【教案】问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形（word教案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该教案聚焦“作内嵌于正方形的正八边形”核心知识点，通过回顾正多边形知识，结合建筑装饰图案情境引导学生观察图形位置关系，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料特色在于情境与探究融合，以建筑图案引入体现数学眼光中的几何直观，分析图形特征、设计作图思路培养数学思维中的推理能力，两种尺规作图方法发展数学语言中的模型意识，助力学生提升几何能力，为教师提供清晰教学流程。

问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征． 2.经历“分析图形特征——设计作图思路——尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力． 3.体会数学与建筑艺术的联系，培养问题解决的条理性与合作交流意识． 重点：分析内嵌正八边形的数量关系，设计尺规作图方案． 难点：理解作图方法的几何原理，规范完成尺规作图． 知识链接 　　前面我们学习了正多边形，回顾一下相关知识． 创设情境——见配套课件 　探究点：作内嵌于正方形的正八边形 问题：（1）观察这个建筑装饰图案，你能看到哪些我们学过的几何图形？ 正方形、正八边形 （2）它们的位置关系有什么特点？ 正八边形在正方形内部，且部分顶点落在正方形的边上． 概念引入：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．  如图，正八边形ABCDEFGH内嵌于正方形MNQP，正方形边长为a． （1）设正方形四个角上的等腰直角三角形的直角边长为x，请用含x的式子表示正八边形的边长． （2）求x的值和正八边形的边长． 解：（1）等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长， 如图，在Rt△AMH中，根据勾股定理， 得AH==x． ∴正八边形的边长为x． （2）由（1）得AH=HG=x， ∵正方形的一条边由两段直角边和一段正八边形的边长组成， ∴MP=MH＋HG＋GP=a，即x＋x＋x=a． 解得x==． ∴正八边形的边长为x=（－1）a．  已知正方形ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个内嵌于它的正八边形，写出作图步骤（至少两种方法）． 解：方法一：对角线交点法（课堂常用方法） 1.作正方形ABCD的两条对角线AC、BD，交于中心O； 2.以A、B、C、D为圆心，以OA为半径画弧，分别与正方形的四条边交于两个点： 3.顺次连接这8个交点，得到正八边形EFGHIJKL． 方法二：截取等长线段法 1.设正方形边长为a，计算得角上等腰直角三角形的直角边长x=； 2.以A、B、C、D为圆心，x为半径，在每条边上截取两个点； 3.顺次连接这8个点，得到正八边形． 1.若正方形边长为6，求内嵌正八边形的周长和面积． 2.如图，正八边形内嵌于正方形，已知正八边形的边长为2，求正方形的边长． （其他课堂拓展题，见配套PPT） 问题解决：作内嵌于正方形的正八边形 1.几何特征：轴对称、中心对称；顶点在正方形边上． 2.数量关系：设正方形边长为a，正八边形边长为（－1）a． 3.作图步骤 　　 　　 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $