3.2.1.2函数的最大(小)值课时练习 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕函数最大(小)值，设基础落实（9题）和素能提升（5题）两层，梯度从概念理解到综合应用，强化数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实|函数最值定义、图像识别、二次/分式/根式函数值域|结合图像直观理解（第1题），基础运算与定义证明（第3、9题）| |素能提升|含参数函数、实际应用、新定义函数、综合问题|情境化应用（第13题蓄水池造价），逻辑推理与创新意识（第12、14题）|

3.2.1　单调性与最大(小)值 第2课时　函数的最大(小)值 一、基础落实 1.已知函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A.f(2),f(-2) B.f(),f(-1) C.f(),f(-) D.f(),f(0) 2.函数f(x)=的最大值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知函数f(x)=x(2-x)-1,x∈[0,3],则f(x)的值域为(　　) A.[-4,-1] B.[-4,0] C.[-1,0] D.[-4,1] 4.函数f(x)=x+,x∈[1,3]的值域为(　　) A.[2,3] B.[3,] C.[2] D.[3,+∞) 5.函数y=2x+4的最大值为(　　) A.8 B.-8 C.2 D.4 6.函数f(x)=在区间[2,5]上的最小值为　　　　,最大值为　　　　.  7.若函数f(x)=x2+bx+1的最小值为0,则实数b=　　　　.  8.已知2x2≤3x,则函数f(x)=的最大值为　　　　.  9.已知f(x)=. (1)根据单调性的定义证明函数f(x)在区间(2,+∞)内单调递减; (2)若函数g(x)=,x∈[3,a](a>3)的最大值与最小值之差为1,求实数a的值. 二、素能提升 10.已知f(x)=x2-2x+3在区间[0,t]上的最大值为3,最小值为2,则t的取值范围为(　　) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] 11.函数f(x)=的值域为　　　　　.  12.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x},x≥0,则f(x)的最大值为　　　　.  13.要建造一个容积为1 600立方米,深为4米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米200元,池底的造价为每平方米100元. (1)把总造价y(单位:元)表示为池底的一边长x(单位:米)的函数; (2)由于场地原因,蓄水池的长为x米的边不能超过20米,问:如何建造蓄水池才能使总造价最低?总造价最低为多少? 14.设a为实数,已知函数f(x)=x2-x|x-a|-2a. (1)若f(x)是R上的单调函数,求a的取值范围. (2)已知a=1. ①求f(x)的最小值; ②设函数g(x)=|f(x)|(x≥1).若区间[m,n]⊆[1,+∞),且对任意x1∈[m,n],都存在x2∈[m,n],使得g(x1)g(x2)=1成立,求4m+n的最小值. 参考答案 一、基础落实 1.C 解析:根据函数最值的定义,结合函数图象,可知当x=-时,f(x)取得最小值f(-).当x=时,f(x)取得最大值f().故选C. 2.D 解析:由已知得当0≤x≤1时,f(x)max=2,当1<x<2时,f(x)=2,当x≥2时,f(x)=3.故f(x)的最大值是3.故选D. 3.B 解析:因为f(x)=x(2-x)-1=-(x-1)2,x∈[0,3],所以当x=1时,f(x)max=0,当x=3时,f(x)min=-4.所以f(x)的值域为[-4,0].故选B. 4.C 解析:因为f(x)在区间[1,]上单调递减,在区间[,3]上单调递增,所以f(x)min=f()=2.又f(1)=3,f(3)=,所以f(x)max=.故f(x)的值域为[2].故选C. 5.A 解析:设t=,则t≥0,x=3-t2,所以y=2(3-t2)+4t=-2(t-1)2+8.因为t≥0,所以当t=1时,函数取得最大值8.故选A. 6.　3 解析:由已知得函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,所以f(x)min=f(5)=,f(x)max=f(2)==3. 7.±2 解析:由题意可知,当x=-时,f(x)取得最小值f(-)=1-=0,解得b=±2. 8.1 解析:由2x2≤3x,得0≤x≤.又f(x)=,所以f(x)在区间[0,]上单调递减,所以当x=0时,f(x)max=f(0)=1. 9.(1)证明:∀x1,x2∈(2,+∞),x1<x2,则f(x1)-f(x2)=. 因为2<x1<x2,所以x1-2>0,x2-2>0,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递减. (2)解:由(1)知g(x)在区间[3,a]上单调递减, 所以当x=3时,g(x)max=g(3)=7, 当x=a时,g(x)min=g(a)=. 因为g(x)的最大值与最小值之差为1, 所以7-=1,解得a=. 二、素能提升 10.D 解析:由已知得当x=1时,f(x)min=f(1)=2.令f(x)=x2-2x+3=3,得x=0或x=2.又f(x)在区间[0,t]上的最大值为3,最小值为2,所以1≤t≤2. 11.[-] 解析:由已知得解得-2≤x≤3,所以f(x)的定义域为[-2,3].又f(x)=是减函数,所以当x=-2时,f(x)取得最大值,当x=3时,f(x)取得最小值-.所以f(x)的值域为[-]. 12.6 解析:在同一平面直角坐标系内作出函数y=x+2,y=10-x的图象,如图所示. 根据min{x+2,10-x}的含义及x≥0可知f(x)的图象为图中的实线部分. 由x+2=10-x,得x=4,所以f(x)=由图知f(x)的最大值为f(4)=6. 13.解:(1)由已知,得池底的面积为=400(平方米),底面的另一边长为米, 则池壁的面积为2×4×(x+)平方米. 所以y=1 600(x+)+40 000. (2)由(1)知y=1 600(x+)+40 000(0<x≤20), 则y=1 600(x+)+40 000≥3 200+40 000=104 000, 当且仅当x=,即x=20时,等号成立. 故当池底建造为边长为20米的正方形时,总造价最低为104 000元. 14.解:(1)因为f(x)=是R上的单调函数,所以y=2x2-ax-2a在区间(-∞,a)上单调.因为2>0,所以y=2x2-ax-2a在区间(-∞,a)上单调递减,所以f(x)在R上单调递减,所以解得a<0. 所以实数a的取值范围为(-∞,0). (2)当a=1时,f(x)= ①当x<1时,f(x)min=f()=2×-2=-; 当x≥1时,f(x)min=f(1)=-1. 因为-<-1,所以f(x)的最小值为-. ②由题意得g(x)=|x-2|,x≥1,且g(x)≠0,所以2∉[m,n].又x∈[1,2)时,g(x)∈(0,1],∈[1,+∞),所以对任意x1∈(1,2),不存在x2∈[1,2),使得g(x1)g(x2)=1,不符合题意,所以2<m<n,所以g(x)∈[m-2,n-2],∈[].因为对任意x1∈[m,n],都存在x2∈[m,n],使得g(x1)g(x2)=1成立,所以故(m-2)(n-2)=1,所以4m+n=4(m-2)+(n-2)+10≥2+10=14,当且仅当4(m-2)=n-2,即m=,n=4时,等号成立,所以4m+n的最小值为14. 1 学科网（北京）股份有限公司 $