1.4正方形的性质与判定预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上学期预习手册4

本讲义聚焦正方形的性质与判定核心知识点，系统梳理其作为特殊平行四边形，兼具矩形和菱形特征的定义，边、角、对角线、对称性的性质，以及三种核心判定定理，构建与平行四边形、矩形、菱形的从属关系知识支架。 通过类比矩形、菱形推导性质培养推理能力，结合地方期末模考题提升应用意识，分层设计例题和练习。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，发展几何直观与逻辑思维，落实数学核心素养。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册4 《第1章特殊的平行四边形第4节正方形的性质与判定》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解正方形的定义，清晰梳理正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的从属关系；熟练掌握正方形的边、角、对角线、对称性的全部性质，熟记正方形的三种核心判定定理。 2.能运用正方形的性质进行线段、角度的计算和几何推理证明；能根据已知条件灵活选择判定方法，判断四边形是否为正方形，提升几何图形辨析与逻辑推理能力。 3.经历正方形性质与判定的探究过程，体会类比、转化、归纳的数学思想，构建特殊平行四边形的知识体系，培养几何直观与严谨的逻辑思维。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.正方形的全部性质及几何语言表达； 2.正方形的三种判定方法的理解与基础应用。 （二） 难点 1.区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质异同，理清四者的包含关系； 2.灵活选用判定定理解决综合性几何证明题，规避判定条件遗漏、混用的易错问题。 ) 三．知识梳理 （一）正方形的定义 下面的图片中，我们可以找到熟悉的正方形 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形(square). 1.正方形的定义 （1）核心定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）衍生定义： ①四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形； ②既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 2.定义的深层理解 （1）正方形属于特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有特征，是特殊的矩形、特殊的菱形。 （2）定义包含三个关键条件：①是平行四边形；②一组邻边相等；③有一个角是直角，三个条件缺一不可。 （3）正方形的定义既是它的本质特征，也是最基础的判定方法。 （二）正方形的性质（类比矩形、菱形自主推导） 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 于是，我们得到正方形的性质定理: 四个角都是直角正方形的四条边相等， 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 【归纳】 1.正方形的核心性质 （1）边的性质：四条边都相等；对边分别平行。 （2）角的性质：四个角都是直角（90°）。 （3）对角线性质： ①对角线互相平分； ②对角线相等； ③对角线互相垂直； ④每条对角线平分一组对角，将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）对称性： ①是轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线）； ②是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 2.正方形与平行四边形、矩形、菱形的性质关联 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形。 （三）正方形的判定定理（核心考点） 正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系? 于是，我们得到正方形的判定定理 有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 【归纳】 1.正方形判定的核心依据 正方形是特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有特征，因此其判定本质是：证明一个四边形既是矩形又是菱形。 （1）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 正方形是特殊的矩形（一组邻边相等的矩形），也是特殊的菱形（有一个角是直角的 的菱形），更是特殊的平行四边形，三者判定条件叠加即可得到正方形判定。 （2）正方形的判定定理 定理1：一组邻边相等的矩形是正方形 定理2：有一个角是直角的菱形是正方形 定理3：对角线互相垂直的矩形是正方形 定理4：对角线相等的菱形是正方形 定义判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2.判定思路总结 （1）先证四边形是平行四边形→再证是矩形/菱形→最后补全菱形/矩形条件得正方形； （2）直接证四边形四条边相等、四个角都是直角，直接判定为正方形； （4）利用对角线：对角线互相平分+相等+垂直，直接判定为正方形。 四．经典例题 例1.【2025贵阳市南明区九年级期末】正方形具备而矩形不具备的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四个内角都是直角 C. 对角线互相垂直 D. 对边互相平行 【答案】：C 【解析】：矩形对角线相等且平分，正方形对角线互相垂直平分且相等，对角线互相垂直是正方形独有性质。 例2.【2026贵阳市云岩区九年级一模】下列说法能判定一个四边形是正方形的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形 B. 对角线相等的菱形 C. 对角线相等的平行四边形 D. 一组邻边相等的四边形 【答案】：B 【解析】：菱形对角线相等即可判定为正方形；A是菱形，C是矩形，D条件不足，无法判定。 例3.【2026贵阳市花溪区九年级二模】正方形边长为4，则对角线长为（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 2 【答案】：B 【解析】：正方形对角线=边长×，4×=4。 例4.【2025贵阳市乌当区期中】正方形两条对角线相交形成的角为（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】：C 【解析】：正方形对角线互相垂直，夹角为90°。 例5.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是（　　） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 【答案】：C 【解析】：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C． 例6.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【解析】连接交于O，∵四边形是菱形，，∴，，，又，∴，则， ∴，∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，则正方形的面积为24， 故选：C． 例7.【2025南明区期末】正方形对角线长为6，它的面积等于______。 【答案】：18 【解析】：正方形面积=×对角线乘积，×6×6=18。 例8.【2026云岩区一模】矩形添加条件：________可以变成正方形（填一组邻边相等即可）。 【答案】：一组邻边相等（答案不唯一） 【解析】：矩形邻边相等，满足正方形定义；也可填写对角线互相垂直。 例9.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 解:（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴； （2）过作于点，∵四边形是正方形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四边形的面积． 例10.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由; (2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由. 解:(1)OE=OF.理由如下:∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠BCE,∵MN∥BC, ∴∠NEC=∠ECB,∴∠NEC=∠ACE,∴OE=OC,∵CF是∠ACD的平分线,∴∠OCF=∠FCD, ∵MN∥BC,∴∠OFC=∠FCD,∴∠OFC=∠OCF,∴OF=OC,∴OE=OF. (2)当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角时,四边形AECF是正方形. 理由如下:当点O运动到AC的中点时,AO=CO,又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形, ∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,∴AO+CO=EO+FO,∴AC=EF,∴四边形AECF是矩形. ∵MN∥BC,∠ACB=90°,∴∠AOE=90°,∴AC⊥EF,∴四边形AECF是正方形. 五．夯实基础 （一）选择题 1.【2026云岩区三模】对角线互相平分、相等且垂直的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】：C 【解析】：对角线同时满足平分、相等、垂直，是正方形的对角线特征。 2.【2025南明区期中】下列命题错误的是（ ） A. 正方形是特殊的菱形 B. 正方形是特殊的矩形 C. 菱形一定是正方形 D. 正方形属于平行四边形 【答案】：C 【解析】：菱形只有内角为直角时才是正方形，普通菱形不是正方形。 3.【2025乌当区期末】从平行四边形到正方形，最少需要添加几个条件（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】：B 【解析】：平行四边形需要添加：邻边相等、一个内角为直角，共两个条件。 4.【2026云岩区期末】正方形面积为25，则对角线长（ ） A. 5 B. 5 C. 10 D. 【答案】：B 【解析】：边长=5，对角线=5。 5..【2025乌当区一模】正方形绕对角线交点旋转多少度可以与自身重合（最小角度）（ ） A. 45° B. 90° C. 180° D. 60° 【答案】：B 【解析】：正方形最小旋转角90°即可重合。 6.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】B 【解析】A、①有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意；B、③对角线相等的矩形不一定是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意；C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．故选：B． 7．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】如图，过点B作于O，由正方形的性质可∵，∴，，∴，∴，∴，由旋转的性质可得，∴，∴，∴，∴，故选：D． 8．如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，，由题意知：四边形，四边形都是正方形， ，，，， ，在和中，，， ，，．故选：A． （二）填空题 9.【2026云岩区期末】菱形的对角线相等，这个图形一定是______。 【答案】：正方形 【解析】：对角线相等的菱形是正方形。 10.【2025南明区一模】正方形对角线长2，边长=______。 【答案】：2 【解析】：边长=对角线÷，2÷=2。 11.【2025南明区期末】正方形的对角线______、相等、互相平分。 【答案】：互相垂直 【解析】：正方形对角线完整性质：垂直、相等、平分、平分一组对角。 12．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】可添加条件是，理由∵四边形是菱形，，∴菱形是正方形．故答案为：（答案不唯一） 13．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】/75度 【解析】∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为： 14．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 【答案】 【解析】由题意可得出：，∴，∴， ∵在正方形中，，∴， ∴，∴， ∴在中，故答案为： 15．如图，正方形的边长为5，对角线交于点E，线段的长为2，在边上移动，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【解析】如图，过E作，过G点作，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，作E点关于的对称点，连接， ∴，∴当H、G、三点共线时，的值最小，此时， ∵，∴，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：． 16．如图，将正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，与相交于H，若，则 ． 【答案】 【解析】连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∵正方形是由正方形绕点C顺时针旋转得到，∴，，，∴，∵在和中，，， ，∴在中，， ，即，∴，∴． 故答案为： （三）解答题 17.【2026贵阳市云岩区九年级期末】已知四边形ABCD是矩形，O为对角线交点。 （1）当AC⊥BD时，求证：ABCD是正方形； （2）若正方形边长为6，求△AOB的面积； （3）求对角线交点O到正方形一边的距离。 【答案】（1）证明：矩形对角线互相垂直，则这个矩形是正方形； （2）面积=9； （3）距离等于边长的一半，等于3。 【解析】：（1）直接使用正方形判定定理； （2）对角线分成四个面积相等的三角形，总面积36，单块面积9； （3）中心到边的垂线段长度为边长的一半。 18.如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G. （1）求证△ABE≌△CBF； （2）若，求的度数. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方∴=90°，∴∵∴△ABE≌△CBF. （2）∵∴.又∵=40°，∴. 19．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为2，∠AGF＝105°． （1）求∠BAG的度数；（2）线段EF的长． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠ABG＝45°，AB＝BC＝CD＝2，∵GF⊥BC，∴∠GBF＝45°＝∠BGF，∵∠AGF＝105°，∴∠AGB＝60°，∵∠AGB+∠BAG+∠ABG＝180°，∴∠BAG＝180°﹣45°﹣60°＝75°； （2）如图，连接CG，过点A作AH⊥BD于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA＝GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴EF＝GC，∴AG＝EF， ∵AB＝2，∠ABH＝45°，AH⊥BG，∴BH＝AH＝，∵∠AGB＝60°，AH⊥BG，AH＝，∴HG＝＝，AG＝2HG＝，∴EF＝． 20.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解：（1）如图1，EF＝BE+DF，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF， （2）如图2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵，∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF． 六．巩固训练 （一）选择题 1.【2026贵阳市花溪区三模】下列条件，不能判定四边形为正方形的是（ ） A. 邻边相等的矩形 B. 有直角的菱形 C. 对角线垂直且相等的四边形 D. 对角线垂直且相等的平行四边形 【答案】：C 【解析】：仅对角线垂直相等，但不平分的四边形，不是平行四边形，无法判定正方形。 2.【2026云岩区二模】正方形和菱形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直平分 D. 对角线平分对角且长度相等 【答案】：C 【解析】：菱形、正方形对角线都互相垂直平分；菱形对角线长度不相等。 3.【2026花溪区期末】一个四边形既是矩形又是菱形，这个图形必然是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 筝形 【答案】：A 【解析】：矩形与菱形的交集图形就是正方形。 4.【2026云岩区一模】正方形面积用对角线计算公式是（ ） A. 对角线÷2 B. ×对角线×对角线 C. 对角线的平方 D. 对角线×2 【答案】：B 【解析】：正方形面积特有的计算公式：S=d1d2，两条对角线相等。 5.【2026花溪区一模】正方形边长扩大为原来的2倍，面积扩大几倍（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍 【答案】：B 【解析】：面积与边长平方成正比，2^2=4倍。 6．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正方形边长为，是中点，∴设，则，由折叠性质得．在中，由勾股定理：， 即，，，．∴，，．故选：C． 7．如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】如图，，，， 又，，，，，，同理可得：， ，故选：C． 8．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】∵四边形是正方形，∴．∵，∴．在和中，，∴．∴，故①正确．∵，∴．∵，∴，∴，即，故②正确．∵， ∴．∴，，∴，故④正确；如图所示：连接，∵，∴，而，∴，故③错误．综上，只有③错误．故选：A． 9.如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（　A　） A．28 B．24 C．20 D．16 【答案】B 【解析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝AF•EM，S△ABC＝AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B． 10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：则PE+PF的值最小＝EM；∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，∴EC＝10，FC＝5＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝＝＝5，同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使PE+PF＝5；∴满足PE+PF＝5的点P的个数是4个；故选：B． （二）填空题 11.【2025南明区三模】对角线互相垂直平分且相等的四边形是______。 【答案】：正方形 【解析】：这是正方形对角线的完整判定条件。 12.【2026花溪区二模】矩形想要成为正方形，添加条件：______（对角线互相垂直）。 【答案】：对角线互相垂直（或一组邻边相等） 【解析】：矩形二选一条件均可判定正方形。 13.【2025南明区二模】正方形任意一条对角线平分一组______。 【答案】：对角（内角） 【解析】：正方形对角线的标准性质。 14．如图，E、F 分别是边长为2的正方形边、上的两个动点，连接、、，若的大小始终保持不变，则的周长为 ． 【答案】4 【解析】正方形中，，，将绕着点A逆时针旋转，得到，如图：则，，，，∴G点在的延长线上，∵，∴，∴，即∴， 又∵，∴∴，∴ 即的周长为4．故答案为：4． 15．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 　　． 【答案】19 【解析】∵AE＝4，BE＝3，∠AEB＝90°，∴AB＝＝5，S△ABE＝＝6，∴S正方形ABCD＝AB×BC＝5×5＝25，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝25﹣6＝19，故答案为：19． 16．如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　　． 【答案】3﹣6 【解析】如图，根据题意可知：∵E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，∴AD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，CE＝BE＝3，∴AE＝＝＝3，以A为圆心，AD为半径画弧交AE于点F，由AD＝AF，F运动轨迹为圆弧，∴线段EF长的最小值等于AE﹣AF＝3﹣6．故答案为：3﹣6． 17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度为______ 【答案】3.4 【解析】如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，∵AD＝3，∴DG＝4﹣3＝1，∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，∴△EBC≌△FGC（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，∵∠DCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，∴∠DCE＝∠DCF，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD（SAS），∴ED＝DF，设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，∴（5﹣x）2+32＝x2，解得：x＝3.4，∴DE＝3.4．故选：B． 18．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　 ． 【答案】6﹣6． 【解析】如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD=BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE，∵四边形DEFG是正方形，GF=6，∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF，∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，∴F点到AC的距离为6﹣6．故答案为：6﹣6． 19．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2025B2026C2026的顶点B2026的坐标是　 　． 【答案】（0，22025） 【解析】∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2）， 同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8）， B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， ∵2026÷8=253…2 ∴B2026的纵横坐标符号与点B2的相同，横坐标为0，纵坐标是22025， ∴B2026的坐标为（0，22025）． 20．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　　． 【答案】16 【解析】在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，∴B、A、O、C四点共圆，∴∠ABO＝∠ACO，∵在△BAO和△CGO中，∴△BAO≌△CGO（SAS），∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG＝，即AC＝12+4＝16．故答案为：16 （三）解答题 21．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：（1）△AHE≌△BEF； （2）四边形EFGH是正方形． 解：（1）证明∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，又∵AE＝BF＝DH＝CG，∴AH＝BE＝CF＝DG，∴△AHE≌△BEF（SAS）； （2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝DG＝CF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，∴四边形EFGH是菱形，∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，∴∠EHA+∠GHD＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形． 22．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 解：（1）补全图形如图1所示： （2）①证明：如图1所示∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴PA＝PE，∠APE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，∵EFBC于F，∴∠PFE＝90°＝∠ABP，∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，∴∠APB＝∠PEF，在△APB和△PEF中， ，∴△APB≌△PEF（AAS），∴PB＝EF，AB＝PF，∵AB＝BC，∴BC＝PF，∴PB＝CF，∴EF＝CF； ②结论：CP﹣CD＝CE．理由：∵CD＝CB，∴CP﹣CD＝CP﹣CB＝PB＝CF，∵EF＝CF，∠CFE＝90°，∴CF＝CE，∴CP﹣CD＝CE； （3）CE＝（CD−CP）或CE＝（CD+CP） 23．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC． (1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________； (2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明； (3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 解：(1)相等　互相平行 (2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°．∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE．在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD．∵CE＝BF，∴GH＝BF．又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE． (3)成立．FG＝CE，FG∥CE． 24．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF． （2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由． 解：（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF； （2）AE＝EF成立，理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．在△AME与△ECF中， ，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF． 25．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是 　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 解:（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQOC，∴PQ⊥BO，PQBO；故答案为：PQBO，PQ⊥BO． （2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，在△O′PE和△FPC中，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也为等腰直角三角形．又∵点Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形； （3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，在△O'GP和△BCP中,，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB为等腰直角三角形，∵点Q是O'B的中点，∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A，∴O'B，∴BQ．∴S△PQBBQ•PQ． 26．我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 解:（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 又∵，∴，在△CDF和中，， ∴，∴． （2）如图，连接，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴， 故答案为：； （3）存在，理由：连接，∵，∴， ∴，在和中，，∴， ∴，，∵，， ∴，在和中，，∴， ∴，∵，∴，∴． （4）如图，当时，∵，，∴A、E、C在一条直线上，∵，∴，，；如图，当时， 同理可证得：，∴，∴，，∴B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M，∵，，∴，∴，∴，∴，， ∴，综上所述，的长为或4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册4 《第1章特殊的平行四边形第4节正方形的性质与判定》预习讲义 一．学习目标 ( 1.理解正方形的定义，清晰梳理正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的从属关系；熟练掌握正方形的边、角、对角线、对称性的全部性质，熟记正方形的三种核心判定定理。 2.能运用正方形的性质进行线段、角度的计算和几何推理证明；能根据已知条件灵活选择判定方法，判断四边形是否为正方形，提升几何图形辨析与逻辑推理能力。 3.经历正方形性质与判定的探究过程，体会类比、转化、归纳的数学思想，构建特殊平行四边形的知识体系，培养几何直观与严谨的逻辑思维。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.正方形的全部性质及几何语言表达； 2.正方形的三种判定方法的理解与基础应用。 （二） 难点 1.区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质异同，理清四者的包含关系； 2.灵活选用判定定理解决综合性几何证明题，规避判定条件遗漏、混用的易错问题。 ) 三．知识梳理 （一）正方形的定义 下面的图片中，我们可以找到熟悉的正方形 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形(square). 1.正方形的定义 （1）核心定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 （2）衍生定义： ①四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形； ②既是矩形又是菱形的四边形是正方形。 2.定义的深层理解 （1）正方形属于特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有特征，是特殊的矩形、特殊的菱形。 （2）定义包含三个关键条件：①是平行四边形；②一组邻边相等；③有一个角是直角，三个条件缺一不可。 （3）正方形的定义既是它的本质特征，也是最基础的判定方法。 （二）正方形的性质（类比矩形、菱形自主推导） 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 于是，我们得到正方形的性质定理: 四个角都是直角正方形的四条边相等， 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 【归纳】 1.正方形的核心性质 （1）边的性质：四条边都相等；对边分别平行。 （2）角的性质：四个角都是直角（90°）。 （3）对角线性质： ①对角线互相平分； ②对角线相等； ③对角线互相垂直； ④每条对角线平分一组对角，将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （4）对称性： ①是轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线）； ②是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。 2.正方形与平行四边形、矩形、菱形的性质关联 正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质，是最特殊的平行四边形。 （三）正方形的判定定理（核心考点） 正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系? 于是，我们得到正方形的判定定理 有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 【归纳】 1.正方形判定的核心依据 正方形是特殊的平行四边形，同时具备矩形和菱形的所有特征，因此其判定本质是：证明一个四边形既是矩形又是菱形。 （1）平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 正方形是特殊的矩形（一组邻边相等的矩形），也是特殊的菱形（有一个角是直角的 的菱形），更是特殊的平行四边形，三者判定条件叠加即可得到正方形判定。 （2）正方形的判定定理 定理1：一组邻边相等的矩形是正方形 定理2：有一个角是直角的菱形是正方形 定理3：对角线互相垂直的矩形是正方形 定理4：对角线相等的菱形是正方形 定义判定：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2.判定思路总结 （1）先证四边形是平行四边形→再证是矩形/菱形→最后补全菱形/矩形条件得正方形； （2）直接证四边形四条边相等、四个角都是直角，直接判定为正方形； （4）利用对角线：对角线互相平分+相等+垂直，直接判定为正方形。 四．经典例题 例1.【2025贵阳市南明区九年级期末】正方形具备而矩形不具备的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四个内角都是直角 C. 对角线互相垂直 D. 对边互相平行 例2.【2026贵阳市云岩区九年级一模】下列说法能判定一个四边形是正方形的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形 B. 对角线相等的菱形 C. 对角线相等的平行四边形 D. 一组邻边相等的四边形 例3.【2026贵阳市花溪区九年级二模】正方形边长为4，则对角线长为（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 2 例4.【2025贵阳市乌当区期中】正方形两条对角线相交形成的角为（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 例5.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形： a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等 c．一组邻边相等 d．一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是（　　） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 例6.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（    ） A．12 B．18 C．24 D．48 例7.【2025南明区期末】正方形对角线长为6，它的面积等于______。 例8.【2026云岩区一模】矩形添加条件：________可以变成正方形（填一组邻边相等即可）。 例9.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 例10.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. (1)探究线段OE与OF的数量关系,并说明理由; (2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?请说明理由. 五．夯实基础 （一）选择题 1.【2026云岩区三模】对角线互相平分、相等且垂直的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 2.【2025南明区期中】下列命题错误的是（ ） A. 正方形是特殊的菱形 B. 正方形是特殊的矩形 C. 菱形一定是正方形 D. 正方形属于平行四边形 3.【2025乌当区期末】从平行四边形到正方形，最少需要添加几个条件（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.【2026云岩区期末】正方形面积为25，则对角线长（ ） A. 5 B. 5 C. 10 D. 5..【2025乌当区一模】正方形绕对角线交点旋转多少度可以与自身重合（最小角度）（ ） A. 45° B. 90° C. 180° D. 60° 6.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 7．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则线段的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 8．如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． （二）填空题 9.【2026云岩区期末】菱形的对角线相等，这个图形一定是______。 10.【2025南明区一模】正方形对角线长2，边长=______。 11.【2025南明区期末】正方形的对角线______、相等、互相平分。 12．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ． 13．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 14．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 15.如图，正方形的边长为5，对角线交于点E，线段的长为2，在边上移动，连接，则的最小值是 ．    16．如图，将正方形绕点C顺时针旋转得到正方形，与相交于H，若，则 ． （三）解答题 17.【2026贵阳市云岩区九年级期末】已知四边形ABCD是矩形，O为对角线交点。 （1）当AC⊥BD时，求证：ABCD是正方形； （2）若正方形边长为6，求△AOB的面积； （3）求对角线交点O到正方形一边的距离。 18.如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G. （1）求证△ABE≌△CBF； （2）若，求的度数. 19．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为2，∠AGF＝105°． （1）求∠BAG的度数；（2）线段EF的长． 20.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 六．巩固训练 （一）选择题 1.【2026贵阳市花溪区三模】下列条件，不能判定四边形为正方形的是（ ） A. 邻边相等的矩形 B. 有直角的菱形 C. 对角线垂直且相等的四边形 D. 对角线垂直且相等的平行四边形 2.【2026云岩区二模】正方形和菱形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直平分 D. 对角线平分对角且长度相等 3.【2026花溪区期末】一个四边形既是矩形又是菱形，这个图形必然是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 梯形 D. 筝形 4.【2026云岩区一模】正方形面积用对角线计算公式是（ ） A. 对角线÷2 B. ×对角线×对角线 C. 对角线的平方 D. 对角线×2 5.【2026花溪区一模】正方形边长扩大为原来的2倍，面积扩大几倍（ ） A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍 6．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 7．如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，，分别是正方形的边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9.如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为（　A　） A．28 B．24 C．20 D．16 10．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是（　　） A．0 B．4 C．8 D．16 （二）填空题 11.【2025南明区三模】对角线互相垂直平分且相等的四边形是______。 12.【2026花溪区二模】矩形想要成为正方形，添加条件：______（对角线互相垂直）。 13.【2025南明区二模】正方形任意一条对角线平分一组______。 14．如图，E、F 分别是边长为2的正方形边、上的两个动点，连接、、，若的大小始终保持不变，则的周长为 ． 15．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 　　． 16．如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　　． 17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度为______ 18．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2025B2026C2026的顶点B2026的坐标是　 　． 20．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　　． （三）解答题 21．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：（1）△AHE≌△BEF； （2）四边形EFGH是正方形． 22．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 23．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC． (1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________； (2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明； (3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 24．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F． （1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF． （2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由． 25．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是 　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 26．我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $