第二单元混合运算（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

该小学数学混合运算单元复习讲义通过结构化框架系统梳理知识体系，涵盖混合运算定义、同级与不同级运算规则、带小括号运算方法、书写规范及核心易错点，按运算类型分层呈现规则，突出运算顺序和括号作用等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于例题与练习设计的实用性，如“时钟敲钟问题”培养推理意识，“采摘圣女果应用题”强化应用意识，题型涵盖填空、选择、解答题等，分层练习满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生自主复习提升运算能力。

第二单元 混合运算（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、混合运算概述 1、混合运算定义 （1）一道算式中，含有两种及以上不同运算的算式，叫做混合运算算式。 （2）本册主要学习加减、乘除及带有小括号的两步混合运算。 二、同级混合运算规则 1、同级运算分类 （1）加减法为同一级运算。 （2）乘除法为同一级运算。 2、计算法则 （1）在没有括号的算式里，只有同级运算，从左往右依次计算。 三、不同级混合运算规则 1、运算优先级 （1）在没有括号的算式里，既有加减法，又有乘除法，先算乘除法，后算加减法。 2、运算顺序说明 ① 优先计算高级运算：乘法、除法。 ② 再计算低级运算：加法、减法。 四、带小括号的混合运算 1、小括号作用 （1）小括号可以改变算式原本的运算顺序。 2、计算法则 （1）有小括号的算式，必须先算括号里面的内容，再算括号外面的运算。 （2）括号内依旧遵循先乘除后加减、同级从左往右的规则。 五、混合运算书写规范 1、脱式计算要求 （1）两步及以上混合运算，需使用脱式计算，分步书写。 （2）未参与计算的数字和运算符号要原样照抄，不能遗漏。 六、核心易错知识点 1、顺序易错点 （1）无括号的两级运算，禁止从左往右盲目计算，必须先算乘除。 （2）有小括号的算式，禁止先算括号外运算。 2、书写易错点 ① 脱式计算步骤不跳跃，不直接写出最终结果。 ② 容易遗漏算式中未参与本轮计算的数字和符号。 一、例题讲解 【典例】 1．在15＋15×15－15这个算式中，加上括号使得数最大( )；加上括号使得数最小( )。（把加括号后的算式写在括号里） 【答案】 （15＋15）×15－15 （15＋15）×（15－15） 【分析】四则运算的运算顺序和积的大小规律： 要让结果最大：乘法会让数值快速变大，我们要尽量让相乘的两个数尽可能大。原来的算式里乘法部分原本是15×15，给前面的15＋15加上括号，就变成30×15，得到的乘积比原来大，最后再减15，最终的得数是最大的。 要让结果最小： 我们知道0和任何数相乘都得0，只要想办法让乘法的其中一个乘数变成0就可以得到最小的结果。给后面的15－15加上括号算出0，再让前面15＋15的结果和0相乘，最终得数就是0，是最小的。 【详解】（15＋15）×15－15 ＝30×15－15 ＝450－15 ＝435 （15＋15）×（15－15） ＝30×0 ＝0 在15＋15×15－15这个算式中，加上括号使得数最大（15＋15）×15－15；加上括号使得数最小（15＋15）×（15－15）。 【典例】 2．小明家里的时钟在下午3时敲了3下，6秒敲完。照这样计算，下午6时敲6下，需要( )秒敲完。 【答案】15 【分析】根据“时钟3时敲了3下，6秒钟敲完，”知道时钟敲了（3－1）个间隔用了6秒，由此求出一个间隔所用的时间；因为6时敲6下，即敲了（6－1）个间隔，再乘一个间隔所用的时间，就是敲6下所用的时间。 【详解】6÷（3－1）×（6－1） ＝6÷2×5 ＝3×5 ＝15（秒） 所以，需要15秒敲完。 【典例】 3．果蔬基地第一天采摘圣女果72箱，第二天采摘的箱数是第一天的2倍，第三天采摘的箱数比第二天少16箱。第三天采摘圣女果多少箱？ 【答案】128箱 【分析】第一天采摘圣女果72箱，第二天采摘的箱数是第一天的2倍，用72乘2即可先得出第二天的采摘箱数；再结合第三天与第二天的数量差，用减法求出第三天的采摘箱数。 【详解】72×2－16 ＝144－16 ＝128（箱） 答：第三天采摘圣女果128箱。 【典例】 4．“劳动最光荣。”为了让每个学生都参与到劳动中，学校为每个班分配了一块试验田，四年级的同学准备在试验田种植西红柿和青菜，杨老师买了3份青菜种子和几份西红柿种子，一共花了129元。杨老师买了多少份西红柿种子？ 【答案】9份 【分析】先用3乘7，算出3份青菜种子的总花费；再用129减去3份青菜种子的总花费，算出买西红柿种子花的总钱数；最后除以12，求出西红柿种子的份数；列式计算即可。 【详解】（129－3×7）÷12 ＝（129－21）÷12 ＝108÷12 ＝9（份） 答：杨老师买了9份西红柿种子。 提升练习 二、填空题 5．将56÷7＝8和4＋3＝7改写成一个综合算式是( )。 【答案】56÷（4＋3）＝8 【分析】观察发现算式56÷7＝8中的7是由算式4＋3＝7得来的，那么将7替换为4＋3即可，注意将4＋3用小括号括起来，据此解答。 【详解】56÷（4＋3） ＝56÷7 ＝8 所以将56÷7＝8和4＋3＝7改写成一个综合算式是56÷（4＋3）＝8。 6．有30名同学，已知每条小船坐6人，每条大船坐8人。要求每条船都坐满，选择( )条小船和( )条大船正好载完这30人。 【答案】 1 3 【分析】可以从大船的数量开始有序列举，保证总人数刚好30且每条船坐满。 【详解】若选0条大船：剩下30人全部坐小船，30÷6＝5（条），刚好坐满5条小船。 若选1条大船：坐8人后剩30－8＝22（人），22不是6的倍数，没法把小船坐满。 若选2条大船：坐16人后剩30－16＝14（人），14也不是6的倍数，没法把小船坐满。 若选3条大船：坐24人后剩30－24＝6人，6÷6＝1（条） 6×1＋8×3 ＝6＋24 ＝30（人） 刚好坐满1条小船。 4条大船能坐32人，超过总人数30，不用再算。 有30名同学，已知每条小船坐6人，每条大船坐8人。要求每条船都坐满，选择1条小船和3条大船（或者5条小船和0条大船）正好载完这30人。 7．一本86页的故事书，明明第一天看了18页，第二天看了23页，还剩( )页没看。 【答案】 45 【分析】先求出两天一共看了多少页，再用这本故事书的总页数减去两天看的页数，即可解答。 【详解】86－（18＋23） ＝86－41 ＝45（页） 即还剩45页没看。 8．4乘25与5的差，积是( )。 【答案】80 【分析】首先明确题目最终求的是积，确定最后一步是乘法运算。 因为运算顺序要求先算减法，所以要先计算25与5的差，得到其中一个乘数。 用4乘上述得到的差，即可得到最终的积。 【详解】4×（25－5） ＝4×20 ＝80 所以积是80。 9．30－26＝4，8÷4＝2改写成综合算式是( )。 【答案】 【分析】我们要先算减法30－26＝4，再用8除以这个减法得到的差得到结果2。如果直接写成8÷30－26，会先算除法，再算减法，不符合计算顺序，所以需要给减法部分加上小括号，列出综合算式即可。 【详解】8÷（30－26） ＝8÷4 ＝2 30－26＝4，8÷4＝2改写成综合算式是8÷（30－26）＝2。 10．洋洋在计算“28＋△÷7”时弄错运算顺序，计算结果是9，那么正确的得数是( )。 【答案】33 【分析】根据题意，洋洋在计算“28＋△÷7”时弄错了计算顺序，先算了加法后算了除法，结果得数是9，即（28＋△）÷7＝9。可以先用9乘7算出28＋△的值，接着用得数减去28算出△的值。最后将△的值代入算式28＋△÷7即可算出正确的得数。 【详解】（28＋△）÷7＝9 7×9＝63 28＋△＝63 63－28＝35，即△＝35。 28＋△÷7 ＝28＋35÷7 ＝28＋5 ＝33 正确的得数是33。 11．钢笔有36支，铅笔有5支。要使钢笔的支数是铅笔的4倍，如果钢笔的支数不变，需要再增加( )支铅笔。 【答案】 4 【分析】已知钢笔有36支且数量不变，要使钢笔支数是铅笔的4倍，即铅笔支数的4倍是36。根据除法的意义，用钢笔支数除以4求出此时铅笔应有的支数，再减去原来铅笔的支数，即为需要增加的支数。 【详解】 （支） 12．小华在计算“3＋□×2”时弄错了运算顺序，他先算加法再算乘法了，结果得数是16，正确的得数是( )。 【答案】13 【分析】先乘除后加减，但小华先算了加法，再算乘法，错误的算式就变成了（3＋□）×2＝16，根据错误的算式一步步倒推，先用16除以2求出括号里的和，再用减法算出□代表的数，最后将□代表的数代入正确的算式，先算乘法再算加法求出正确的得数。 【详解】16÷2＝8 8－3＝5 所以□＝5 3＋□×2＝3＋5×2 3＋5×2 ＝3＋10 ＝13 因此，小华在计算“3＋□×2”时弄错了运算顺序，他先算加法再算乘法了，结果得数是16，正确的得数是13。 三、选择题 13．下面算式中，先算减法的是（    ）。 A．36＋14－20 B．2×（40－5） C．80－4×4 D．600÷3－200 【答案】B 【分析】整数四则混合运算规则：只有同级运算时从左到右依次计算；同时有乘除法和加减法时先算乘除法再算加减法；有小括号时先算小括号内的运算，再算小括号外的运算。 【详解】A．先算加法，再算减法，不符合题意； B．先算小括号内的减法，再算乘法，符合题意； C．先算乘法，再算减法，不符合题意； D．先算除法，再算减法，不符合题意。 14．“（    ）”是17世纪荷兰数学家吉拉特首先使用的。在这之前，曾经有人用括线“——”表示算式中先算的部分。算式“”的运算顺序是什么？（    ） A．先算减法，再算加法，最后算乘法 B．先算乘法，再算加法，最后算减法 C．先算加法，再算乘法，最后算减法 D．先算乘法，再算减法，最后算加法 【答案】C 【分析】括线和小括号作用相同，先计算括线下的运算，再按照先乘除后加减的规则计算剩余部分。 【详解】根据题意，括线的作用与括号相同，将括线用括号代替，算式变为：429－（29＋15）×6 运算顺序为先算加法，再算乘法，最后算减法。 15．黄老师请同学们为数学信息“买3支彩笔共需要12元”补充问题，下面这些问题能用12÷3×8解决的是（    ）。 A．每支这样的彩笔多少钱 B．买12支这样的彩笔多少钱 C．买8支这样的彩笔多少钱 D．8支这样的彩笔比3支贵多少钱 【答案】C 【分析】根据已知信息可知，12÷3表示的是每支彩笔的价钱，再乘8得到的是8支彩笔的总价钱，因此该表达式解决的是买8支彩笔的总价问题。以此选择即可。 【详解】根据分析可知： 12÷3×8 ＝4×8 ＝32（元） 黄老师请同学们为数学信息“买3支彩笔共需要12元”补充问题，下面这些问题能用12÷3×8解决的是买8支这样的彩笔多少钱。 16．把56＋16＝72和72÷8＝9合并成一个综合算式是（    ）。 A．（56＋16）÷9 B．56＋16÷8 C．（56＋16）÷8 D．56÷（16－8） 【答案】C 【分析】除法算式中的被除数72是加法算式的和，要先算加法，需要给加法加上小括号，再用得到的和除以8。 【详解】 17．王叔叔买了6箱苹果，______王叔叔一共买了多少箱水果？请你根据算式（箱），选择合适的数学信息是（    ）。 A．苹果比梨子多3箱 B．梨子比苹果多3箱 C．买的梨子的箱数是苹果的3倍 D．买的苹果的箱数是梨子的3倍 【答案】C 【分析】已知王叔叔买了6箱苹果，算式里的6×3算出的是另一种水果（梨子）的箱数，也就是梨子数量是苹果的3倍，再加上原本的6箱苹果，就得到水果的总箱数，再逐个看选项。 【详解】A．苹果比梨多3箱，总箱数是：6－3＋6＝9（箱），不符合题意； B．梨比苹果多3箱，总箱数是6＋3＋6＝15（箱），不符合题意； C．梨子数量是苹果的3倍，即梨子的箱数是6×3＝18（箱），再加上原本的6箱苹果， 即6×3＋6 ＝18＋6 ＝24（箱），符合题意； D．苹果是梨的3倍，总箱数是： 6÷3＋6 ＝2＋6 ＝8（箱） 不符合题意。 四、判断题 18．在没有括号的算式里，我们都是从左往右进行计算。( ) 【答案】× 【分析】在没有括号的算式里，只有加减或者只有乘除，才从左往右依次计算；但如果既有乘除又有加减，要先算乘除、后算加减。 【详解】在没有括号的算式里，不是全都从左往右算。 原题说法错误。 故答案为：× 19．35＋36－20与56－（30＋8）都是先算加法。( ) 【答案】√ 【分析】整数四则混合运算法则：同级运算时，从左到右依次计算；有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 【详解】35＋36－20是加减同级运算，按从左到右顺序，先算加法；56－（30＋8）有小括号，先算括号内的加法。原题说法正确。 故答案为：√ 20．120－60×2＋8与（120－60）×（2＋8）的运算顺序不同，但结果相等。( ) 【答案】× 【分析】四则运算规则：没有括号时先算乘除后算加减，有括号时先算括号内的运算，两个式子运算顺序不同，计算结果也不同。计算两道算式结果后比较。 【详解】先算乘法，再从左往右依次计算 先算小括号里减法与加法，最后算乘法 ，两个式子结果不相等，原题说法错误。 故答案为：× 21．要使4×（□＋3）＝36，□里应填6。( ) 【答案】√ 【分析】把小括号内的部分看作一个整体，先根据乘法各部分的关系（积除以一个因数等于另一个因数）求出整体的值，再根据和减去一个加数等于另一个加数算出方框里的数，和题干给出的数对比即可判断。 【详解】 计算得出里应填6，与题干说法一致，原题说法正确。 故答案为：√。 22．算式（72－4）×6÷3去掉括号后结果不改变。( ) 【答案】× 【分析】分别计算去掉括号前后两个算式的结果，对比是否相等即可判断。 【详解】 ，两个结果不相等。题目说法错误。 故答案为：× 五、计算题 23．列竖式计算。 453＋87＋113＝             334＋（266－197）＝               900－478－89＝ 【答案】653；403；333 【分析】在加减法混合运算中，有括号的要先算括号里面，再算括号外面；没有括号的按照从左往右的顺序依次进行计算。 整数加法竖式计算：相同数位对齐，从个位开始逐位相加，满十就向前一位进1，最终合并各位结果得到和。 整数减法竖式计算：相同数位对齐，从个位开始逐位相减，不够减就向前一位借1当10，最终合并各位结果得到差。 【详解】453＋87＋113＝653 334＋（266－197）＝403 900－478－89＝333                                        六、解答题 24．王博士做了一个实验，他在一个容器里放了215个细菌。因为白天有日照，容器里的细菌会减少65个；夜间容器里的细菌会增加40个。照这样计算，到第几个白天，容器里的细菌全部死亡？ 【答案】7个 【分析】白天减少65个，夜间增加40个，相当于一昼夜减少25个，当细菌数量小于等于65个时，只需要一个白天就可以了。从总数中减去最后一天减少的65个，用剩下的细菌数除以每天减少的细菌数，可算得除最后一天的天数，最后加1可算得一共的天数。 【详解】最后一个白天减少65个细菌，之前减少细菌总数： （个） 每天减少细菌数： （个） 最后一天之前用的天数： （天） 一共天数： （天） 即第7个白天，容器里的细菌全部死亡。 答：到第7个白天，容器里的细菌全部死亡。 25．超市搞促销活动，一个面包和一瓶牛奶组成套餐出售。一瓶牛奶5元，一个面包4元。小明用81元可以买多少份这样的套餐？ 【答案】9份 【分析】先用一瓶牛奶的钱数＋一个面包的钱数求出一份套餐的钱数，再求81元能买几份这样的套餐，即81里面有几个套餐的钱数，用除法计算。 【详解】81÷（5＋4） ＝81÷9 ＝9（份） 答：小明用81元可以买9份这样的套餐。 26．张奶奶家原来有17只兔子，又买来了10只。将这些兔子平均放入9个笼子里，每个笼子里放几只？ 【答案】 只 【分析】先求出兔子的总只数，再用总只数除以笼子的数量，即可得到每个笼子放的兔子只数。 【详解】 ＝279 （只） 答：每个笼子里放只。 27．王叔叔在中山路买了马蹄酥10盒，买板栗饼比买马蹄酥多4盒。如果把这些馅饼每6盒装入一个礼品袋，这些馅饼能装多少袋？ 【答案】4袋 【分析】先求板栗饼的盒数，再求两种馅饼的总盒数，最后用总盒数除以每袋装的盒数得到袋数。 【详解】（10＋4＋10）÷6 ＝24÷6 ＝4（袋） 答：这些馅饼能装4袋。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、混合运算概述 1、混合运算定义 （1）一道算式中，含有两种及以上不同运算的算式，叫做混合运算算式。 （2）本册主要学习加减、乘除及带有小括号的两步混合运算。 二、同级混合运算规则 1、同级运算分类 （1）加减法为同一级运算。 （2）乘除法为同一级运算。 2、计算法则 （1）在没有括号的算式里，只有同级运算，从左往右依次计算。 三、不同级混合运算规则 1、运算优先级 （1）在没有括号的算式里，既有加减法，又有乘除法，先算乘除法，后算加减法。 2、运算顺序说明 ① 优先计算高级运算：乘法、除法。 ② 再计算低级运算：加法、减法。 四、带小括号的混合运算 1、小括号作用 （1）小括号可以改变算式原本的运算顺序。 2、计算法则 （1）有小括号的算式，必须先算括号里面的内容，再算括号外面的运算。 （2）括号内依旧遵循先乘除后加减、同级从左往右的规则。 五、混合运算书写规范 1、脱式计算要求 （1）两步及以上混合运算，需使用脱式计算，分步书写。 （2）未参与计算的数字和运算符号要原样照抄，不能遗漏。 六、核心易错知识点 1、顺序易错点 （1）无括号的两级运算，禁止从左往右盲目计算，必须先算乘除。 （2）有小括号的算式，禁止先算括号外运算。 2、书写易错点 ① 脱式计算步骤不跳跃，不直接写出最终结果。 ② 容易遗漏算式中未参与本轮计算的数字和符号。 一、例题讲解 【典例】 1．在15＋15×15－15这个算式中，加上括号使得数最大( )；加上括号使得数最小( )。（把加括号后的算式写在括号里） 【典例】 2．小明家里的时钟在下午3时敲了3下，6秒敲完。照这样计算，下午6时敲6下，需要( )秒敲完。 【典例】 3．果蔬基地第一天采摘圣女果72箱，第二天采摘的箱数是第一天的2倍，第三天采摘的箱数比第二天少16箱。第三天采摘圣女果多少箱？ 【典例】 4．“劳动最光荣。”为了让每个学生都参与到劳动中，学校为每个班分配了一块试验田，四年级的同学准备在试验田种植西红柿和青菜，杨老师买了3份青菜种子和几份西红柿种子，一共花了129元。杨老师买了多少份西红柿种子？ 提升练习 二、填空题 5．将56÷7＝8和4＋3＝7改写成一个综合算式是( )。 6．有30名同学，已知每条小船坐6人，每条大船坐8人。要求每条船都坐满，选择( )条小船和( )条大船正好载完这30人。 7．一本86页的故事书，明明第一天看了18页，第二天看了23页，还剩( )页没看。 8．4乘25与5的差，积是( )。 9．30－26＝4，8÷4＝2改写成综合算式是( )。 10．洋洋在计算“28＋△÷7”时弄错运算顺序，计算结果是9，那么正确的得数是( )。 11．钢笔有36支，铅笔有5支。要使钢笔的支数是铅笔的4倍，如果钢笔的支数不变，需要再增加( )支铅笔。 12．小华在计算“3＋□×2”时弄错了运算顺序，他先算加法再算乘法了，结果得数是16，正确的得数是( )。 三、选择题 13．下面算式中，先算减法的是（    ）。 A．36＋14－20 B．2×（40－5） C．80－4×4 D．600÷3－200 14．“（    ）”是17世纪荷兰数学家吉拉特首先使用的。在这之前，曾经有人用括线“——”表示算式中先算的部分。算式“”的运算顺序是什么？（    ） A．先算减法，再算加法，最后算乘法 B．先算乘法，再算加法，最后算减法 C．先算加法，再算乘法，最后算减法 D．先算乘法，再算减法，最后算加法 15．黄老师请同学们为数学信息“买3支彩笔共需要12元”补充问题，下面这些问题能用12÷3×8解决的是（    ）。 A．每支这样的彩笔多少钱 B．买12支这样的彩笔多少钱 C．买8支这样的彩笔多少钱 D．8支这样的彩笔比3支贵多少钱 16．把56＋16＝72和72÷8＝9合并成一个综合算式是（    ）。 A．（56＋16）÷9 B．56＋16÷8 C．（56＋16）÷8 D．56÷（16－8） 17．王叔叔买了6箱苹果，______王叔叔一共买了多少箱水果？请你根据算式（箱），选择合适的数学信息是（    ）。 A．苹果比梨子多3箱 B．梨子比苹果多3箱 C．买的梨子的箱数是苹果的3倍 D．买的苹果的箱数是梨子的3倍 四、判断题 18．在没有括号的算式里，我们都是从左往右进行计算。( ) 19．35＋36－20与56－（30＋8）都是先算加法。( ) 20．120－60×2＋8与（120－60）×（2＋8）的运算顺序不同，但结果相等。( ) 21．要使4×（□＋3）＝36，□里应填6。( ) 22．算式（72－4）×6÷3去掉括号后结果不改变。( ) 五、计算题 23．列竖式计算。 453＋87＋113＝             334＋（266－197）＝               900－478－89＝ 六、解答题 24．王博士做了一个实验，他在一个容器里放了215个细菌。因为白天有日照，容器里的细菌会减少65个；夜间容器里的细菌会增加40个。照这样计算，到第几个白天，容器里的细菌全部死亡？ 25．超市搞促销活动，一个面包和一瓶牛奶组成套餐出售。一瓶牛奶5元，一个面包4元。小明用81元可以买多少份这样的套餐？ 26．张奶奶家原来有17只兔子，又买来了10只。将这些兔子平均放入9个笼子里，每个笼子里放几只？ 27．王叔叔在中山路买了马蹄酥10盒，买板栗饼比买马蹄酥多4盒。如果把这些馅饼每6盒装入一个礼品袋，这些馅饼能装多少袋？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $