第五单元平行四边形和梯形（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

该小学数学单元复习讲义通过层级梳理构建知识体系，从平行线与垂线的认识入手，系统呈现平行四边形、梯形的定义特征及高与底的概念，用框架图明晰四边形间的包含关系，重点标注易错点如“平行四边形非梯形”“高有无数条”，形成完整知识脉络。 讲义亮点在于例题与分层练习结合，如典例2“梯形分割为平行四边形和三角形”培养几何直观，解答题26种植田篱笆问题联系实际发展应用意识，易错点辨析题强化推理意识。基础题巩固概念，提升题拓展思维，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

第五单元 平行四边形和梯形（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、平行线与垂线的认识 1、平行的含义 （1）在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。 （2）两条平行线之间的距离处处相等。 2、垂直的含义 （1）两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 （2）其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 3、核心性质 ① 同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种。 ② 从直线外一点到这条直线，垂线段最短。 二、平行四边形的认识 1、定义 （1）两组对边分别互相平行的四边形，叫做平行四边形。 2、基本特征 （1）对边互相平行，对边长度相等。 （2）对角大小相等，邻角之和为180度。 （3）平行四边形具有不稳定性，容易变形。 3、高与底的认识 （1）从平行四边形一条边上的一点向对边引垂线，垂线段是高，对边是底。 （2）平行四边形有无数条高，同一底上的高长度都相等。 三、梯形的认识 1、定义 （1）只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 2、各部分名称 （1）梯形互相平行的一组对边，分别叫做上底和下底。 （2）不平行的一组对边叫做梯形的腰。 （3）从上底到下底的垂线段，叫做梯形的高。 3、梯形分类 ① 等腰梯形：两腰长度相等的梯形，两底角相等。 ② 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 4、梯形高的特点 （1）梯形有无数条高，所有高的长度都相等。 四、四边形之间的关系 1、通用关系 （1）长方形、正方形属于特殊的平行四边形。 （2）正方形是特殊的长方形。 2、区分要点 ① 平行四边形：两组对边分别平行。 ② 梯形：只有一组对边平行。 五、易错知识点 1、概念易错 （1）平行四边形不是梯形，二者定义互不包含。 （2）平行四边形、梯形的高有无数条，不是只有一条。 2、特征易错 ① 平行四边形易变形，三角形具有稳定性。 ② 梯形的高垂直于上下底，不垂直于腰。 一、例题讲解 【典例】 1．一个平行四边形的周长是30厘米，其中一条边长是9厘米，那么它相邻的另一条边长是( )厘米。 【典例】 2．一个等腰梯形的上底是6cm，下底是12cm，一条腰长8cm，它的周长是( )cm。如果在梯形中画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形，这个三角形的周长是( )cm。 【典例】 3．每年的11月15日是城市公共安全日，学校做了一块等腰梯形的宣传牌，它的上底长70厘米，下底长40厘米，一条腰长45厘米。这块宣传牌的周长是多少米？ 【典例】 4．一个平行四边形花坛的周长是42米，其中一条边长8米，与它相邻的一条边长是多少米？ 提升练习 二、填空题 5．一个等腰梯形的周长是46厘米，上底是8厘米，下底是10厘米。腰长是( )厘米。 6．如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC＝20cm，CD＝16cm，那么点A到线段BC的距离是( )cm，点C到线段AB的距离是( )cm，A、B两点之间的距离是( )cm。 7．如图所示，如果点O到线段BC的距离是6厘米，则正方形ABCD的边长为( )厘米，面积为( )平方厘米。 8．两条平行线之间的距离是5厘米，在这两条平行线之间画一条垂直线段（端点分别在平行线上），这条垂直线段长( )厘米。 9．如果直线a与直线b都与直线c平行，那么直线a与直线b( )，记作( )，读作( )。 10．长方形内，互相垂直的线段有( )组，互相平行的线段有( )组。 11．一块平行四边形稻田的周长是142米，一边的长为28米，与它相邻的一条边长度是( )米。 12．正方形的四条边都( )，有( ) 个直角，它是一个特殊的( )。 三、选择题 13．小乐在如图的梯形上剪了一刀，剪了一个平行四边形，另一个可能是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形或梯形 14．正方形的一个顶点到对边的距离是3厘米。这个正方形的面积是多少？（    ） A． B． C． D． 15．当用直尺测量到一条（    ）长15厘米。 A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线 16．同一平面内，两条直线都平行于第三条直线，这两条直线（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交不垂直 D．无法判断 17．下列四句话中，说法正确的有（    ）句。 *两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直； *同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直； *在一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； *平行线之间的距离就是它们之间线段的长度。 A．1 B．2 C．3 D．4 四、判断题 18．梯形可以看成是特殊的平行四边形。( ) 19．两条平行的直线长都是6厘米。( ) 20．a，b，c是同一纸面上的三条直线，如果，，那么。( ) 21．平行四边形和梯形都能分成两个完全一样的三角形。( ) 22．在同一个平面内，只可以画一条直线与已知直线平行。( ) 五、作图题 23．某工厂的机器人要从点A处走到点P处搬起货物，再将货物放在置物架上，怎样走路线最短？画图表示。 六、解答题 24．下图是由五个相同的等腰梯形组成的图案。你能根据题中的信息，求出等腰梯形每个角的度数吗？ 25．连接正五边形的各个顶点，在五边形内形成了一个五角星，数一数，这个图形内有多少个三角形？ 26．四（1）班分到了一块等腰梯形的种植田，这块种植田的上底长7米，下底长15米，一条腰长10米。 (1)同学们想用篱笆将这块种植田围起来，最少需要多少米长的篱笆？ (2)如果这块种植田正好一面靠墙，那么哪面靠墙用的篱笆最少？最少需要多少米长的篱笆？ 27．已知，下图中有哪些梯形？把它们写出来。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 平行四边形和梯形（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、平行线与垂线的认识 1、平行的含义 （1）在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。 （2）两条平行线之间的距离处处相等。 2、垂直的含义 （1）两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 （2）其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 3、核心性质 ① 同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种。 ② 从直线外一点到这条直线，垂线段最短。 二、平行四边形的认识 1、定义 （1）两组对边分别互相平行的四边形，叫做平行四边形。 2、基本特征 （1）对边互相平行，对边长度相等。 （2）对角大小相等，邻角之和为180度。 （3）平行四边形具有不稳定性，容易变形。 3、高与底的认识 （1）从平行四边形一条边上的一点向对边引垂线，垂线段是高，对边是底。 （2）平行四边形有无数条高，同一底上的高长度都相等。 三、梯形的认识 1、定义 （1）只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。 2、各部分名称 （1）梯形互相平行的一组对边，分别叫做上底和下底。 （2）不平行的一组对边叫做梯形的腰。 （3）从上底到下底的垂线段，叫做梯形的高。 3、梯形分类 ① 等腰梯形：两腰长度相等的梯形，两底角相等。 ② 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 4、梯形高的特点 （1）梯形有无数条高，所有高的长度都相等。 四、四边形之间的关系 1、通用关系 （1）长方形、正方形属于特殊的平行四边形。 （2）正方形是特殊的长方形。 2、区分要点 ① 平行四边形：两组对边分别平行。 ② 梯形：只有一组对边平行。 五、易错知识点 1、概念易错 （1）平行四边形不是梯形，二者定义互不包含。 （2）平行四边形、梯形的高有无数条，不是只有一条。 2、特征易错 ① 平行四边形易变形，三角形具有稳定性。 ② 梯形的高垂直于上下底，不垂直于腰。 一、例题讲解 【典例】 1．一个平行四边形的周长是30厘米，其中一条边长是9厘米，那么它相邻的另一条边长是( )厘米。 【答案】6 【分析】平行四边形的对边相等，周长是四条边长的总和，也就是相邻两条边长度和的2倍。已知周长和一条边长，用周长除以2求出相邻两条边的长度和，再减去已知边长即可。 【详解】30÷2－9 ＝15－9 ＝6（厘米） 【典例】 2．一个等腰梯形的上底是6cm，下底是12cm，一条腰长8cm，它的周长是( )cm。如果在梯形中画一条线段，把它分成一个平行四边形和一个三角形，这个三角形的周长是( )cm。 【答案】 34 22 【分析】因为等腰梯形周长等于上底＋下底＋两条腰的长度，且两条腰长度相等，所以将已知的上底、下底、腰长代入公式求和即可。如果过上底的一个端点作腰的平行线，即可将梯形分为平行四边形和三角形，那么平行四边形对边相等，可据此推出三角形的三条边长度分别为梯形的腰、腰，以及下底与上底的差。将得到的三角形三条边长度相加即可。 【详解】等腰梯形的两条腰长度相等，周长是四条边长度的和，把四条边长度相加： 6＋12＋8＋8＝34（cm） 要分出平行四边形和三角形，线段的一端要在上底的一个端点，另一端画到下底上，平行四边形的对边相等，所以下底上属于平行四边形的部分长度等于上底的6cm，剩下的三角形的底长就是12－6＝6cm，三角形的另外两条边刚好是梯形的腰，长度都是8cm，把三条边相加： 6＋8＋8＝22（cm） 因此等腰梯形的周长是34cm，三角形的周长是22cm。 【典例】 3．每年的11月15日是城市公共安全日，学校做了一块等腰梯形的宣传牌，它的上底长70厘米，下底长40厘米，一条腰长45厘米。这块宣传牌的周长是多少米？ 【答案】 2米 【分析】等腰梯形的两条腰长度相等，等腰梯形周长的计算方法：周长＝上底长＋下底长＋2×腰长。 【详解】70＋40＋45×2 ＝70＋40＋90 ＝200（厘米） 200厘米＝2米 答：这块宣传牌的周长是2米。 【典例】 4．一个平行四边形花坛的周长是42米，其中一条边长8米，与它相邻的一条边长是多少米？ 【答案】13米 【分析】平行四边形对边相等，周长是相邻两条边长度和的2倍，用周长除以2再减去已知边长，即可求出相邻边的长度。 【详解】42÷2－8 ＝21－8 ＝13（米） 答：与它相邻的一条边长是13米。 提升练习 二、填空题 5．一个等腰梯形的周长是46厘米，上底是8厘米，下底是10厘米。腰长是( )厘米。 【答案】 14 【分析】等腰梯形两条腰长度相等。梯形周长＝上底＋下底＋两条腰长。先用周长减去上底、下底，算出两条腰的总长度，再除以2就得到一条腰的长度。 【详解】46－8－10 ＝38－10 ＝28（厘米） 28÷2＝14（厘米） 6．如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC＝20cm，CD＝16cm，那么点A到线段BC的距离是( )cm，点C到线段AB的距离是( )cm，A、B两点之间的距离是( )cm。 【答案】 12 20 15 【分析】点到线段的距离是指从点向线段作垂直线段的长度。图里AD垂直于BC，题目直接给出AD＝12cm，所以这个距离就是12cm。 点C到线段AB的距离：图里∠BAC有直角标记，说明AC和AB互相垂直，从C点向AB作垂线，这条垂线段就是AC本身，题目给出AC＝20cm，所以这个距离是20cm。 A、B两点之间的距离：两点之间的距离就是连接两点的线段的长度，题干直接给出AB＝15cm，所以A、B两点距离是15cm。 【详解】如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC＝20cm，CD＝16cm，那么点A到线段BC的距离是12cm，点C到线段AB的距离是20cm，A、B两点之间的距离是15cm。 7．如图所示，如果点O到线段BC的距离是6厘米，则正方形ABCD的边长为( )厘米，面积为( )平方厘米。 【答案】 12 144 【分析】（1）点O是正方形对角线的交点，正方形对角线互相平分且交点为正方形的中心，所以点O到BC边的距离是正方形边长的一半，题干已知的点O到BC的距离是厘米，可以求出正方形的边长； （2）利用正方形面积公式（为正方形的边长），代入求出的边长，计算出正方形的面积。 【详解】（1）（厘米） 正方形的边长是厘米。 （2）（平方厘米） 正方形的面积是平方厘米。 8．两条平行线之间的距离是5厘米，在这两条平行线之间画一条垂直线段（端点分别在平行线上），这条垂直线段长( )厘米。 【答案】5 【分析】根据题意，两条平行线之间的距离的定义就是两条平行线之间垂直线段的长度，而题目中已经说明两条平行线间距是5厘米，所以垂直线段的长度就等于平行线之间的距离，也就是5厘米。 【详解】根据分析可得： 所以这条垂直线段长5厘米。 9．如果直线a与直线b都与直线c平行，那么直线a与直线b( )，记作( )，读作( )。 【答案】 互相平行 a∥b a平行于b 【分析】平行的基本性质：如果两条直线都和同一条直线平行，那这两条直线也互相平行。我们用符号“∥”表示平行。 【详解】根据平行的基本性质，a和b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。 10．长方形内，互相垂直的线段有( )组，互相平行的线段有( )组。 【答案】 4 2 【分析】长方形的定义，长长方方的，有四条直直的边和四个角，四个角都是直角，对边互相平行。据此判断互相垂直和互相平行的线段组数。 【详解】长方形的四个角都是直角，意味着相邻的两条边互相垂直，长方形有4个角，每个角对应一组互相垂直的相邻边，所以互相垂直的线段有4组。 长方形的对边互相平行，长方形有2组对边，所以互相平行的线段有2组。 11．一块平行四边形稻田的周长是142米，一边的长为28米，与它相邻的一条边长度是( )米。 【答案】43 【分析】平行四边形的对边相等，平行四边形的周长除以2等于相邻两边的长度和，减去一条边的长度，即等于另一条边的长度，据此即可解答。 【详解】142÷2－28 ＝71－28 ＝43（米） 与它相邻的一条边长度是43米。 12．正方形的四条边都( )，有( ) 个直角，它是一个特殊的( )。 【答案】 相等 4 长方形 【分析】由正方形的特征及性质可知，正方形的四条边都相等，4个角都是直角，正方形是特殊的长方形，因为正方形满足长方形的定义，且4条边都相等。 【详解】正方形的四条边都相等，有4个直角，它是一个特殊的长方形。 三、选择题 13．小乐在如图的梯形上剪了一刀，剪了一个平行四边形，另一个可能是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形或梯形 【答案】D 【分析】梯形有一组对边平行，我们在梯形上剪一刀，分出一个平行四边形。 如果从梯形一个顶点，沿着平行于梯形腰的方向剪开，剩下的就是三角形；如果不从顶点开始剪，沿着平行于腰的直线剪开，剩下的就是梯形。 【详解】根据分析可知： 在梯形上剪了一刀，剪了一个平行四边形，另一个可能是三角形或梯形。 14．正方形的一个顶点到对边的距离是3厘米。这个正方形的面积是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形的顶点到对边的垂线段长度就是正方形的边长，正方形面积＝边长×边长。 【详解】正方形边长是3厘米。 3×3＝9（平方厘米） 15．当用直尺测量到一条（    ）长15厘米。 A．直线 B．射线 C．线段 D．垂线 【答案】C 【分析】线段有2个端点，可以测量长度；直线没有端点，不能测量长度；射线只有1个端点，不能测量长度。 【详解】A．直线没有端点，长度无限，无法测量具体长度； B．射线只有1个端点，长度无限，无法测量具体长度； C．线段有2个端点，长度有限，可以测量出确定的长度； D．垂线是描述两条直线互相垂直的位置关系，不是独立的、可测量长度的线。 当用直尺测量到一条线段长15厘米。 16．同一平面内，两条直线都平行于第三条直线，这两条直线（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．相交不垂直 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据平行的性质：在同一平面内，两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线一定互相平行；据此解答。 【详解】如图所示： 直线b和直线c都和直线a平行，则b和c互相平行， 即同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此题中的两条直线互相平行。 17．下列四句话中，说法正确的有（    ）句。 *两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直； *同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直； *在一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； *平行线之间的距离就是它们之间线段的长度。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，交点叫做垂足； 同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直（点可以在直线上、也可以在直线外）。 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；如果点在直线上，不能画出这条直线的平行线。 在两条平行线之间，垂直于两条平行线的线段最短，这条垂直线段的长度叫做两条平行线之间的距离 。 逐一判断四个说法的正误，统计正确的个数即可得到答案。 【详解】两条直线相交时对顶角天然相等，只有相交形成的角是直角时两条直线才互相垂直，第一个说法错误； 同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，第二个说法正确； 只有过直线外一点才能画出已知直线的平行线，若点在已知直线上则无法画出，第三个说法错误； 平行线之间的距离是两条平行线之间垂线段的长度，不是任意线段的长度，第四个说法错误。 综上，正确的说法只有1句。 四、判断题 18．梯形可以看成是特殊的平行四边形。( ) 【答案】 × 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，梯形只有一组对边平行，不符合平行四边形的特征。 【详解】平行四边形的两组对边分别平行，梯形仅一组对边平行，不满足平行四边形的定义。 故答案为：× 19．两条平行的直线长都是6厘米。( ) 【答案】× 【分析】直线没有端点，可向两端无限延伸，无法测量长度，据此判断即可。 【详解】直线没有端点，无限长，不能量出具体的长度，不存在长度为6厘米的直线，原题说法错误。 故答案为：× 20．a，b，c是同一纸面上的三条直线，如果，，那么。( ) 【答案】× 【分析】同一平面内，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条，可判断b和c是垂直关系，不是平行关系。 【详解】已知三条直线在同一平面内，，，则，与题目给出的不符。原题说法错误。 故答案为：× 21．平行四边形和梯形都能分成两个完全一样的三角形。( ) 【答案】× 【分析】 如图所示： 平行四边形沿对角线可以分成两个完全一样的三角形，但梯形只有一组对边平行，无法分成两个完全一样的三角形。 【详解】平行四边形画任意一条对角线，可得到两个完全一样的三角形。梯形只有一组对边平行，无论怎样分割，都不能得到两个完全一样的三角形。所以原题说法错误。 故答案为：× 22．在同一个平面内，只可以画一条直线与已知直线平行。( ) 【答案】× 【分析】在同一个平面内，对于一条已知直线，可以画出无数条直线与其平行。由此可做出判断。 【详解】根据平行线的定义和性质，在同一个平面内，一条直线有无数条平行线。例如，已知直线为水平线，则所有水平线都与其平行，可以画出多条。 故答案为：× 五、作图题 23．某工厂的机器人要从点A处走到点P处搬起货物，再将货物放在置物架上，怎样走路线最短？画图表示。 【答案】 【分析】两点之间线段最短，从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。所以先过点P向代表置物架的直线作垂线段，再连接A与P，所得折线即为最短路线。画垂线时，三角板的一条直角边与直线重合，沿直线平移，使另一条直角边过那个点，沿另一条直角边作出一条线段就是它的垂线，并标上垂直标记。 【详解】略 六、解答题 24．下图是由五个相同的等腰梯形组成的图案。你能根据题中的信息，求出等腰梯形每个角的度数吗？ 【答案】126°、54°、126°、54° 【分析】明确周角是360°，等腰梯形两个钝角的度数为360°－108°＝252°，等腰梯形每个钝角的度数为252°÷2＝126°，等腰梯形每个锐角的度数为（360°－252°）÷2＝108°÷2＝54°。以此答题即可。 【详解】360°－108°＝252° 252°÷2＝126° （360°－252°）÷2 ＝108°÷2 ＝54° 答：梯形中四个角的度数分别为126°、54°、126°、54°。 25．连接正五边形的各个顶点，在五边形内形成了一个五角星，数一数，这个图形内有多少个三角形？ 【答案】35个 【分析】正五边形内的五角星有5个尖角，每个尖角是1个独立的最小三角形，共有5个三角形；相邻线条拼接，包含2个基础小区域的三角形，这类三角形一共有10个；再数由3个基础小区域拼接成的三角形，这类三角形也有10个；最后数覆盖范围更大、由更多区域组合得到的大三角形，这类三角形同样有10个，将各类三角形的数量相加，即可解答。 【详解】5＋10＋10＋10 ＝15＋10＋10 ＝25＋10 ＝35（个） 答：这个图形内有35个三角形。 26．四（1）班分到了一块等腰梯形的种植田，这块种植田的上底长7米，下底长15米，一条腰长10米。 (1)同学们想用篱笆将这块种植田围起来，最少需要多少米长的篱笆？ (2)如果这块种植田正好一面靠墙，那么哪面靠墙用的篱笆最少？最少需要多少米长的篱笆？ 【答案】(1)42米 (2)下底靠墙用的篱笆最少；27米 【分析】（1）因为篱笆长度是等腰梯形种植田的周长，且等腰梯形的两条腰长度相等，所以先明确等腰梯形周长公式为上底＋下底＋腰长×2，代入对应数值计算即可。 （2）分别计算上底、下底、腰靠墙时的周长再排序，找到最少的篱笆长度。 【详解】（1）7＋15＋10×2 ＝7＋15＋20 ＝42（米） 答：最少需要42米长的篱笆。 （2）上底靠墙： 15＋10×2 ＝15＋20 ＝35（米） 下底靠墙： 7＋10×2 ＝7＋20 ＝27（米） 腰靠墙：7＋15＋10＝32（米）   27＜32＜35 答：下底靠墙用的篱笆最少，最少需要27米长的篱笆。 27．已知，下图中有哪些梯形？把它们写出来。 【答案】梯形ABFE；梯形BCGF；梯形CDHG；梯形ACGE；梯形BDHF；梯形ADHE 【分析】梯形的定义：只有一组对边互相平行的四边形是梯形。已知直线a和b平行，所以只要选出四个顶点组成的四边形，让其中一组对边分别在a、b上，且另外一组对边不平行，就符合梯形的要求。 【详解】答：梯形有梯形ABFE；梯形BCGF；梯形CDHG；梯形ACGE；梯形BDHF；梯形ADHE。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $