第二单元角的度量（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

该小学数学“角的度量”单元复习讲义通过系统梳理构建完整知识体系，从角的基础认识、度量工具与单位、量角器使用方法，到角的分类、画角方法及核心易错知识点，形成递进式知识脉络。讲义以框架图形式呈现角的定义、大小特点、度量步骤等核心内容，突出量角器使用“三步法”和角的分类标准等重难点，清晰展现知识内在联系。 讲义的亮点在于练习设计紧密联系生活情境，如钟面角计算（《新闻联播》播出时间时针分针夹角）、旋转角度问题（从1时到3时时针旋转度数），培养空间观念与应用意识。通过分层练习（填空、选择、解答题）覆盖不同难度，如折叠角计算（已知∠1求∠2度数）提升推理意识，易错点专项提醒帮助学生规避错误。教师可利用讲义实施精准教学，学生自主复习时能明确重点，提升学习效率。

第二单元 角的度量（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、角的基础认识 1、角的定义 （1）从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。 （2）角由一个顶点和两条角的边组成，角的两条边是射线。 2、角的大小特点 （1）角的大小与角的边的长短无关。 （2）角的大小只与两条边张开的程度有关，张开越大，角越大。 二、角的度量工具与单位 1、度量工具 （1）测量角的大小的专用工具是量角器。 2、度量单位 （1）角的计量单位是度，符号为“°”。 （2）把半圆平均分成180份，每一份所对的角的大小是1度。 三、量角器的使用方法 1、量角三步法 （1）点对点：量角器中心与角的顶点重合。 （2）线对边：量角器的0°刻度线与角的一条边重合。 （3）读刻度：看角的另一条边对应的刻度，即为角的度数。 2、刻度区分规则 ① 0°在内圈读内圈刻度，0°在外圈读外圈刻度。 四、各类角的认识与分类 1、常见角的分类 （1）锐角：小于90°的角。 （2）直角：等于90°的角。 （3）钝角：大于90°且小于180°的角。 （4）平角：等于180°的角，两条边在同一条直线上。 （5）周角：等于360°的角，一条边旋转一周重合。 2、角的大小关系 ① 锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角 3、特殊角换算关系 （1）1平角 = 2直角 （2）1周角 = 2平角 = 4直角 五、画角的基本方法 1、标准画角步骤 （1）先画一条射线，确定角的顶点和一条边。 （2）量角器中心与顶点重合，0°刻度线与射线重合。 （3）在对应度数刻度处点一个点。 （4）连接顶点与点位，画出另一条射线，标注度数。 六、核心易错知识点 1、量角易错点 （1）量角时顶点、刻度线必须对齐，否则度数不准。 （2）容易混淆内外圈刻度，导致读数偏大或偏小。 2、概念易错点 ① 平角不是直线，周角不是射线，均属于角，有顶点和两条边。 ② 钝角必须同时满足大于90°、小于180°两个条件。 一、例题讲解 【典例】 1．《新闻联播》每天的播出时间是晚上6时整，这时时针和分针所形成的角是( )角，度数是( )°。 【典例】 2．从1时到3时，时针旋转了( )度，从3时到3时半，分针旋转了( )度。 【典例】 3．将长方形的一个角折叠后如下图所示。已知∠1＝36°，求∠2的度数。 【典例】 4．如图，∠2的度数是∠1的5倍，请你算一算，∠1和∠2分别是多少度？ 提升练习 二、填空题 5．广播体操训练时，体育老师喊出“向右转”口令后，小明要转动( )°；喊出“向后转”后，小明转出的是一个( )角；体育老师需要喊( )次“向左转”，小明才能转出一个周角。 6．( )和( )可以无限延伸，平角的两条边是( )线。 7．同一天内，从下午2：00到3：00，时针旋转了( )°；从下午2：00到2：25，分针旋转了( )°。 8．当钟面上的时刻显示10：00时，那么钟面上时针和分针所夹成的较小的角是( )度。 9．笑笑画了三个角∠1，∠2和∠3，已知∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝180°，则∠3一定是( )角。（填“锐”或“钝”） 10．1个周角＝( )个平角＝( )个直角。 11．我们规定：把一个圆平均分成360等份，每一份所对的角大小是1度，记作1°，那么16份对应角的大小是( )°。 12．钟面上9时整，时针和分针的夹角是( )°；从9时到9时10分，分针转动了( )°。 三、选择题 13．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日晚上8时在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕。8时整的时候，钟面上时针与分针所组成的较小角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 14．下列说法正确的是（    ）。 A．如果被除数中间有0，那么商的中间一定有0。 B．射线的长度比直线的长度短。 C．3时30分，钟面上时针与分针所组成的较小角是90° D．如果一个数含有三级，那么这个数可能是九位数。 15．用一副三角尺不能拼出（    ）°的角。 A．65° B．30° C．150° D．105° 16．木工制作桌子时用直角尺（角尺）的目的是（    ）。 A．测量木板的长度 B．计算木板的数量 C．检验桌角是否是直角 D．检验桌面是否光滑 17．下面各角中，（    ）角可以直接用一副三角尺拼成。 A．95° B．100° C．105° D．110° 四、判断题 18．∠1＋∠2＝180°，如果∠1是钝角，那么∠2是锐角。( ) 19．三角形中最大的一个锐角一定不能大于90°。( ) 20．用一副三角尺可以拼出95°的角。( ) 21．将4个角拼在一起，正好拼成一个平角，那么这4个角都是锐角。( ) 22．两条直线相交所形成的四个角中，相对的角相等。( ) 五、计算题 23．看图列式计算。 下图中，∠1＝30°，求∠2的度数。 六、解答题 24．和拼在一起正好是平角，和的角拼在一起正好是直角。请你求出和的度数。 25．折扇展开后有13条折痕（不含两侧边框），相邻折痕夹角10°，折扇两侧最大夹角是多少度？ 26．已知、、在一条直线上组成平角，是的2倍，比大20°，求三个角分别是多少度？ 27．把一张长方形纸折成如图所示的形状。已知∠1＋∠2＋∠3＝220°，求∠1，∠2，∠3的度数。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 角的度量（单元举一反三讲义） 知识点复习梳理 一、角的基础认识 1、角的定义 （1）从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。 （2）角由一个顶点和两条角的边组成，角的两条边是射线。 2、角的大小特点 （1）角的大小与角的边的长短无关。 （2）角的大小只与两条边张开的程度有关，张开越大，角越大。 二、角的度量工具与单位 1、度量工具 （1）测量角的大小的专用工具是量角器。 2、度量单位 （1）角的计量单位是度，符号为“°”。 （2）把半圆平均分成180份，每一份所对的角的大小是1度。 三、量角器的使用方法 1、量角三步法 （1）点对点：量角器中心与角的顶点重合。 （2）线对边：量角器的0°刻度线与角的一条边重合。 （3）读刻度：看角的另一条边对应的刻度，即为角的度数。 2、刻度区分规则 ① 0°在内圈读内圈刻度，0°在外圈读外圈刻度。 四、各类角的认识与分类 1、常见角的分类 （1）锐角：小于90°的角。 （2）直角：等于90°的角。 （3）钝角：大于90°且小于180°的角。 （4）平角：等于180°的角，两条边在同一条直线上。 （5）周角：等于360°的角，一条边旋转一周重合。 2、角的大小关系 ① 锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角 3、特殊角换算关系 （1）1平角 = 2直角 （2）1周角 = 2平角 = 4直角 五、画角的基本方法 1、标准画角步骤 （1）先画一条射线，确定角的顶点和一条边。 （2）量角器中心与顶点重合，0°刻度线与射线重合。 （3）在对应度数刻度处点一个点。 （4）连接顶点与点位，画出另一条射线，标注度数。 六、核心易错知识点 1、量角易错点 （1）量角时顶点、刻度线必须对齐，否则度数不准。 （2）容易混淆内外圈刻度，导致读数偏大或偏小。 2、概念易错点 ① 平角不是直线，周角不是射线，均属于角，有顶点和两条边。 ② 钝角必须同时满足大于90°、小于180°两个条件。 一、例题讲解 【典例】 1．《新闻联播》每天的播出时间是晚上6时整，这时时针和分针所形成的角是( )角，度数是( )°。 【答案】 平 180 【分析】当分针指着12，时针指着几就是几时，据此可判断晚上6时整分针与时针的位置；再根据平角的两条边成一条直线，平角＝180°，即可解答。 【详解】根据分析可知： 晚上6时整，分针指着12，时针指着6，此时时针与分针成一条直线；所以，这时时针和分针所形成的角是平角，度数是180°。 【典例】 2．从1时到3时，时针旋转了( )度，从3时到3时半，分针旋转了( )度。 【答案】 60 180 【分析】整个表盘为周角360度，共分为12个大格，由此可计算旋转一大格的角度。 计算1时到3时的时针旋转角度：因为时针经过了2个小时，即2个大格，所以用旋转的格数乘每格的角度，即可得到对应旋转度数。 计算3时到3时半的分针旋转角度：因为分针经过了30分钟，旋转了6个大格，所以用旋转的格数乘每格的角度，即可得到对应旋转度数。 【详解】每一大格对应的角度是：360°÷12＝30°。 （1）从1时到3时，时针走了2个大格，旋转的角度是：2×30°＝60°。 （2）分针走60分钟会转完整个钟面的12大格，从3时到3时半共经过30分钟，分针刚好走了6个大格，旋转的角度是：6×30°＝180°。 【典例】 3．将长方形的一个角折叠后如下图所示。已知∠1＝36°，求∠2的度数。 【答案】18° 【分析】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，即2个∠1的度数和1个∠2的度数合计为90°，则∠2的度数为90°减去2个∠1的度数，据此计算。 【详解】90°－2×36° ＝90°－72° ＝18° 答：∠2为18°。 【典例】 4．如图，∠2的度数是∠1的5倍，请你算一算，∠1和∠2分别是多少度？ 【答案】∠1＝30°；∠2＝150° 【分析】如下图，∠2与∠1组成平角180°，∠1是一份量，则∠2是这样的5份，∠2加∠1等于180°，也就是6个∠1是180°，所以180°除以6算出∠1，再乘5算出∠2。 【详解】180°÷（1＋5） ＝180°÷6 ＝30° 30°×5＝150° 答：∠1是30°，∠2是150°。 提升练习 二、填空题 5．广播体操训练时，体育老师喊出“向右转”口令后，小明要转动( )°；喊出“向后转”后，小明转出的是一个( )角；体育老师需要喊( )次“向左转”，小明才能转出一个周角。 【答案】 90 平 4 【分析】向左转或向右转时，转过的角度都是90°，也就是直角；向后转，方向与原来完全相反，是180°，也就是平角；周角是360°，4×90°＝360°，连续向右转4次，才能转过一个周角；由此解答即可。 【详解】4×90°＝360° 广播体操训练时，体育老师喊出“向右转”口令后，小明要转动90°；喊出“向后转”后，小明转出的是一个平角；体育老师需要喊4次“向左转”，小明才能转出一个周角。 6．( )和( )可以无限延伸，平角的两条边是( )线。 【答案】 直线 射线 射 【分析】直线没有端点，可以向两边无限延伸；射线有一个端点，可以向没有端点的一边无限延伸；平角是由一条边绕顶点旋转180°后和另一条边处在同一直线上形成的角，它的两条边都仅以角的顶点作为公共端点，符合射线的特征，所以平角的两条边是射线，据此填空。 【详解】根据分析可知，所以直线和射线可以无限延伸，平角的两条边是射线。 7．同一天内，从下午2：00到3：00，时针旋转了( )°；从下午2：00到2：25，分针旋转了( )°。 【答案】 30 150 【分析】（1）钟表一圈为360°，平均分为12个大格，因此每个大格对应的角度用除法计算即可。 （2）从下午2：00到2：25经过25分钟，分针每走1个大格需要5分钟，因此25分钟分针旋转的大格数用除法计算即可。分针旋转的角度用每个大格对应的角度乘大格数即可算出。 【详解】360°÷12＝30°，旋转了30°。 25÷5＝5（个） 5×30°＝150° 8．当钟面上的时刻显示10：00时，那么钟面上时针和分针所夹成的较小的角是( )度。 【答案】60 【分析】首先明确钟面为周角共360度，且被平均分为12个大格，因为总度数除以大格数，所以可计算出每个大格对应的度数。10：00时，如果时针指向10、分针指向12，那么两者的间隔大格数可直接得出。 用每个大格的度数乘间隔的大格数，即可得到较小夹角的度数。 【详解】360÷12＝30（度），10：00的时候，时针指向10，分针指向12，两者之间间隔2个大格，所以较小夹角是2×30＝60（度）。 9．笑笑画了三个角∠1，∠2和∠3，已知∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝180°，则∠3一定是( )角。（填“锐”或“钝”） 【答案】 钝 【分析】首先根据与的和是，结合角的定义判断是锐角；然后根据与的和是，利用减法关系推导的度数范围；最后依据钝角的定义确定的类型。 【详解】因为，且笑笑画了角，所以，即是锐角。 因为，所以。因为，所以，即。 同时因为，所以。 大于且小于的角是钝角，所以一定是钝角。 10．1个周角＝( )个平角＝( )个直角。 【答案】 2 4 【分析】用周角的度数360°分别除以平角、直角的度数180°、90°，算出里面包含几个这样的角。 【详解】360°÷180°＝2（个） 360°÷90°＝4（个） 1个周角＝2个平角＝4个直角。 11．我们规定：把一个圆平均分成360等份，每一份所对的角大小是1度，记作1°，那么16份对应角的大小是( )°。 【答案】16 【分析】圆平均分成360份，每份所对的角是1°；16份所对的角就是16个1°。 【详解】1°×16＝16° 所以16份对应角的大小是16°。 12．钟面上9时整，时针和分针的夹角是( )°；从9时到9时10分，分针转动了( )°。 【答案】 90 60 【分析】钟面一圈是360°，平均分成12个大格，每个大格的角度是30°。9时整的时候，时针指向9，分针指向12，中间刚好隔了3个大格，夹角就是3×30°＝90°。分针走1个大格代表5分钟，从9时到9时10分，分针走了10分钟，也就是2个大格。 【详解】3×30°＝90° 2×30°＝60° 三、选择题 13．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日晚上8时在黑龙江省哈尔滨市隆重开幕。8时整的时候，钟面上时针与分针所组成的较小角是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．平角 【答案】C 【分析】先算出钟面每个大格对应的角度，然后数出8时整时针和分针组成的较小角有几个大格，计算出这个角的角度，再判断角的类型即可。 【详解】钟面一圈是360°，共12个大格，每个大格的角度为：360÷12＝30°（度）。 8时整，时针指向8，分针指向12，两指针组成的较小角间隔4个大格，角度为：30°×4＝120°（度）。 大于90°小于180°的角是钝角。 14．下列说法正确的是（    ）。 A．如果被除数中间有0，那么商的中间一定有0。 B．射线的长度比直线的长度短。 C．3时30分，钟面上时针与分针所组成的较小角是90° D．如果一个数含有三级，那么这个数可能是九位数。 【答案】D 【分析】分析选项A：举反例，比如被除数是306，除数是3，计算得306÷3＝102商中间有0，但如果是306÷6＝51，被除数中间有0，商的中间却没有0。 分析选项B：射线只有1个端点、直线没有端点，二者都可以无限延伸，都没法测量长度，不能比较长短。 分析选项C：3时整的时候时针和分针夹角是90°，但3时30分时，时针会从3往4的位置走半格，分针指向6，此时较小的角是75°，不是90°。 分析选项D：我们学过的数级分为个级、万级、亿级，每一级最多4位，含有三级的数，最少是亿位为1、其余低位补0的九位数，最多是十二位数。 逐一判断各选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。 【详解】A．如果被除数中间有0，那么商的中间一定有0。错误。 B．射线的长度比直线的长度短。错误。 C．3时30分，钟面上时针与分针所组成的较小角是90°。错误。 D．如果一个数含有三级，那么这个数可能是九位数。正确。 15．用一副三角尺不能拼出（    ）°的角。 A．65° B．30° C．150° D．105° 【答案】A 【分析】一副三角尺的角度有、、、，通过三角尺本身的角，与这些角度相加或相减能得到的不同度数的角有： 三角板本身自带的角度：、、、 两个角度相加拼成的角‌：、、、、、 两个角度相减拼成的角：据此判断即可。 【详解】A．、、、无论相加还是相减都无法得到，不能拼出，符合题意。 B．三角尺本身有的角，可以得到，不符合题意。 C．，可以拼出，不符合题意。 D．，可以拼出，不符合题意。 16．木工制作桌子时用直角尺（角尺）的目的是（    ）。 A．测量木板的长度 B．计算木板的数量 C．检验桌角是否是直角 D．检验桌面是否光滑 【答案】C 【分析】直角尺带有标准直角，制作桌子需要保证桌角为直角，因此用直角尺完成检验。 【详解】A．测量木板长度使用普通直尺即可，不是直角尺的用途，错误； B．计算木板数量是计数操作，不需要直角尺，错误； C．直角尺的标准直角可和桌角比对，检验桌角是否为直角，正确； D．检验桌面光滑程度可通过触摸、观察判断，和直角尺无关，错误。 17．下面各角中，（    ）角可以直接用一副三角尺拼成。 A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【分析】一副三角尺的固定角度为、、、，可拼成的角是这几个角度相加的和，据此判断选项即可。 【详解】A．一副三角尺不能拼出95°的角； B．一副三角尺不能拼出100°的角。 C．60°＋45°＝105°，可以用一副三角尺拼出； D．一副三角尺不能拼出110°的角。 四、判断题 18．∠1＋∠2＝180°，如果∠1是钝角，那么∠2是锐角。( ) 【答案】√ 【分析】锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°小于180°，据此计算出∠2的度数范围即可判断。 【详解】，则，∠1是钝角，即，可得，所以∠2是锐角。 故答案为：√ 19．三角形中最大的一个锐角一定不能大于90°。( ) 【答案】√ 【分析】锐角的定义是小于90°的角，只要是锐角就一定小于90°，据此判断即可。 【详解】根据锐角的定义可知，所有锐角都小于90°，因此三角形中最大的锐角也一定小于90°，也就是不能大于90°，原题说法正确。 故答案为：√ 20．用一副三角尺可以拼出95°的角。( ) 【答案】× 【分析】一副三角尺包含两个三角板：一个是等腰直角三角形，三个角的度数为：45°、45°、90°；另一个是直角三角形三个角的度数为：30°、60°、90°。拼角指将两个不同的角通过度数相加得到新角度。检查所有可能的两个角相加组合：30°＋45°＝75°、30°＋60°＝90°、30°＋90°＝120°、45°＋45°＝90°、45°＋60°＝105°、45°＋90°＝135°、60°＋90°＝150°、90°＋90°＝180°。这些组合均不等于95°，因此无法拼出95°的角。 【详解】用一副三角尺拼角，只能通过将两个角相加得到新角度。三角尺提供的角度有30°、45°、60°、90°。所有可能的两个角相加的和为75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°，没有95°。因此，无法拼出95°的角，原题说法错误。 故答案为：× 21．将4个角拼在一起，正好拼成一个平角，那么这4个角都是锐角。( ) 【答案】× 【分析】平角等于180°，锐角大于0°小于90°。钝角大于90°小于180°，直角是90°。可以通过举例的方法来说明，4个角拼成一起组成平角，这四个角是什么角。 【详解】将4个角拼在一起，正好拼成一个平角（180°），这4个角可能都是锐角，例如：45°＋45°＋45°＋45°＝180°；也可能包含一个直角，例如：90°＋30°＋30°＋30°＝180°；或者包含一个钝角，例如：120°＋20°＋20°＋20°＝180°。因此，这4个角不一定都是锐角。 故答案为：× 22．两条直线相交所形成的四个角中，相对的角相等。( ) 【答案】√ 【分析】分析题意，两条直线相交形成四个角，1平角＝180°，据此画出两条相交的直线，借助图形判断即可。 【详解】画两条相交的直线，量出其中∠1的度数是60°。 观察图可知：∠1和∠2组成一个平角，∠1和∠4组成一个平角，∠3和∠2组成一个平角。 ∠1和∠3是相对的角，∠2和∠4是相对的角。 已知∠1＝60°，则∠2＝180°－60°＝120°，∠4＝180°－60°＝120°，∠3＝180°－120°＝60°。 ∠1＝∠3＝60°，∠2＝∠4＝120° 所以，两条直线相交所形成的四个角中，相对的角相等。题干说法正确。 故答案为：√ 五、计算题 23．看图列式计算。 下图中，∠1＝30°，求∠2的度数。 【答案】60° 【分析】1直角＝90°，1平角＝180°。根据题意可知：∠1、∠2和一个直角组成一个平角，因此∠2＝180°－∠1－90°；据此解答。 【详解】∠2＝180°－30°－90° ＝150°－90° ＝60° 六、解答题 24．和拼在一起正好是平角，和的角拼在一起正好是直角。请你求出和的度数。 【答案】∠1＝55°；∠2＝125° 【分析】直角是90°，因为∠1和35°的角可以拼成直角，据此可以求出∠1； 平角是180°，因为∠1和∠2拼成平角，据此可以求出∠2的度数。 【详解】∠1的度数：90°－35°＝55° ∠2的度数：180°－55°＝125° 答：∠1＝55°，∠2＝125°。 25．折扇展开后有13条折痕（不含两侧边框），相邻折痕夹角10°，折扇两侧最大夹角是多少度？ 【答案】140度 【分析】折扇均匀折叠，折痕与边框的夹角和相邻折痕的夹角相等，小角的数量比折痕数多1，用单个小角度数乘小角总数得到总夹角的度数。 【详解】小角的总数：（个） 两侧最大夹角： 答：折扇两侧最大夹角是140度。 26．已知、、在一条直线上组成平角，是的2倍，比大20°，求三个角分别是多少度？ 【答案】；； 【分析】平角＝180°，所以。因为∠2＝2×∠1，∠3＝∠1＋20°，将∠2和∠3代入即可求出∠1的度数，然后再求出∠2和∠3的度数。 【详解】 4∠1＋20°＝180° 4∠1＝160° ∠1＝40° 答：∠1＝40°，∠2＝80°，∠3＝60°。 27．把一张长方形纸折成如图所示的形状。已知∠1＋∠2＋∠3＝220°，求∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】∠1＝40°   ∠2＝140°   ∠3＝40° 【分析】观察图片，根据折叠性质可知，平角＝180°，，，代入计算即可解答。 【详解】∠1＝        ＝        ＝ ∠2＝       ＝       ＝ ∠3＝      ＝      ＝ 答：∠1有40°；∠2有140°；∠3有40°。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $