四边形的性质进行角度计算和简单的几何证明. （4）发展核心素养：经历“观察—猜想—证明—应用”的探究过程，体会转化思想（将四边形问题转化为圆周角问题），发展逻辑推理和几何直观能力. 重点：圆内接四边形的性质定理——“对角互补”及其应用. 难点：圆内接四边形性质的证明（需运用圆周角定理，涉及弧的度数转化）.“外角等于内对角”的理解与灵活运用.在复杂图形中，准确识别圆内接四边形并选择恰当的性质进行解题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题1：圆周角定理的内容是什么？ 问题2：四边形有什么基本性质？ 情境创设：多媒体展示一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，顺次连接得到一个四边形. 问题3：四边形ABCD的四个顶点在哪里？ 揭示概念：像这样，四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. 追问：一般四边形的内角和为360°，但具体每个角是多少度不确定.圆内接四边形的四个角由于都在圆上，它们之间会不会有某种特殊的数量关系？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ129－131内容 【学法指导】自研课本Ｐ129－131内容 （一）度量观察猜想性质 活动：在学案上画一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，连接成四边形ABCD。用量角器分别测量∠A和∠C、∠B和∠D的度数. 追问1：观察每组对角的度数，你有什么发现？ 追问2：延长AB到E，∠CBE是四边形的一个外角.∠CBE与∠D有什么数量关系？ （二）性质的证明 性质：圆内接四边形的对角互补. 已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°. 分析：追问1：∠A是圆周角，它对的弧是哪条？所对圆心角的度数如何表示？ 追问2：∠C是圆周角，它对哪条弧？ 追问3：和合起来是多少度？ 追问4:请用数学式子表达这个关系. 证明： 这样，利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质定理： 圆内接四边形的对角互补. 从前面的观察我们还得出：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. 怎样证明这一结论呢？学生交流讨论： 已知：四边形ABCD内接于⊙O，延长AB到E. 求证：∠CBE = ∠D. 证明： 几何符号语言：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴ ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°.∴ ∠CBE = ∠D. 【自研自探】 自研课本Ｐ129－131内容 典型例题 例1.如图.四边形ABCD是①O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数. 例2．求证：圆内接菱形是正方形． 第二环节 合作探究 1.讨论什么是圆内接四边形？ 2.讨论圆内接四边形的性质？ 3.讨论圆内接四边形的任何一个外角的它的内对角有什么关系？ 1.如图，四边形内接于平分，求四边形的面积． 课本课堂练习P131（①②③）. 1．（2026·延安校联考）如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：． 2．（2026福建）如图，四边形 内接于， 是延长线上的一点，的延长线交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形. 知识技能：定义：　　　　　　　　　　　的四边形叫做圆内接四边形.性质：对角　　（∠A+∠C=　　°，∠B+∠D=　　°）；外角等于　　　（∠CBE=　　　）.遇到圆内接四边形，立即想到“对角　　　”或“外角=　　　”. 思想方法：转化思想：将四边形问题转化为　　　问题，利用　　　　　进行证明.方程思想：在比例问题中，通过设　　　　　求解.类比思想：类比一般四边形的　　　　，发现圆内接四边形的　　　　. 易错提醒：区分概念：找准外角：外角等于内对角——外角必须是“　　　　”形成的邻补角，内对角是“与这个外角　　　　　”.弧的对应：在证明对角互补时，注意∠A对的是　　　　　（不经过A的弧），不是　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $