1.4 正方形的性质与判定讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.4 正方形的性质与判定 考点1: 正方形的性质 图示 矩形的性质 几何语言 边 对边平行 AB//CD，AD//BC 四边相等 AB＝CD＝AD＝BC 角 四个角都是直角 ∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90° 对角线 对角线相等且互相垂直平分 AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD 每条对角线平分一组对角 ∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA， ∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，共有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 · 在正方形ABCD中，AD＝AB，且∠BAD＝90°，由勾股定理可推出BD＝AB. 练习1. 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　B　). A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 2. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，过点B作BG⊥CE于点G，若BG＝3，DF＝9，则FG的长为(　C　). A.4 B.5 C.6 D.11 3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A(－2，0)，B(0，1)均在坐标轴上，则点C的坐标为 (－1，3) . 4. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B，D作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝ 7 . 5. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF. 若AE＝1，则EF的长为 . 6. 如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF. (1)求证：△ABF≌△CBE； (2)判断△CEF的形状，并说明理由. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°. ∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°， ∴BE＝BF. ∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF，∴∠ABF＝∠CBE. ∴△ABF≌△CBE(SAS). (2)△CEF是直角三角形.理由如下： ∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°.∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°. 又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°. ∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°.∴△CEF是直角三角形. 考点2: 正方形的判定 (1) 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形→[根据定义] (2) 有一组邻边相等的矩形是正方形→[根据邻边] (3) 有一个角是直角的菱形是正方形→[根据角] (4) 对角线相等的菱形是正方形→[根据对角线] (5) 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形→[根据对角线] (6) 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形→[根据对角线] 练习2. 1. 如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(　D　). A. AC和BD互相垂直平分 B. AB＝AD且AC⊥BD C. ∠A＝∠B且AC＝BD D. AB＝AD且AC＝BD 2. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件可证明四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是(　A　). A. AB＝BC B. AB＝CD C. AC＝BD D.∠D＝90° 考点3: 中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形.如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四形EFGH就是中点四边形. 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四 边形 四边形 菱形 矩形 平行四边形 正方形 原四边形 对角线 对角线不垂直，不相等 对角线不垂直， 不相等 对角线相等 对角线垂直 对角线相等且垂直 中点四边形 平行四边形 矩形 菱形 平行四边形. 正方形 · 判定中点四边形形状的关键：①三角形中位线定理；②原四边形两条对角线的数量关系和位置关系. 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 · 中点四边形的周长为原四边形两条对角线的长度之和；中点四边形的面积为原四边形面积的一半. 练习3. 1. 如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，下列说法中错误的是(　C　). A.若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形 B.若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形 C.若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形 D.若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形 巩固练习： 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　A　). A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2. 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1＋∠2＝(　A　). A．90° B．100° C．110° D．120° 3. 已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为(　C　). A．16 B．12 C．8 D．4 4. 如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长是(　D　). A.2－ B.2－1 C. D. 2－2 5. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线前去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是(　D　). A. B.－1 C. D. 6. 已知四边形ABCD的是边长为4的正方形，AC为对角线，将△ACD绕点A旋转45度得到△AC′D′，则线段CD′的长是 4－4或4 ． 7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，要使四边形ABCD各边中点连线构成的四边形EFGH是正方形，只需添加一个条件是 AC＝BD ． 8. 如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，求图中阴影部分的面积. 解：阴影部分的面积为4. 9. 如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)探究：请直接写出线段CE，CG，BC之间的数量关系. 解：(1)证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N， ∴∠ENC=∠EMC=90°. ∵四边形ABCD为正方形，∠BCD=90°，CA平分∠BCD，∴∠MEN=90°，EM=EN， ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF=90°，∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF，∵∠DNE=∠FME=90°，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF， ∴矩形DEFG为正方形. (2)CE+CG=BC.【提示】证明△DCG≌DAE. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 正方形的性质与判定 考点1: 正方形的性质 图示 矩形的性质 几何语言 边 对边平行 AB//CD，AD//BC 四边相等 AB＝CD＝AD＝BC 角 四个角都是直角 ∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90° 对角线 对角线相等且互相垂直平分 AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD 每条对角线平分一组对角 ∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA， ∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB 对称性 轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线和过每一组对边中点的直线，共有四条对称轴 中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 · 在正方形ABCD中，AD＝AB，且∠BAD＝90°，由勾股定理可推出BD＝AB. 练习1. 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　 　). A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 2. 如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，过点B作BG⊥CE于点G，若BG＝3，DF＝9，则FG的长为(　 　). A.4 B.5 C.6 D.11 3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A(－2，0)，B(0，1)均在坐标轴上，则点C的坐标为 . 4. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B，D作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF＝ . 5. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF. 若AE＝1，则EF的长为 . 6. 如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF. (1)求证：△ABF≌△CBE； (2)判断△CEF的形状，并说明理由. 考点2: 正方形的判定 (1) 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形→[根据定义] (2) 有一组邻边相等的矩形是正方形→[根据邻边] (3) 有一个角是直角的菱形是正方形→[根据角] (4) 对角线相等的菱形是正方形→[根据对角线] (5) 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形→[根据对角线] (6) 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形→[根据对角线] 练习2. 1. 如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(　 　). A. AC和BD互相垂直平分 B. AB＝AD且AC⊥BD C. ∠A＝∠B且AC＝BD D. AB＝AD且AC＝BD 2. 在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件可证明四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是(　 　). A. AB＝BC B. AB＝CD C. AC＝BD D.∠D＝90° 考点3: 中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形.如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四形EFGH就是中点四边形. 2. 常见的中点四边形形状归纳 原四 边形 四边形 菱形 矩形 平行四边形 正方形 原四边形 对角线 对角线不垂直，不相等 对角线不垂直， 不相等 对角线相等 对角线垂直 对角线相等且垂直 中点四边形 平行四边形 矩形 菱形 平行四边形. 正方形 · 判定中点四边形形状的关键：①三角形中位线定理；②原四边形两条对角线的数量关系和位置关系. 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 · 中点四边形的周长为原四边形两条对角线的长度之和；中点四边形的面积为原四边形面积的一半. 练习3. 1. 如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，下列说法中错误的是(　 　). A.若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形 B.若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形 C.若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形 D.若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形 巩固练习： 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　 　). A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2. 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若AB∥CD，则∠1＋∠2＝(　 　). A．90° B．100° C．110° D．120° 3. 已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为(　 　). A．16 B．12 C．8 D．4 4. 如图，正方形ABCD的边长为2，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE的长是(　 　). A.2－ B.2－1 C. D. 2－2 5. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线前去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是(　 　). A. B.－1 C. D. 6. 已知四边形ABCD的是边长为4的正方形，AC为对角线，将△ACD绕点A旋转45度得到△AC′D′，则线段CD′的长是 ． 7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，要使四边形ABCD各边中点连线构成的四边形EFGH是正方形，只需添加一个条件是 ． 8. 如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，求图中阴影部分的面积. 9. 如图，已知四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)探究：请直接写出线段CE，CG，BC之间的数量关系. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $