第二十六章 二次函数 章末评价试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册二次函数单元复习卷，以真实情境（如集成电路生产、小球飞行、小麦产量研究）为载体，覆盖图象性质、解析式、实际应用等核心内容，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|图象识别、解析式求解、动态几何|结合科技情境（如晶圆生产增长率），考查数学眼光| |填空题|5|开口方向、对称轴、实际应用（飞机滑行）|基础与应用结合，体现数学思维| |解答题|8|待定系数法、平移旋转、综合建模（菜罩、小麦产量）|分层设计，从基础计算到科研数据建模，强化数学语言表达|

第二十六章 二次函数 章末评价试题 2026-2027学年 上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B． C．D． 2．二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（   ） A．2，4 B．2， C．，4 D．， 3．某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数的图象．由图象可知，方程有两个根，一个在和之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（    ） 0.56 A． B． C． D． 5．把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 6．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 7．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 8．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，函数的最大值是8，最小值是，则的值可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 10．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 11．如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（    ）    A．   B．   C．   D．   12．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．二次函数y＝的图象开口向上，则k＝___． 14．写出一个开口向上，顶点在y轴的负半轴上的抛物线的解析式：______． 15．已知二次函数的对称轴为x＝﹣2，则b＝_____． 16．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行______s后，才会停下来． 17．抛物线的图象如图，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小．其中正确的结论序号是__________．    三、解答题 18．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 19．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 20．已知二次函数，不画图像，回答下列问题． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时，y有最大（小）值？最大（小）值是多少？ (3)当x取何值时，y随x的增大而增大？ (4)抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ 21．已知二次函数的图象经过点． (1)求证：； (2)若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 22．已知抛物线． (1)抛物线的对称轴是________； (2)将该抛物线沿y轴正方向平移3个单位长度，得到新的二次函数图象．亮亮说：“当时，无论a取何非零常数值，新二次函数均不会在处取得最值．”判断亮亮的说法是否正确，说明理由； (3)已知，为抛物线上的两点，且，，，直接写出与的大小关系． 23．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 24．夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，常用罩子保护饭菜（如图1），它的横截面可以看成一个抛物线的形状，已知菜罩的跨度为，高度是，如图2，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)防虫罩边缘可以翻折（如图3），从而改变覆盖面的大小，若翻折后防虫罩的高度为，则防虫罩覆盖的跨度是多大？（结果保留整数，） (3)如果要购买一个直径为的圆柱体的容器，使得菜罩紧贴桌面，则容器的高度最高为多少？ 25．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C B C D C D 题号 11 12 答案 A B 1．D 本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 2．D 将两个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可． 解：∵ 图象经过点和， ∴ 代入解析式 得， ， 解得 ， 故选：D． 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 3．A 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据增长率的问题可直接进行求解． 设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为， 根据题意得，． 故选：A． 4．C 本题考查了一元二次方程的近似根，当y等于0时得到的x值即为方程的解．分析题干中的表格，取y值最接近0时x的值作为方程的近似解． 解：由表格可知，当时，，当时，， 则方程的一个根在和之间，时的y值比时更接近0， 方程的一个近似根为：． 故选：C． 5．C 本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键．根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 解：把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位， 得． 故选：C． 6．B 根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 7．C 根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 8．D 此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 9．C 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先得到该函数的对称轴直线，根据当时，随的增大而增大，得，再结合，，则当或时，，然后由当时，函数的最大值是8，最小值是，即可作答． 解：解：二次函数， 该函数的对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，， 当或时，， 当时，函数的最大值是8，最小值是， ， 故的值可能是6， 故选：C． 10．D 根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 11．A 先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 12．B 利用待定系数法可求出二次函数解析式为，可判断①；②分别求出当时，两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差与x的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④． 解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，，故①正确； ②对于，当时，， 对于，当时，， ∴当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为米，故②错误； 联立得：， 解得：， ∴小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米，故③正确； 小球在飞行的过程中与斜坡的高度差， ∵， ∴当时，h的值最大，最大值为， 即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米，故④错误； 综上所述，正确的有①③． 13． 由解析式是二次函数可知 ，再由图像的开口向上得，由此求解即可． 解：∵是二次函数， ∴， 解得， ∵图像的开口向上， ∴即， ∴， 故答案为：． 本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，a＞0，图像开口向下时，a＜0是解题的关键． 14．（答案不唯一） 根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＞0，与y轴负半轴由交点c<0，然后写出即可． 解：开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴， ∴抛物线的表达式可以是：y＝x2﹣1． 故答案为y＝x2﹣1（答案不唯一）． 本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与y轴的交点得到解析式． 15．8 根据二次函数的对称轴公式即可求出b的值． 解：∵二次函数的对称轴为x＝﹣2， ∴，则， 解得：b＝8， 故答案为：8． 本题主要考查了二次函数的对称轴公式，熟练掌握二次函数的对称轴为是解题的关键． 16．26 当滑行距离最大时飞机才会停下来，所以把二次函数解析式配方即可． ∵， ∴当时，取得最大值338m， 即飞机着陆后滑行26s后，才会停下来. 故答案为：26 本题考查了二次函数的应用，关键理解题意，飞机滑行距离最远时才会停下． 17．②③④ ①由抛物线的开口、对称轴的位置以及抛物线与轴交点的位置，即可得出，，，进而可得出，结论①错误；②由点在抛物线上，利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出，结论②正确；③由，得，结论③正确；④利用二次函数图象上点的坐标特征，即可得出，结论④正确；由，观察图像得，结论⑤错误．综上此题得解． 解：①抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧， ，，， ， ，结论①错误； ②当时，， ，结论②正确； ③，， ， ， 结论③正确； ④当时，， ，结论④正确； ⑤观察图像，在对称轴左侧，随的增大而减小，而，故⑤错误． 故答案为：②③④． 本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 18．(1)， (2) 或 （1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． （1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 19．(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) （1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． （1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 20．(1)抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为． (2)当时，y有最大值，最大值是0． (3)当时，y随x的增大而增大． (4)抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的． （1）本题考查二次函数的图象和性质，根据，抛物线开口向上，，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，即可解题． （2）本题考查二次函数的最值，根据二次函数开口确定其在顶点处取得最大值，即可解题． （3）本题考查二次函数的增减性，根据二次函数开口和对称轴，得到二次函数的增减性，得出的取值范围，即可解题． （4）本题考查二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”，掌握规律并灵活运用，即可解题． （1）解：抛物线解析式为，且， 抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向下， 二次函数有最大值，且当时，y有最大值是0． （3）解：抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大； （4）解：有函数平移规律可知，抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度得到的． 21．(1) 证明：二次函数的图象经过点， ， ； (2)①； ②证明：点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 由题意可知，点，关于直线对称， ，， ． （1）把点代入解析式，求出即可； （2）①利用配方法得到顶点，再列式求解即可； ②根据题意可得，利用二次函数的对称性得到，再代入计算即可证明． （1）略 （2）①解：， ， 该二次函数的最小值为， ，且， 解得，（舍去）， 该二次函数的表达式为； ②略 22．(1) (2) 亮亮的说法正确，理由见解析 (3) （1）用二次函数对称轴公式即可求解； （2）先得到平移后的解析式，结合对称轴位置在给定区间内，判断最值的位置，即可验证亮亮的说法； （3）利用二次函数对称性，结合两点横坐标的关系判断两点关于对称轴对称，即可得到纵坐标的大小关系． （1） 解：抛物线的对称轴为直线， 所以对称轴为直线； （2）解：亮亮的说法正确，理由如下： 将原抛物线沿轴正方向平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为， ∵平移不改变抛物线的对称轴， ∴新抛物线对称轴仍为， ，对称轴在范围内， 当时，抛物线开口向上，最小值在对称轴处，最大值在离对称轴更远的端点处， 当时，抛物线开口向下，最大值在对称轴处，最小值在离对称轴更远的端点处， 因此无论取何非零值，新二次函数的最值都不会在处取得，因此亮亮的说法正确； （3）解：∵，，， 可得两点横坐标的中点为，正好是抛物线的对称轴， 因此和关于抛物线的对称轴对称， 因此两点纵坐标相等，即． 23．(1) (2) (3) (4) (5) （1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． （1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 24．(1) (2) (3) （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出新的抛物线解析式为．求出抛物线与轴的两个交点即可； （3）求出当时的函数值即可． （1）解：设抛物线的解析式为，由题意知其顶点坐标为 ． 由题意知抛物线过点． 代入得． 解得． ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵翻折后防虫罩的高度为，中间部分抛物线形状不变， ∴中间部分抛物线的解析式为． 当时，， 解得． ． ∴防虫罩覆盖的跨度约为． （3）当时，． ∴容器的高度最高为． 25．(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 （1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． （1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $