第五单元线与角（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

该小学数学第五单元“线与角”复习讲义通过知识框架图系统梳理线段、射线、直线的概念及区别，用对比表格呈现三者端点数量、延伸性、可测量性等核心差异，同时以“定义-特征-分类”的逻辑链构建角的知识体系，涵盖角的构成、大小影响因素及直角、锐角、钝角的判断标准，突出“两点之间线段最短”“角的大小与边的长短无关”等重难点的内在联系。 该讲义亮点在于“生活情境化”练习设计，如“光源光线看作射线”“路线选择最短路径”等例题，引导学生用数学眼光观察现实世界，培养空间观念与几何直观。提升练习中“经过点画直线”的规律探究题，通过归纳点数与直线数的关系，发展推理意识。分层设置填空、作图、解答等题型，基础题巩固概念，探究题提升思维，教师可据此实施分层教学，学生自主复习时能通过易错点提示规避认知误区。

第五单元 线与角 （单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、线段、射线、直线的认识 1、线段 （1）线段有两个端点，长度有限，可以测量。 （2）两点之间，线段最短。 （3）两点之间的距离，就是两点间线段的长度。 2、射线 （1）射线只有一个端点。 （2）一端可以无限延伸，长度无限，无法测量。 3、直线 （1）直线没有端点。 （2）两端都可以无限延伸，长度无限，无法测量。 4、三线区别总结 ① 只有线段可以量长度，射线和直线都不能量长度。 ② 线段、射线都是直线的一部分。 二、角的基本认识 1、角的定义 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。 （2）角由一个顶点和两条边组成。 2、角的大小特点 （1）角的大小与两条边的长短无关。 （2）角的大小只与两条边张开的大小有关，张开越大，角越大。 三、常见角的认识 1、直角 （1）直角是标准角，大小固定。 （2）所有直角大小都相等。 2、锐角 （1）比直角小的角叫做锐角。 3、钝角 （1）比直角大的角叫做钝角。 四、画角与判断基础 1、直角判断方法 （1）可以用三角尺上的直角比对判断。 （2）完全重合是直角，开口小是锐角，开口大是钝角。 2、画角基本要求 ① 先定顶点，再从顶点引出两条射线。 ② 画直角需标注直角符号。 五、易错知识点 1、概念易错 （1）直线、射线没有长度，不能比较长短。 （2）角的边是射线，无限长，不能用边的长短判断角的大小。 2、判断易错 （1）钝角一定比锐角大。 （2）大小不同的三角尺，直角大小完全相同。 例题讲解 【典例1】 夜幕中的开州故城灯火辉煌，是市民休闲的好去处，我们可以把光源发出的光线看成( )。（从直线、线段、射线中选择） 【答案】射线 【分析】线段有两个端点，不能无限延伸；直线没有端点，可以向两边无限延伸；射线只有一个端点，可以向另一边无限延伸。 【详解】把光源看作从一个端点发出的光线朝着一个方向无限延伸，符合射线的特点，所以光源发出的光线是射线。 【典例2】 拉直的彩绳可以看成一条( )，它有( )个端点；把它向一端无限延长形成( )，向两端无限延长形成( )。 【答案】 线段 射线 直线 【分析】根据线段是直的，有两个端点，长度有限；射线是直的，有一个端点，向一端无限延长；直线是直的，没有端点，向两端无限延长，据此解答。 【详解】根据分析可得：拉直的彩绳是直的，且长度有限，可以看成一条线段；线段有个端点；把线段向一端无限延长，形成的是射线；把线段向两端无限延长，形成的是直线。 【典例3】 芳芳从家到公园有三条不同的路线（如下图），已知她每分钟走的路程相同，选择走哪条路可以最快到达？说明你的理由。 【答案】选择走②号路可以最快到达。因为两点之间线段最短。 【分析】根据两点之间线段最短进行判断即可。 【详解】选择走②号路可以最快到达。因为两点之间线段最短。 【典例4】 从淘气家到笑笑家有三条路（如下图），走哪条路最近？试着说明原因。 【答案】走第②条路最近；理由见详解 【分析】由题意得，从淘气家到笑笑家有三条路，第①条路是折线，第③条路是曲线，第②条路是直直的线段，所以第②条路最短。因为两点之间所有的连线中，线段最短。 【详解】答：走第②条路最近；理由：两点之间所有的连线中，线段最短。 提升练习 一、填空题 1．在探究长方形特征时，笑笑折了折，发现长方形的对边( )，乐乐用三角板上的直角量了量，发现长方形的四个角都是( )。 【答案】 相等 直角 【分析】“折一折”是为了验证边的长度关系，“量一量”是为了验证角的大小类型。 【详解】边的特征：长方形有四条边，通过“折一折”的操作，可以发现相对的两条边能够完全重合，说明长方形的对边相等。 角的特征：长方形有四个角，通过用三角板上的直角“量一量”，可以发现四个角都能与三角板上的直角重合，说明长方形的四个角都是直角。 2．王红星期天的时间是这样安排的：早上7：30起床洗漱，8：00吃早餐，9：00阅读。这三个时刻钟面上的时针与分针所形成的夹角依次是( )角、( )角和( )角。 【答案】 锐 钝 直 【分析】钟面的特点：钟面一圈是360°，平均分成12个大格，每个大格的夹角是30°。通过观察三个时刻时针和分针的位置，数出它们之间间隔的大格数量，与3个大格进行比较即可判断角的类型。 【详解】7：30的时候，时针在7和8中间，分针指向6，两者之间只隔1个半大格，夹角是30°＋15°＝45°，小于90°，是锐角。 8：00的时候，时针指向8，分针指向12，两者之间隔4个大格，夹角是4×30°＝120°，大于90°小于180°，是钝角。 9：00的时候，时针指向9，分针指向12，两者之间隔3个大格，夹角是3×30°＝90°，是直角。 这三个时刻钟面上的时针与分针所形成的夹角依次是锐角、钝角和直角。 3．射线有( )个端点，线段有( )个端点。 【答案】 /一 /二 【分析】射线是直的，有个端点，无限长，可以向一端无限延长。线段是直的，有个端点；据此解答。 【详解】射线有个端点，线段有个端点。 4．直线可以向( )个方向无限延伸。 【答案】两/ 【分析】直线没有端点，可以向两个方向无限延长。据此解答。 【详解】直线可以向个方向无限延伸。 5．在修建高速公路时，为了缩短距离，提高通行效率，工程师有时会把原本弯曲的路段改成笔直的路段，这样做的数学道理是( )。 【答案】两点之间线段最短 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段。连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。两点之间线段最短。 【详解】工程师有时会把原本弯曲的路段改成笔直的路段，这样做的数学道理是两点之间线段最短。 6．四（1）班要举行家长会，淘气负责摆放教室里的课桌。为了使每一横排看起来都很笔直。他至少要先确定( )张课桌的位置。 【答案】2 【分析】根据“两点确定一条直线”，将摆放笔直横排的课桌的需求转化为确定一条直线的问题，所以至少要先确定2张课桌的位置才能使每一横排看起来都很笔直。 【详解】由分析可得：他至少要先确定2张课桌的位置。 7．钟面上，时针从数字“7”走到“10”，经过了( )小时，分针走了( )圈。10时整的时候，时针和分针形成的角是( )角。 【答案】 3 3 锐 【分析】钟面上有12个大格，60个小格，时针走1大格是1小时，分针走一大格是5分钟；时针每转1个数字（1大格）分针就要转1圈，时针从数字“7”走到“10”，走了 3 个大格，即 3 小时，此时分针走了 3 圈。10 时整，时针指向 10，分针指向 12，中间相隔 2 个大格。钟面上 3 个大格对应直角，2 个大格小于直角，因此形成的角是锐角。 【详解】时针从数字“7”走到“10”，走过的大格数为：10－7＝3（个），因为时针走1个大格是1小时，所以经过了3小时，分针走了3圈。10时整的时候，时针和分针形成的角是锐角。 8．9时整，钟面上的时针和分针形成( )；4时整，钟面上的时针和分针形成( )。（填“锐角”“直角”“钝角”） 【答案】 直角 钝角 【分析】钟面是一个圆，被12个数字分成12个大格。9时整，时针指向9，分针指向12，两者之间相隔3个大格，对应直角；4时整，时针指向4，分针指向12，两者之间相隔4个大格，大于3个大格，对应钝角。 【详解】9时整，时针指向9，分针指向12，时针和分针之间相隔3个大格，形成的角与三角尺上最大的角是一样大，是直角； 4时整，时针指向4，分针指向12，时针和分针之间相隔4个大格。因为直角对应钟面上的3个大格，4个大格比3个大格多，所以形成的角比直角大，是钝角。 二、选择题 9．手电筒或探照灯射出来的光线，都可以看作（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的特征判断即可。 线段有2个端点，长度有限；直线没有端点，可向两端无限延伸；射线只有1个端点，可向一端无限延伸。 【详解】根据分析，解答如下： 手电筒射出的光线以光源为端点，向一个方向无限延伸，符合射线的特征。 10．“有始有终”本义是指做事有开头也有结尾，能坚持到底，不半途而废。在数学上可以用这个成语来形容（    ）。 A．角 B．直线 C．射线 D．线段 【答案】D 【分析】“有始有终”是指做事有开头也有结尾，能坚持到底，不半途而废，对应图形应该有两个端点，分别表示开头和结尾，两个端点之间的部分表示从开始坚持到最后，长度有限。 【详解】A．角的两条边是射线，射线可向一端无限延伸，不符合“有始有终”的描述； B．直线没有端点，可向两端无限延伸，不符合“有始有终”的描述；      C．射线只有1个端点，可向一端无限延伸，不符合“有始有终”的描述；      D．线段有2个端点，长度固定，有起点也有终点，符合“有始有终”的描述。 11．重庆作为一座山水之城，其水生态治理是一项至关重要且极具特色的系统工程。治理过程中有些地方要把弯曲的江水河道改直，这样就能缩短河道长度。可以解释这一做法的数学原理是（    ）。 A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．线段可以量出长度 【答案】A 【分析】把河道两端看作两个固定点，弯曲河道是两点间的曲线，改直后为两点间的线段，缩短长度的核心依据是两点之间线段最短。 【详解】A．线段最短，因此改直后河道长度更短，符合题意。 B．是两点确定直线的原理，和缩短长度无关，不符合。 C．直线无限长，不存在“直线最短”的说法，不符合。 D．是线段的属性，无法解释缩短河道长度的原理。 12．下面说法中正确的是（    ）。 A．过点O，在平面上可以画无数条直线。 B．射线比直线短。 C．任意两个锐角的和一定是钝角。 D．一个五边形是由5条射线组成的。 【答案】A 【分析】依据直线和射线的特征、角的分类以及多边形由线段围成的定义，按选项顺序判断各说法是否成立。 【详解】A．过同一个点改变直线的方向，可以画出无数条直线，说法正确。 B．直线向两端无限延伸，射线向一端无限延伸，二者都不能测量长度，不能比较长短，说法错误。 C．例如30°＋40°＝70°，70°仍是锐角，因此任意两个锐角的和不一定是钝角，说法错误。 D．五边形是由5条线段首尾相连围成的封闭图形，不是由5条射线组成的，说法错误。 13．夜晚露营时，营地灯打开后射出的光束，在数学视角下可近似看成（    ）。 A．线段 B．射线 C．直线 D．曲线 【答案】B 【分析】线段有两个端点、射线只有一个端点、直线没有端点，对应光束的特点判断即可。 【详解】线段有2个端点，长度有限；射线有1个端点，向一端无限延伸；直线没有端点，向两端无限延伸。 营地灯射出的光束以灯为端点，向一个方向无限延伸，符合射线的特征，且光束是直的，不是曲线。 所以夜晚露营时，营地灯打开后射出的光束，在数学视角下可近似看成射线。 三、判断题 14．在三角尺中，直角最大。( ) 【答案】√ 【分析】常用的三角尺有两种， 一种的三个角为、、， 另一种的三个角为、、， 两种三角尺中最大的角都是直角。 【详解】两种三角尺的角度分别为、、和、、， 最大的角都是即直角，原说法正确。 故答案为：√。 15．射线是可以度量的。( ) 【答案】 × 【分析】射线只有一个端点，向一端无限延伸，长度是无限的，不可以度量。 【详解】射线是线段向一端无限延伸得到的，仅有1个端点，长度无限，无法测量长度，因此题目说法错误。 故答案为：× 16．从南充站到成都东站的高铁运行里程是213千米，所以南充站与成都东站之间的距离是213千米。( ) 【答案】× 【分析】高铁运行里程是铁路线路的实际行驶长度，不是两站之间线段的距离，二者不相等。 【详解】两点之间的距离指两点之间线段的长度，南充站到成都东站的高铁运行里程是铁路线路的实际长度，不是两站的线段距离，所以二者不相等。 故答案为：× 17．可以用三角尺上的直角判断出一个角是否是锐角、直角或钝角。( ) 【答案】√ 【分析】锐角小于直角，钝角大于直角，和直角相等的是直角，可用三角尺的直角对比判断角的类型。 【详解】将待判断角的顶点和三角尺直角的顶点重合，一条边与直角的一条边重合：若另一条边在直角内部，该角为锐角；若另一条边与直角另一条边重合，该角为直角；若另一条边在直角外部，该角为钝角。 故答案为：√ 18．小明在练习本上画了一条5厘米的直线。( ) 【答案】 × 【分析】直线没有端点，是无限长的，无法度量出具体的长度。 【详解】直线无端点、无限长，不能测量出确定的长度，因此无法画出长5厘米的直线，题目说法错误。 故答案为：× 四、作图题 19．按要求画一画。 (1)画出线段AB。 (2)画出射线DC。 (3)画出直线BC。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】线段有两个端点，画A和B之间的线段。射线有一个端点，从D点出发经过C点向一个方向延伸。直线没有端点，经过B和C两点向两端延伸。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 五、解答题 20．一列从北京开往广州的高速列车沿途共有6个站点（包括北京、广州这两个站点）。从北京到广州，这列高速列车共需要准备多少种不同的车票？ 【答案】如图： ；15种 【分析】画出线段图表示出这几个站点，然后数一数站点间一共有多少条线段，就能很快知道要准备多少种不同的车票了。 一共6个站点，单向车票，从第1站出发有5种，第2站出发有4种……依次相加。 【详解】1＋2＋3＋4＋5 ＝3＋3＋4＋5 ＝6＋4＋5 ＝10＋5 ＝15（种） 答：共需要准备15种不同的车票。 21．经过2个点可以画1条直线，经过3个点中的每2个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每2个点最多可以画几条直线？经过5个点、6个点呢？ 点数（个） 2 3 4 5 6 直线数（条） 1 3 【答案】6；10；15 【分析】一个点一个点地看，经过2个点最多可以画1条直线；经过3个点中的每两个点最多可以画2＋1＝3（条）直线；经过4个点中的每两个点最多可以画3＋2＋1＝6（条）直线；经过5个点中的每两个点最多可以画4＋3＋2＋1＝10（条）直线；经过6个点中的每两个点最多可以画5＋4＋3＋2＋1＝15（条）直线。据此解答。 【详解】根据分析可知： 点数（个） 2 3 4 5 6 直线数（条） 1 3 6 10 15 答：经过4个点中的每2个点最多可以画6条直线，经过5个点中的每2个点最多可以画10条直线；经过6个点中的每2个点最多可以画15条直线。 22．在同一张纸上有四个点，过这四个点，最少能画几条直线？最多能画几条直线？ 【答案】1条；6条 【分析】4个点的分布情况有三种：4个点共线的情况；3点共线的情况；3点不共线的情况；分析每一种情况，据此可解此题。 【详解】4个点共线的情况：则经过任意两个点画一条直线，那么共可以画直线1条。如图： 3点共线的情况：则经过任意两个点画一条直线，那么共可以画直线4条。如图： 3点不共线的情况：则经过任意两个点画一条直线，那么共可以画直线6条。如图： 答：最少可以画1条直线，最多可以画6条直线。 23．数一数，下面一共有多少条线段？ 【答案】21条 【分析】根据题图可知，单独的线段有6条，由2条线段组成的线段有5条，由3条线段组成的线段有4条，由4条线段组成的线段有3条，由5条线段组成的线段有2条，由6条线段组成的线段有1条，把这些数量相加即可。 【详解】6＋5＋4＋3＋2＋1 ＝11＋4＋3＋2＋1 ＝15＋3＋2＋1 ＝18＋2＋1 ＝20＋1 ＝21（条） 答：一共有21条线段。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 线与角 （单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、线段、射线、直线的认识 1、线段 （1）线段有两个端点，长度有限，可以测量。 （2）两点之间，线段最短。 （3）两点之间的距离，就是两点间线段的长度。 2、射线 （1）射线只有一个端点。 （2）一端可以无限延伸，长度无限，无法测量。 3、直线 （1）直线没有端点。 （2）两端都可以无限延伸，长度无限，无法测量。 4、三线区别总结 ① 只有线段可以量长度，射线和直线都不能量长度。 ② 线段、射线都是直线的一部分。 二、角的基本认识 1、角的定义 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。 （2）角由一个顶点和两条边组成。 2、角的大小特点 （1）角的大小与两条边的长短无关。 （2）角的大小只与两条边张开的大小有关，张开越大，角越大。 三、常见角的认识 1、直角 （1）直角是标准角，大小固定。 （2）所有直角大小都相等。 2、锐角 （1）比直角小的角叫做锐角。 3、钝角 （1）比直角大的角叫做钝角。 四、画角与判断基础 1、直角判断方法 （1）可以用三角尺上的直角比对判断。 （2）完全重合是直角，开口小是锐角，开口大是钝角。 2、画角基本要求 ① 先定顶点，再从顶点引出两条射线。 ② 画直角需标注直角符号。 五、易错知识点 1、概念易错 （1）直线、射线没有长度，不能比较长短。 （2）角的边是射线，无限长，不能用边的长短判断角的大小。 2、判断易错 （1）钝角一定比锐角大。 （2）大小不同的三角尺，直角大小完全相同。 例题讲解 【典例1】 夜幕中的开州故城灯火辉煌，是市民休闲的好去处，我们可以把光源发出的光线看成( )。（从直线、线段、射线中选择） 【典例2】 拉直的彩绳可以看成一条( )，它有( )个端点；把它向一端无限延长形成( )，向两端无限延长形成( )。 【典例3】 芳芳从家到公园有三条不同的路线（如下图），已知她每分钟走的路程相同，选择走哪条路可以最快到达？说明你的理由。 【典例4】 从淘气家到笑笑家有三条路（如下图），走哪条路最近？试着说明原因。 提升练习 一、填空题 1．在探究长方形特征时，笑笑折了折，发现长方形的对边( )，乐乐用三角板上的直角量了量，发现长方形的四个角都是( )。 2．王红星期天的时间是这样安排的：早上7：30起床洗漱，8：00吃早餐，9：00阅读。这三个时刻钟面上的时针与分针所形成的夹角依次是( )角、( )角和( )角。 3．射线有( )个端点，线段有( )个端点。 4．直线可以向( )个方向无限延伸。 5．在修建高速公路时，为了缩短距离，提高通行效率，工程师有时会把原本弯曲的路段改成笔直的路段，这样做的数学道理是( )。 6．四（1）班要举行家长会，淘气负责摆放教室里的课桌。为了使每一横排看起来都很笔直。他至少要先确定( )张课桌的位置。 7．钟面上，时针从数字“7”走到“10”，经过了( )小时，分针走了( )圈。10时整的时候，时针和分针形成的角是( )角。 8．9时整，钟面上的时针和分针形成( )；4时整，钟面上的时针和分针形成( )。（填“锐角”“直角”“钝角”） 二、选择题 9．手电筒或探照灯射出来的光线，都可以看作（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．无法确定 10．“有始有终”本义是指做事有开头也有结尾，能坚持到底，不半途而废。在数学上可以用这个成语来形容（    ）。 A．角 B．直线 C．射线 D．线段 11．重庆作为一座山水之城，其水生态治理是一项至关重要且极具特色的系统工程。治理过程中有些地方要把弯曲的江水河道改直，这样就能缩短河道长度。可以解释这一做法的数学原理是（    ）。 A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，直线最短 D．线段可以量出长度 12．下面说法中正确的是（    ）。 A．过点O，在平面上可以画无数条直线。 B．射线比直线短。 C．任意两个锐角的和一定是钝角。 D．一个五边形是由5条射线组成的。 13．夜晚露营时，营地灯打开后射出的光束，在数学视角下可近似看成（    ）。 A．线段 B．射线 C．直线 D．曲线 三、判断题 14．在三角尺中，直角最大。( ) 15．射线是可以度量的。( ) 16．从南充站到成都东站的高铁运行里程是213千米，所以南充站与成都东站之间的距离是213千米。( ) 17．可以用三角尺上的直角判断出一个角是否是锐角、直角或钝角。( ) 18．小明在练习本上画了一条5厘米的直线。( ) 四、作图题 19．按要求画一画。 (1)画出线段AB。 (2)画出射线DC。 (3)画出直线BC。 五、解答题 20．一列从北京开往广州的高速列车沿途共有6个站点（包括北京、广州这两个站点）。从北京到广州，这列高速列车共需要准备多少种不同的车票？ 21．经过2个点可以画1条直线，经过3个点中的每2个点最多可以画3条直线，经过4个点中的每2个点最多可以画几条直线？经过5个点、6个点呢？ 点数（个） 2 3 4 5 6 直线数（条） 1 3 22．在同一张纸上有四个点，过这四个点，最少能画几条直线？最多能画几条直线？ 23．数一数，下面一共有多少条线段？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $