6.1 平均数与方差 专项练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

6.1 平均数与方差 题型一 求方差 1．若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 2．已知数据，，，，的方差为3，则数据，，，，的方差为 ． 3．近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 甲公司 6 6 乙公司 4 (1)填空：_____，______； (2)求出乙公司的平均月收入以及方差；（） (3)小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选择哪家公司？请说明理由． 题型二 根据方差判断稳定性 4．甲、乙两个患者在10天中测量每天体温的统计结果是：，；，．那么10天中甲、乙的体温稳定情况是（   ） A．甲较为稳定 B．乙较为稳定 C．两个人一样稳定 D．不能确定 5．甲、乙、丙三人各投掷5次实心球，他们三人的5次成绩（单位：）的平均数都是，方差分别是，，，三人中，成绩最稳定的是 ． 6．甲、乙两名同学5次数学成绩（百分制）统计如下表，他们这5次的总成绩相同，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图如图所示． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 甲 90 40 70 40 60 60 乙 70 50 70 a 70 m 请完成下列问题． (1)表中 ， ． (2)请补全图中表示乙同学数学成绩变化情况的折线图，并求出乙同学数学成绩的方差 (3)经计算得甲同学数学成绩的方差，若要从甲、乙两名同学中选择一名参加数学竞赛，从平均数和方差的角度分析，你认为应该选择哪位同学？并说明理由． 题型三 运用方差做决策 7．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.14 9.16 9.14 9.16 方差 6.1 6.8 6.7 6.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．2029年将在长沙举办第十六届全国运动会．为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选 参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 9．新闻媒体对三位篮球球星的成绩分别从球队战绩、个人荣誉、个人能力三个方面进行比较，甲、乙、丙三人得分如下表（单位：分）： 姓名 球队战绩 个人荣誉 个人能力 平均得分 方差 甲 86 92 98 92 24 乙 91 94 91 92 ② 丙 ① 89 88 90 (1)将表格中空缺的数据补充完整：①________，②________； (2)如果媒体认为这三个方面的重要程度有所不同，而给予“球队战绩”“个人荣誉”“个人能力”三个方面在总评得分中所占的比例分别为，通过计算说明谁的最终得分最高； (3)综合第（2）问的计算结果，你认为哪位球星更优秀？请说明理由． 题型四 标准差 10．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 11．一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为 ． 12．已知是方程组的解，求出数据1，2，5，a，b的标准差． 题型五 求离差平方和 13．一组数据，则这组数据的离差平方和为（   ） A．0.5 B．0.6 C．1 D．2 14．已知一组数据1，a，3，6，7的平均数是4，则这组数据的离差平方和是 ． 15．为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人进行了5次测试，已知甲同学5次测试的平均成绩是28分，甲测试成绩的方差为3，乙同学的测试成绩（单位：分）统计如下：28，28，27，28，29． 求乙测试成绩的离差平方和及方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的“英语听说”大赛，请你判断谁参加学校的“英语听说”大赛更合适，并说明理由． 题型六 离差平方和的应用 16．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 17．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由 到 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 种情况． 18．甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组． 题型七 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 19．小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 示数（度） 98 103 108 112 117 121 根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（    ） A．3295度 B．3045度 C．143度 D．138度 20．小颖为了解家里的用电量，在月初连续天同一时刻观察家里的电表显示的数字，记录如下，估计小颖家5月份的总用电量是 千瓦时． 日期（号） 电表显示的数字（千瓦时） 21．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了个成熟的西瓜，称重如表： 西瓜质量（单位：） 西瓜个数（单位：个） (1)这个西瓜的平均质量是多少千克？ (2)根据计算结果你估计这亩地的西瓜产量约是多少千克？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 平均数与方差 题型一 求方差 1．若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差和方差，根据方差定义为离差平方和的平均数，给定数据个数为，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和，数据个数， ∴方差， 故选：． 2．已知数据，，，，的方差为3，则数据，，，，的方差为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了确定一组数据的方差，理解方差的意义是解题关键． 方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大．据此即可获得答案． 【详解】解：∵一组数据，，，，的方差为3，数据，，，，与数据，，，，的波动大小一样， ∴数据，，，，的方差是3． 故答案为：3． 3．近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的名司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 甲公司 6 6 乙公司 4 (1)填空：_____，______； (2)求出乙公司的平均月收入以及方差；（） (3)小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选择哪家公司？请说明理由． 【答案】(1)，6 (2)， (3)选择甲，理由见解析 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．旨在考查学生的数据处理能力． （1）众数是一组数据中出现次数最多的数值．中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．据此即可求解； （2）根据平均数和方差的求解公式即可求解； （3）因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司． 【详解】（1）解：由扇形统计图和条形统计图可知： ； （2）解：乙公司平均数：（千元）； 乙公司方差：； （3）解：建议选择甲． 理由：因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，所以选甲公司． 题型二 根据方差判断稳定性 4．甲、乙两个患者在10天中测量每天体温的统计结果是：，；，．那么10天中甲、乙的体温稳定情况是（   ） A．甲较为稳定 B．乙较为稳定 C．两个人一样稳定 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据体温的稳定性由方差判断，方差越小越稳定，进行判断即可． 【详解】解：∵甲的方差，乙的方差，且， ∴甲的体温更稳定． 故选：A． 5．甲、乙、丙三人各投掷5次实心球，他们三人的5次成绩（单位：）的平均数都是，方差分别是，，，三人中，成绩最稳定的是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性． 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定；比较三人方差大小即可判断． 【详解】解：因为，，，， 所以丙的方差最小，成绩最稳定． 故答案为：丙． 6．甲、乙两名同学5次数学成绩（百分制）统计如下表，他们这5次的总成绩相同，小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图如图所示． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 甲 90 40 70 40 60 60 乙 70 50 70 a 70 m 请完成下列问题． (1)表中 ， ． (2)请补全图中表示乙同学数学成绩变化情况的折线图，并求出乙同学数学成绩的方差 (3)经计算得甲同学数学成绩的方差，若要从甲、乙两名同学中选择一名参加数学竞赛，从平均数和方差的角度分析，你认为应该选择哪位同学？并说明理由． 【答案】(1)40，60 (2)补全图见详解，160 (3)应该选择乙同学，理由见详解 【分析】本题主要考查平均数、方差的应用，计算方差是解题的关键． （1）首先根据甲乙两位同学的总成绩相同，即可计算出乙同学总成绩和甲乙两位同学的成绩平均数相等，再计算可以得到a和m的值； （2）首先根据乙同学的成绩绘制折线统计图即可，再根据方差公式计算乙同学的方差； （3）根据甲乙两位同学的成绩平均数相等，所以只需要比较方差的大小，选择方差较小的即可选择出更适合的同学参加数学竞赛． 【详解】（1）解：∵甲乙两位同学的总成绩相同， ∴乙同学总成绩为， ∴； ∵甲乙两位同学的总成绩相同， ∴两位同学的成绩平均数也相同， ∴； 故答案为：40，60； （2）解：补全折线图如图所示， ； （3）解：应该选择乙同学，理由如下： 甲、乙两名同学的数学成绩的平均数相同，， 乙同学的数学成绩更稳定， 应该选择乙同学． 题型三 运用方差做决策 7．下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.14 9.16 9.14 9.16 方差 6.1 6.8 6.7 6.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，首先比较平均数，选择平均数较高的运动员；若平均数相同，则比较方差，选择方差较小的运动员参加比赛． 【详解】解：要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员，应先比较平均数，选择平均数较高的， 由表格中的数据可知乙和丁的平均数相同，且大于甲和丙的平均数， 故从平均数看，应从乙，丁两人中选择一人参加比赛， 由表格中的数据可知甲和丁的方差相同，且小于乙和丙的方差， 故从方差看，应从甲，丁两人中选择一人参加比赛， ∴应该选择丁参加比赛， 故选：D． 8．2029年将在长沙举办第十六届全国运动会．为备战此次全运会，江苏省射击队想从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的10次比赛成绩做了统计：平均成绩均为环，成绩的方差分别是，，，应该选 参加全运会填“甲”、“乙”、“丙”中的一个 【答案】丙 【分析】本题考查了方差，掌握方差的意义是解题的关键．方差表示的是一组数据的波动大小，方差越小这组数据的波动越小，成绩越稳定，所以三个人的平均成绩相同时要选三个人中方差最小的丙去参加全运会． 【详解】解：∵甲、乙、丙的平均成绩均为9.5环，且，，，其中丙的方差最小， ∴应选丙参加全运会． 故答案为：丙． 9．新闻媒体对三位篮球球星的成绩分别从球队战绩、个人荣誉、个人能力三个方面进行比较，甲、乙、丙三人得分如下表（单位：分）： 姓名 球队战绩 个人荣誉 个人能力 平均得分 方差 甲 86 92 98 92 24 乙 91 94 91 92 ② 丙 ① 89 88 90 (1)将表格中空缺的数据补充完整：①________，②________； (2)如果媒体认为这三个方面的重要程度有所不同，而给予“球队战绩”“个人荣誉”“个人能力”三个方面在总评得分中所占的比例分别为，通过计算说明谁的最终得分最高； (3)综合第（2）问的计算结果，你认为哪位球星更优秀？请说明理由． 【答案】(1)93，2； (2)乙的最终成绩更高 (3)乙最优秀，见解析 【分析】本题考查了求平均数，求方差，利用平均数，方差作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平均数的公式列式计算，根据方差的公式列式计算，即可作答． （2）根据加权平均数公式进行列式计算，再进行比较大小，即可作答． （3）根据乙的平均数是分，与甲的平均数相等，且大于丙的平均数分，同时乙的方差为，是三个人中方差中最小的，最稳定的，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，（分） ∴丙的战绩为分， 则 ∴乙的方差为2分， 故答案为：93，2； （2）解：依题意，甲：（分）； 乙：（分）； 丙：（分）； ∵ ∴乙的最终成绩更高； （3）解：乙最优秀，理由如下： 乙的平均数是分，与甲的平均数相等，且大于丙的平均数分，同时乙的方差为，是三个人中方差中最小的，最稳定的， ∴乙最优秀． 题型四 标准差 10．老师通过分析小明和小聪的最近5次数学检测的成绩，确定小明的数学成绩比较稳定，已知他们成绩的方差分别为7，12，则小明成绩的标准差为（   ） A．49 B．144 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查标准差的定义，熟练掌握标准差的定义是解题的关键． 成绩稳定性由方差大小决定，方差小则更稳定，根据标准差的定义，求出方差的算术平方根即可． 【详解】解：小明的成绩比较稳定，则小明的方差较小，为7， 因此小明成绩的标准差为， 故选：C． 11．一组数据，，的方差是 9 ，则数据，，的标准差为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了标准差及方差的知识，解题的关键是了解标准差是方差的算术平方根． 数据中的每个值都加上相同的常数，方差不变，因此新数据的方差仍为9，标准差为方差的算术平方根，故为3． 【详解】解：∵数据，，的方差是9， ∴数据，，的方差是9． ∴数据，，的标准差是． 故答案为：3． 12．已知是方程组的解，求出数据1，2，5，a，b的标准差． 【答案】数据1，2，5，4，3的标准差为 【分析】根据是方程组的解建立关于，的方程组，求出，的值，再根据标准差的公式计算出标准差即可． 【详解】解：因为是方程组的解， 所以解得 因为数据1，2，5，4，3的平均数为， 所以方差为， 所以数据1，2，5，4，3的标准差为． 题型五 求离差平方和 13．一组数据，则这组数据的离差平方和为（   ） A．0.5 B．0.6 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了离差平方和的计算方法，理解离差平方和的计算方法是解答关键． 先求出这组数据的平均数，再用离差平方和公式求解． 【详解】解：这组数据的平均数为 则这组数据的离差平方和：． 故选：D． 14．已知一组数据1，a，3，6，7的平均数是4，则这组数据的离差平方和是 ． 【答案】24 【分析】本题考查平均数和离差平方和的定义，先利用平均数的公式求得，再利用离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：24． 15．为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人进行了5次测试，已知甲同学5次测试的平均成绩是28分，甲测试成绩的方差为3，乙同学的测试成绩（单位：分）统计如下：28，28，27，28，29． 求乙测试成绩的离差平方和及方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的“英语听说”大赛，请你判断谁参加学校的“英语听说”大赛更合适，并说明理由． 【答案】乙测试成绩的离差平方和为2，方差为0.4；乙参加更合适，理由见解析 【分析】此题主要考查了方差、离差平方和、算术平均数等统计量，其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．先根据平均数和方差的定义求出乙测试成绩的离差平方和及方差，再根据平均数和方差的意义判断即可． 【详解】解：乙的平均数为：， 乙的离差平方和为：， 乙的方差为：； 乙参加学校“英语听说”大赛更合适，理由如下： 因为甲的平均成绩等于乙的平均成绩，且乙的方差较小，即乙的成绩稳定， 所以选乙参加学校的“英语听说”大赛更合适． 题型六 离差平方和的应用 16．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（   ） A．使每组数据量相等 B．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 C．减少计算复杂度 D．保证组间均值相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了离差的实际应用，解题的关键是掌握离差的意义． 根据分组的要求和离差的意义，“在总离差平方和一定的情况下，组内离差平方和越小，则组间离差平方和越大，即组间数据差异越大”，进行判断即可． 【详解】解：根据离差的意义可得，使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大， 故选：B． 17．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由 到 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 种情况． 【答案】 小 大 7 【分析】本题考查组内离差平方和的定义，根据组内离差平方和的定义解答即可． 【详解】解：按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由小到大排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成种情况． 故答案为：小，大，7． 18．甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组． 【答案】 【分析】本题考查组内离差平方和，根据题意将4个数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和，比较即可．熟练掌握离差平方和公式是解题的关键．离差平方和为每组数据与平均数差的平方和之和． 【详解】解：分组1：{15，18}和{15，24} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 分组2：{15，15}和{18，24} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 分组3：{15，15，18}和{24} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 分组4：{15，15，24}和{18} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 分组5：{15，18，24}和{15} 平均数分别为， 差平方和：， 组内离差平方和： 所以将竞赛成绩分成的两组是． 题型七 用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差） 19．小明家在五月下旬搬进了新房，为了解六月份的用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻记录电表的示数，如下表： 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 示数（度） 98 103 108 112 117 121 根据表格估计，他家六月份的总用电量约为（    ） A．3295度 B．3045度 C．143度 D．138度 【答案】D 【分析】本题考查求平均数，利用样本估计总体，根据平均数估计总量即可． 【详解】解：（度）； 故选D． 20．小颖为了解家里的用电量，在月初连续天同一时刻观察家里的电表显示的数字，记录如下，估计小颖家5月份的总用电量是 千瓦时． 日期（号） 电表显示的数字（千瓦时） 【答案】 【分析】本题考查样本估计总体，根据题意先求出天中用电量的平均数，再乘以月份的总天数，即可得出答案．解题的关键是掌握：用样本平均数估计总体平均数． 【详解】解：根据题意，得：（千瓦时）， ∴小颖家月份的总用电量是千瓦时． 故答案为：． 21．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜个，在西瓜上市前该瓜农随机摘下了个成熟的西瓜，称重如表： 西瓜质量（单位：） 西瓜个数（单位：个） (1)这个西瓜的平均质量是多少千克？ (2)根据计算结果你估计这亩地的西瓜产量约是多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)千克 【分析】本题考查了加权平均数，用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据平均数的计算方法求解即可； （2）总数乘个西瓜质量的平均值即可估计出这亩地的西瓜产量． 【详解】（1）解：样本西瓜平均质量为； （2）这亩地的西瓜产量约为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $