第二单元 角的度量-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+7个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共48题）-2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义以人教版四年级上册“角的度量”为单元，通过思维导图与知识梳理系统构建知识体系。知识梳理涵盖直线射线认识、角的度量分类等9个知识点，用框架图呈现概念区别与联系，突出平角周角特征、角度计算等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，7个考点讲练精选名校易错题如“折扇展开角名称判断”，7个奥数拓展如“重叠长方形角度计算”提升思维，真题分层演练分能力提升与思维创新。通过具体情境题培养几何直观与推理意识，帮助不同层次学生巩固基础或冲刺满分，为教师提供精准教学支持。

null2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 第二单元角的度量『举一反三知识讲练」（思维拓展版） 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+7个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练共48题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版四上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络. 。。。。。。。 3 知识梳理温故知新… 3 知识点一认识直线、射线 .3 知识点二直线、射线与线段的区别 知识点三点和直线、射线的关系 .3 知识点四认识角. 知识点五角的度量 知识点六角的分类… 知识点七角的大小关系… 知识点八画角……4 第1页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 知识点九角的测量.. 考点讲练真题汇总… 高频考点一平角、周角的认识及特征.··· 4 高频考点二角的大小比较. 5 高频考点三角的分类及换算.... 高频考点四角的度量· ..5 高频考点五用量角器画角.· 高频考点六用三角尺画角… 6 高频考点七角度的计算.... 7 难点突破奥数拓展……… 。。。。。。。。。 1 奥数拓展一平角、周角的认识及特征 奥数拓展二角的大小比较。 …8 奥数拓展三角的分类及换算. ……8 奥数拓展四角的度量… 9 奥数拓展五用量角器画角.· ..9 奥数拓展六用三角尺画角.... ..10 奥数拓展七角度的计算...· 10 优选真题实战演练.… …11 【能力提升练】 .11 【思维创新练】 ….13 第2页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引梳理脉络 1.角的认识 4.角的计算与应用 角的组成 角由一个顶点和两条边组成。 角的和与差 计算 （1）单角=10 角的计算常用： 顶点 (2)角=360 180°减去。360减去 角的分类 角的和与差等方法。 三角尺中的角 三角尺上有直角(90”) 典型题（含着案） 概角(30°.45°、60°) 小如 ①一个角的补角是75，这个角是多少度？参两 等于90 大手90等于180等子360 出105的角 小于180* ③1周角=(360)，1平角=(10.年360：0 角的旋转 ④再个角的和是90.其中一个角是45，另一个角是多少度 第二单元 45 ⑤一个角的度数此它的补角少30。这个角是多少度？苦：5 从端点 从点 反特不斜}胃 转题过网 角的度量 袋出}周 镜出子期 形成锐角 不到周 开角 形成平角 单元复习思维导图 形成直角 5,画垂线与平行线（信惠技术应用） 2.角的度量 用机器人画垂线 解决实际问题 D 售中示例 (1)线段长度：5cm D调师一条线 其中1份所对约角作为1度角，记作 D西一豪线。使量角的中和射线的点重台 人在# (2)正方形面积：1cm (3)1“的度数： 1 角的密量方法 用机器人画平行线 用量角器量角的步寝： ①中心点与角的顶点重合： -- 露任着度的的参 面面的面点 ①边是从同一个端点引 角的大小比较 用三角尺上的角戒量角器比较 小Q度与一条边业合 6.综合练习（含香蜜） 一填边到 二。判新题对的画”/总。地的海·×“) 三，遗悟超把正满等塞的序可城精号里）四.量一量，填一填 五.计算题 大。作图雕 七、解决网题 1:纯角一完比重角大。 1.下面角中：比0小的是(A), 用望角器量下国香角 1.80-75105 1昌一个行的角 2.平角批是一一年直线 .120 C.180 落略 4-40--s0 2 6.直角有(0)，平角有() 主下面角中，小的是(A) 1-021249051-30+6)-9g 适术资院生些产的余用大0。 A30 0 C,90 知识小结·商有大小，用度)表 学习方法 成长小楷蜜 量角要确，角要规范 知识梳理温故知新 知识点一认识直线、射线 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，这种线叫直线。 射线：只有一个端点，向一端无限延伸，这种线叫射线。 知识点二直线、射线与线段的区别 1.线段可以量出长度，直线和射线都可以无限延伸，因此无法量出长短。 2.线段、直线、射线都是直的，线段和射线是直线上的一部分 3.线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。 知识点三点和直线、射线的关系 1.过一点能画无数条直线，过两点只能画一条直线。 2.过一点能画无数条射线。 第3页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 知识点四认识角 角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角顶点的顶点，这两条射线叫做角的两条 边。 角由一个顶点和两条边组成。 角通常用符号“∠”表示。 知识点五角的度量 角的度量单位是度。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就 是1度，记作1°。 角的度量工具一量角器。量角器是把半个圆分成180等份制成的。 知识点六角的分类 直角=90°平角=180°周角=360°锐角<90°90°<钝角<180° 平角=2个直角，周角=2个平角=4个直角 知识点七角的大小关系 角的大小关系：锐角<直角<钝角<平角<周角。 角的大小与角的两边画出的长短没关系。角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。 知识点八画角 画60°角的具体步骤： 1.画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2.在量角器60°刻度线的地方点一个点。 3.以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 知识点九角的测量 测量角：量角器的中心和射线的端点重合；0°刻度线与所画的射线重合；还要看准刻度。 昌考点讲练真题汇总 mimImimimimimimimimimimimimin 高频考点一平角、周角的认识及特征 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·课后作业)观察手工折扇展开过程中形成的角，写出各角的名称。 △一②一② 第4页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 )角( )角 ()角()角 )角 【变式训练】(25-26四年级上·陕西咸阳·期末)角度之趣！3时整，时针与分针形成的较小的夹角是 ( )°；7时整，时针与分针形成的较小的夹角是( )角：( )时整，时针与分针的夹 角是平角。 高频考点二角的大小比较 【典例精讲】(25-26四年级上·辽宁沈阳·期末)角的大小与边的( )无关，与两边的( 有关。两点之间的所有连线中，( )最短。 【变式训练】(24-25四年级上·山东德州·期末)如图，某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在 发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面 的角度应( )25°（填“<”“>”或“=”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应 )25° (填“<”“>”或“=”）。 敌机 地面8 125 发射点 高频考点三角的分类及换算 【典例精讲】(25-26四年级上·浙江温州·期末)早上8时同学们乘坐大巴开往绿野仙踪，这时时针和 分针所形成的较小角是( )角，是( )°。 【变式训练】(25-26四年级上·天津河西·期末)下面选项中，错误的是( )。 A.过一点能画无数条直线。 B.当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。 C.9时15分，钟面上分针和时针所夹的角是一个平角。 D.两个锐角的和一定比平角小。 高频考点四角的度量 【典例精讲】(2026四年级·全国·专题练习)我会画，选择合适的方法画出下面各角。 50° 75 105° 120° 第5页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26四年级上·福建泉州·期中)笑笑在观看爸爸打台球时发现，当球撞向桌边时，就 会向另一个方向弹走，如图所示。 (1)量一量：∠1=( )。,∠2=( )°，∠3=( )。,∠4=( )。。 (2)根据(1)中测量的结果，你发现了什么？ 射入角 3 射入角 2 射出角 C 射出角 高频考点五用量角器画角 【典例精讲】(25-26四年级上·河北唐山·期末)以A为顶点画一个30°的角，再以B为顶点画一个50° 的角，并组成一个三角形。 A B 【变式训练】(25-26四年级上·安徽宿州·期中)画出下面度数的角。 1359 55° 909 180% 高频考点六用三角尺画角 【典例精讲】(25-26四年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末)能用一副三角尺拼成75°角的是( 第6页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25四年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末)小明用一副三角尺分别拼出四个角（如图）， 其中( )的度数是135°。 2 A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4 高频考点七角度的计算 【典例精讲】(26-27四年级上·全国·单元测试)如下图，小希想折一个纸飞机，先把一张正方形纸对 折产生一条折痕，再将点B和点C都折到折痕上的点G上。已知∠1=60°，那么∠2是多少度？ B 【变式训练】(25-26四年级下·湖北随州·期末)三个正方形的位置如图，∠1的度数是( ）°。 23 45X30° 难点突破奥数拓展 奥数拓展一平角、周角的认识及特征 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃定西·期末)下面是一张长方形纸被折起来的图形，其中∠1的度数 是多少？ 85° 第7页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26四年级上·河北廊坊·期末)把一张长方形的纸像下图一样折起来，AD=BD,那么 两条折痕AB和AC有什么关系？请你说出理由。 B 奥数拓展二角的大小比较 【典例精讲】如图，钟面上的时针指向9，分针指向12，分针与时针组成了1个角。再过10分钟（分针指 向2)，分针与时针组成的角是变大了还是变小了？ 10 -9 4、5 【变式训练】求出下图中∠1、∠2、∠3的度数，你能发现什么？ 2 ∠1= ∠2= ∠3=】 奥数拓展三角的分类及换算 【典例精讲】(25-26四年级上·云南楚雄·期中)单元知识复习时，小华整理了“角的度量”这部分知 识如下： ①1个周角=2个平角=4个直角 ②射线只有一个端点，周角就是一条射线③过一点可以画出无数 条直线，过两点只能画出一条直线 ④把半圆平均分成180等份，每份所对的角的大小是1°。 第8页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 以上整理的这些知识正确的有( )个。 A.4 B.3 C.2 【变式训练】钟面上5时整，时针与分针的夹角是( )度；从5：35走到5：55，分钟转动了() 度。 奥数拓展四角的度量 【典例精讲】(25-26四年级上福建龙岩·期末)下面时刻，钟面上的时针和分针互相垂直的有( ) ① ② ③ ④ ⑤ 12:30 9:30 21:00 3:00 10:35 A.①②③④⑤ B.①②③④ C.③④⑤ D.③④ 【变式训练】(25-26四年级上全国课后作业)3时整，时针和分针所成的较小角是( )°，是( 角；6时整，时针和分针所成的角是( )角，是( )°。 奥数拓展五用量角器画角 【典例精讲】(23-24四年级上·山东德州·期中)过A点画出已知直线的平行线和垂线，以B点为顶点 画一个115°的角。 【变式训练】①以AB为一边，画一个100°的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 B E F 第9页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展六用三角尺画角 【典例精讲】(25-26四年级上·全国·课后作业)先分别写出下面用一副三角尺拼成的角的度数，再写 出角的名称。 0 )角 )角 )角 )角 【变式训练】分别画出一个钟面上4时和11时时针与分针所成的角， 奥数拓展七角度的计算 【典例精讲】(25-26四年级上·上海黄浦·期末)如图是两个部分重叠的长方形，如果∠1十∠2+∠3= 110°∠1=( 【变式训练】(23-24四年级下·江苏盐城·期末) 知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就 是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠ 图1 1和∠2组成一个平角。 ⊙ 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！ 小宇 在图2中，我发现∠1、∠2 第10页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 ∠3是三角形的3个外角。 我是这样想的… 小月 图2 小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。 180°×3=5401 540°-180°=360° 你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。 30 图3 优选真题实战演练 【能力提升练】 1.(26-27四年级上·全国·课后作业)清代诗人高鼎用“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学 归来早，忙趁东风放纸鸢。”生动描绘了儿童放风筝的情景。下图是四只放飞的风筝，风筝线的长度均是 20米，风筝飞得最高的是( ) 309 人459 60° 15入 A. 地面B. 地面 C. 地面 D. 地面 2.(26-27四年级上·全国·课后作业)下列说法正确的有( )个。 ①周角是一条射线 ②平角的两条边在同一条直线上 ③钝角的一半一定是锐角 ④锐角<钝角< 直角<平角<周角 A.1 B.2 C.3 D.4 第11页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 3.(26-27四年级上·全国·单元测试)下面各图中，∠1和∠2相等的有( )个。 12 1 A.1 B.2 C.3 D.4 4.(26-27四年级上·全国·课后作业) ① ② ③ ④ 比直角小的角有( ),它们都是( )角：比直角大的角有( ),它是( )角。 5.(2026四年级上·全国·专题练习)列队练习时，阳阳原地向右转，此时他转了一个( )°的角； 如果他原地向后转，那么他转了一个( )°的角。 6.（26-27四年级上·全国·单元测试)如下图，已知∠1=72°，那么∠2=( ),∠3=( ∠4=( ),∠1+∠5=( 3 4 7.(25-26四年级上·山东聊城·期末)如图是把一张长方形纸折起来后的图形，其中∠1=40°，∠2= ）。 8. (25-26四年级上·新疆乌鲁木齐·期中)看图计算。 求如图中∠1，∠2的度数。 45° 140° 第12页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三进义思维拓展 9.(25-26四年级下·福建福州·期末)楼楼在折纸，（如图)∠2=96°，∠1是多少度？ 10.(24-25四年级上·广东惠州·期中)填一填，量一量。 A (1)如图所示，有( )个锐角，( )个钝角。 (2)与线段BC相互垂直的是线段( ):与线段BC相互平行的是线段( (3)量一量：∠A=( )°。 【思维创新练】 1.(25-26四年级上·四川成都·期中)豆豆想用一副三角板拼出不同度数的角，他不能直接拼出的角是 )。 A.130° B.759 C.1359 2.(25-26四年级上·四川成都·期中)豆豆在用量角器测量一个三角形的一个内角时（如下图），你认 为这个角的度数是( A.40° B.140° C.无法确定 第13页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 3.在下边的图中一共有()个锐角. 0 A.4 B.5 C.7 D.6 4.(25-26四年级上·河南商丘·期中)乐乐早上6：00起床，这时钟面上时针和分针所形成的角是() 角；下午5：00放学，这时钟面上时针和分针所形成的角是( )角：晚上9：O0睡觉，这时钟面上时 针和分针所形成的角是( )角。 5.(24-25四年级上·重庆大足·期末)把两张正方形纸对齐一个顶点叠放在一条直线上（下图），那么 ∠1= 0 45 20° 6.如图，∠1=125°，∠2=（). 7.(23-24四年级下·四川广元·期末)计算下面图形中未知角的度数。 1250 第14页共15页 2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 8.操作。 E口 底 369 63°△B (1)画出图中三角形ABC指定底边BC上的高。 (2)∠1=( ）,∠2=( ）。 9.如图，已知∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数。 10.(25-26四年级上·甘肃陇南·期末)如图是长方形ABCD的一半，按要求完成下面各题。 C (1)量一量，∠A=( )度。 (2)将它补成一个完整的长方形。标出D点。 (3)分别过B点、D点画线段AC的垂线段。 (4)现在图中有( )组平行线，( )组线段互相垂直。 第15页共15页2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 角的度量『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共48题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 认识直线、射线 3 知识点二 直线、射线与线段的区别 3 知识点三 点和直线、射线的关系 3 知识点四 认识角 4 知识点五 角的度量 4 知识点六 角的分类 4 知识点七 角的大小关系 4 知识点八 画角 4 知识点九 角的测量 4 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 平角、周角的认识及特征 4 高频考点二 角的大小比较 5 高频考点三 角的分类及换算 5 高频考点四 角的度量 5 高频考点五 用量角器画角 6 高频考点六 用三角尺画角 6 高频考点七 角度的计算 7 难点突破 奥数拓展 7 奥数拓展一 平角、周角的认识及特征 7 奥数拓展二 角的大小比较 8 奥数拓展三 角的分类及换算 8 奥数拓展四 角的度量 9 奥数拓展五 用量角器画角 9 奥数拓展六 用三角尺画角 10 奥数拓展七 角度的计算 10 优选真题 实战演练 11 【能力提升练】 11 【思维创新练】 13 知识点一 认识直线、射线 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，这种线叫直线。 射线：只有一个端点，向一端无限延伸，这种线叫射线。 知识点二 直线、射线与线段的区别 1. 线段可以量出长度，直线和射线都可以无限延伸，因此无法量出长短。 2. 线段、直线、射线都是直的，线段和射线是直线上的一部分 3. 线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。 知识点三 点和直线、射线的关系 1. 过一点能画无数条直线，过两点只能画一条直线。 2. 过一点能画无数条射线。 知识点四 认识角 角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角顶点的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 角由一个顶点和两条边组成。 角通常用符号“∠”表示。 知识点五 角的度量 角的度量单位是度。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。 角的度量工具——量角器。量角器是把半个圆分成180等份制成的。 知识点六 角的分类 直角=90°平角=180°周角=360°锐角＜90°90°＜钝角＜180° 平角=2个直角，周角=2个平角=4个直角 知识点七 角的大小关系 角的大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 角的大小与角的两边画出的长短没关系。角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。 知识点八 画角 画60°角的具体步骤： 1. 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2. 在量角器60°刻度线的地方点一个点。 3. 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 知识点九 角的测量 测量角：量角器的中心和射线的端点重合；0°刻度线与所画的射线重合；还要看准刻度。 高频考点一 平角、周角的认识及特征 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）观察手工折扇展开过程中形成的角，写出各角的名称。 ( )角  ( )角  ( )角  ( )角  ( )角 【变式训练】（25-26四年级上·陕西咸阳·期末）角度之趣！3时整，时针与分针形成的较小的夹角是( )°；7时整，时针与分针形成的较小的夹角是( )角；( )时整，时针与分针的夹角是平角。 高频考点二 角的大小比较 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）角的大小与边的( )无关，与两边的( )有关。两点之间的所有连线中，( )最短。 【变式训练】（24-25四年级上·山东德州·期末）如图，某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应( )25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应( )25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 高频考点三 角的分类及换算 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江温州·期末）早上8时同学们乘坐大巴开往绿野仙踪，这时时针和分针所形成的较小角是( )角，是( )°。 【变式训练】（25-26四年级上·天津河西·期末）下面选项中，错误的是（    ）。 A．过一点能画无数条直线。 B．当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。 C．9时15分，钟面上分针和时针所夹的角是一个平角。 D．两个锐角的和一定比平角小。 高频考点四 角的度量 【典例精讲】（2026四年级·全国·专题练习）我会画，选择合适的方法画出下面各角。 50°         75°        105°        120° 【变式训练】（25-26四年级上·福建泉州·期中）笑笑在观看爸爸打台球时发现，当球撞向桌边时，就会向另一个方向弹走，如图所示。 （1）量一量：∠1＝（    ）°，∠2＝（    ）°，∠3＝（    ）°，∠4＝（    ）°。 （2）根据（1）中测量的结果，你发现了什么？ 高频考点五 用量角器画角 【典例精讲】（25-26四年级上·河北唐山·期末）以A为顶点画一个30°的角，再以B为顶点画一个50°的角，并组成一个三角形。 【变式训练】（25-26四年级上·安徽宿州·期中）画出下面度数的角。                               高频考点六 用三角尺画角 【典例精讲】（25-26四年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）能用一副三角尺拼成75°角的是（    ）。 A． B． C． 【变式训练】（24-25四年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）小明用一副三角尺分别拼出四个角（如图），其中（    ）的度数是。 A． B． C． D． 高频考点七 角度的计算 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·单元测试）如下图，小希想折一个纸飞机，先把一张正方形纸对折产生一条折痕，再将点B和点C都折到折痕上的点G上。已知∠1＝60°，那么∠2是多少度？ 【变式训练】（25-26四年级下·湖北随州·期末）三个正方形的位置如图，∠1的度数是( )°。 奥数拓展一 平角、周角的认识及特征 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）下面是一张长方形纸被折起来的图形，其中的度数是多少？ 【变式训练】（25-26四年级上·河北廊坊·期末）把一张长方形的纸像下图一样折起来，AD＝BD，那么两条折痕AB和AC有什么关系？请你说出理由。 奥数拓展二 角的大小比较 【典例精讲】如图，钟面上的时针指向9，分针指向12，分针与时针组成了1个角。再过10分钟（分针指向2），分针与时针组成的角是变大了还是变小了？ 【变式训练】求出下图中∠1、∠2、∠3的度数，你能发现什么？ ∠1＝________° ∠2＝________° ∠3＝________° 奥数拓展三 角的分类及换算 【典例精讲】（25-26四年级上·云南楚雄·期中）单元知识复习时，小华整理了“角的度量”这部分知识如下： ①1个周角＝2个平角＝4个直角  ②射线只有一个端点，周角就是一条射线  ③过一点可以画出无数条直线，过两点只能画出一条直线  ④把半圆平均分成180等份，每份所对的角的大小是。 以上整理的这些知识正确的有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【变式训练】钟面上5时整，时针与分针的夹角是( )度；从走到，分钟转动了( )度。 奥数拓展四 角的度量 【典例精讲】（25-26四年级上·福建龙岩·期末）下面时刻，钟面上的时针和分针互相垂直的有（    ）。 A．①②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．③④ 【变式训练】（25-26四年级上·全国·课后作业）3时整，时针和分针所成的较小角是( )°，是( )角；6时整，时针和分针所成的角是( )角，是( )°。 奥数拓展五 用量角器画角 【典例精讲】（23-24四年级上·山东德州·期中）过A点画出已知直线的平行线和垂线，以B点为顶点画一个115°的角。 【变式训练】①以AB为一边，画一个100º的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 奥数拓展六 用三角尺画角 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·课后作业）先分别写出下面用一副三角尺拼成的角的度数，再写出角的名称。 ( )°     ( )°    ( )°       ( )° ( )角     ( )角    ( )角        ( )角 【变式训练】分别画出一个钟面上4时和11时时针与分针所成的角． 奥数拓展七 角度的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·上海黄浦·期末）如图是两个部分重叠的长方形，如果∠1＋∠2＋∠3＝110°∠1＝( )° 【变式训练】（23-24四年级下·江苏盐城·期末） 知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠1和∠2组成一个平角。 图1 在图2中，我发现∠1、∠2、∠3是三角形的3个外角。 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！我是这样想的…… 图2 小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。 180°×3＝540°    540°－180°＝360° 你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。 图3 【能力提升练】 1．（26-27四年级上·全国·课后作业）清代诗人高鼎用“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”生动描绘了儿童放风筝的情景。下图是四只放飞的风筝，风筝线的长度均是20米，风筝飞得最高的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（26-27四年级上·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ）个。 ①周角是一条射线  ②平角的两条边在同一条直线上  ③钝角的一半一定是锐角  ④锐角＜钝角＜直角＜平角＜周角 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27四年级上·全国·单元测试）下面各图中，∠1和∠2相等的有（    ）个。      A．1 B．2 C．3 D．4 4． （26-27四年级上·全国·课后作业） 比直角小的角有( )，它们都是( )角；比直角大的角有( )，它是( )角。 5．（2026四年级上·全国·专题练习）列队练习时，阳阳原地向右转，此时他转了一个( )°的角；如果他原地向后转，那么他转了一个( )°的角。 6．（26-27四年级上·全国·单元测试）如下图，已知∠1＝72°，那么∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )，∠1＋∠5＝( )。 7．（25-26四年级上·山东聊城·期末）如图是把一张长方形纸折起来后的图形，其中∠1＝40°，∠2＝( )。 8．（25-26四年级上·新疆乌鲁木齐·期中）看图计算。 求如图中∠1，∠2的度数。 9．（25-26四年级下·福建福州·期末）楼楼在折纸，（如图），是多少度？ 10．（24-25四年级上·广东惠州·期中）填一填，量一量。 (1)如图所示，有( )个锐角，( )个钝角。 (2)与线段BC相互垂直的是线段( )；与线段BC相互平行的是线段( )。 (3)量一量：∠A＝( )°。 【思维创新练】 1．（25-26四年级上·四川成都·期中）豆豆想用一副三角板拼出不同度数的角，他不能直接拼出的角是（    ）。 A．130° B．75° C．135° 2．（25-26四年级上·四川成都·期中）豆豆在用量角器测量一个三角形的一个内角时（如下图），你认为这个角的度数是（    ）。 A．40° B．140° C．无法确定 3．在下边的图中一共有（ ）个锐角．   A．4 B．5 C．7 D．6 4．（25-26四年级上·河南商丘·期中）乐乐早上6：00起床，这时钟面上时针和分针所形成的角是( )角；下午5：00放学，这时钟面上时针和分针所形成的角是( )角；晚上9：00睡觉，这时钟面上时针和分针所形成的角是( )角。 5．（24-25四年级上·重庆大足·期末）把两张正方形纸对齐一个顶点叠放在一条直线上（下图），那么∠1＝______________°。 6．如图，∠1＝125°，∠2＝( )． 7．（23-24四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。 8．操作。    （1）画出图中三角形指定底边上的高。 （2）∠1＝（    ），∠2＝（    ）。 9．如图，已知，求、、的度数。 10．（25-26四年级上·甘肃陇南·期末）如图是长方形ABCD的一半，按要求完成下面各题。 (1)量一量，（    ）度。 (2)将它补成一个完整的长方形。标出D点。 (3)分别过B点、D点画线段AC的垂线段。 (4)现在图中有（    ）组平行线，（    ）组线段互相垂直。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学四年级上册举一反三讲义思维拓展 第二单元 角的度量『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+7个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共48题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材四年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版四上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 认识直线、射线 3 知识点二 直线、射线与线段的区别 3 知识点三 点和直线、射线的关系 3 知识点四 认识角 4 知识点五 角的度量 4 知识点六 角的分类 4 知识点七 角的大小关系 4 知识点八 画角 4 知识点九 角的测量 4 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 平角、周角的认识及特征 4 高频考点二 角的大小比较 5 高频考点三 角的分类及换算 6 高频考点四 角的度量 7 高频考点五 用量角器画角 8 高频考点六 用三角尺画角 9 高频考点七 角度的计算 10 难点突破 奥数拓展 11 奥数拓展一 平角、周角的认识及特征 11 奥数拓展二 角的大小比较 13 奥数拓展三 角的分类及换算 14 奥数拓展四 角的度量 15 奥数拓展五 用量角器画角 16 奥数拓展六 用三角尺画角 17 奥数拓展七 角度的计算 18 优选真题 实战演练 20 【能力提升练】 20 【思维创新练】 24 知识点一 认识直线、射线 直线：没有端点，可以向两端无限延伸，这种线叫直线。 射线：只有一个端点，向一端无限延伸，这种线叫射线。 知识点二 直线、射线与线段的区别 1. 线段可以量出长度，直线和射线都可以无限延伸，因此无法量出长短。 2. 线段、直线、射线都是直的，线段和射线是直线上的一部分 3. 线段有两个端点，直线没有端点，射线只有一个端点。 知识点三 点和直线、射线的关系 1. 过一点能画无数条直线，过两点只能画一条直线。 2. 过一点能画无数条射线。 知识点四 认识角 角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角顶点的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 角由一个顶点和两条边组成。 角通常用符号“∠”表示。 知识点五 角的度量 角的度量单位是度。人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。 角的度量工具——量角器。量角器是把半个圆分成180等份制成的。 知识点六 角的分类 直角=90°平角=180°周角=360°锐角＜90°90°＜钝角＜180° 平角=2个直角，周角=2个平角=4个直角 知识点七 角的大小关系 角的大小关系：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 角的大小与角的两边画出的长短没关系。角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。 知识点八 画角 画60°角的具体步骤： 1. 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2. 在量角器60°刻度线的地方点一个点。 3. 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 知识点九 角的测量 测量角：量角器的中心和射线的端点重合；0°刻度线与所画的射线重合；还要看准刻度。 高频考点一 平角、周角的认识及特征 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·课后作业）观察手工折扇展开过程中形成的角，写出各角的名称。 ( )角  ( )角  ( )角  ( )角  ( )角 【答案】 锐 直 钝 平 周 【思路引导】大于0度小于90度的角为锐角，直角为90度，大于90度小于180度的角为钝角，平角为180度，周角为360度。 【规范解答】扇子打开的过程中，角度不断增大，旋转一周刚好为一个周角；所以图中依次为锐角、直角、钝角、平角、周角。 【变式训练】（25-26四年级上·陕西咸阳·期末）角度之趣！3时整，时针与分针形成的较小的夹角是( )°；7时整，时针与分针形成的较小的夹角是( )角；( )时整，时针与分针的夹角是平角。 【答案】 90 钝 6 【思路引导】根据对钟面的了解，钟面一共有12大格，每一大格的夹角是30°，观察钟面，时针指向3，分针指向12，时针与分针形成的较小角之间有3大格，7时整，时针与分针形成的较小角之间有5大格，6时整，时针和分针之间有6大格。据此作答。 【规范解答】3×30°＝90°； 5×30°＝150°，150°＞90°，为钝角； 6×30°＝180°，180°的角是平角。 3时整，时针与分针的夹角是90°；7时整，时针与分针的夹角是钝角；6时整，时针与分针的夹角是平角。 高频考点二 角的大小比较 【典例精讲】（25-26四年级上·辽宁沈阳·期末）角的大小与边的( )无关，与两边的( )有关。两点之间的所有连线中，( )最短。 【答案】 长短 张开的大小 线段 【思路引导】根据题意作图如下： 由图可知，角的大小由两边张开的大小决定，而与两条边的长短无关。 根据题意作图如下： 由图可知，两点之间的所有连线中，线段最短。 【规范解答】角的大小与边的长短无关，与两边的张开的大小有关。两点之间的所有连线中，线段最短。 【变式训练】（24-25四年级上·山东德州·期末）如图，某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应( )25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应( )25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 【答案】 ＞ ＜ 【思路引导】根据角的大小与角两边叉开的大小有关；结合图意可知：如果敌机继续往前飞，则炮筒枪与地面叉开的角度变大，所以炮筒枪与地面的角度应大于25°；如果敌机向后方逃跑，则炮筒枪与地面叉开的角度变小，所以炮筒枪与地面的角度应小于25°。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应（＞）25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应（＜）25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 高频考点三 角的分类及换算 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江温州·期末）早上8时同学们乘坐大巴开往绿野仙踪，这时时针和分针所形成的较小角是( )角，是( )°。 【答案】 钝 120 【思路引导】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分为12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，8时整，分针指向12，时针指向8，时针和分针相差4个大格，即4×30°＝120°，大于90°小于180°的角是钝角，据此解答即可。 【规范解答】早上8时同学们乘坐大巴开往绿野仙踪，这时时针和分针所形成的较小角是钝角，是120°。 【变式训练】（25-26四年级上·天津河西·期末）下面选项中，错误的是（    ）。 A．过一点能画无数条直线。 B．当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。 C．9时15分，钟面上分针和时针所夹的角是一个平角。 D．两个锐角的和一定比平角小。 【答案】C 【思路引导】根据所学的直线、垂直、钟表角度和角的性质，逐个分析选项并作答。 【规范解答】A．直线可以向任意方向无限延伸，过一点可画无数条直线，该选项说法正确。 B．当两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直。此说法符合垂直的定义，该选项说法正确。 C．9时15分，时针指向9和10之间，分针指向3，9时15分角度小于180°，所以不是平角，故该选项说法错误。 D．锐角小于90度，两个锐角和小于180度。平角为180度，因此和一定比平角小，该选项说法正确。 故答案为：C 高频考点四 角的度量 【典例精讲】（2026四年级·全国·专题练习）我会画，选择合适的方法画出下面各角。 50°         75°        105°        120° 【答案】见详解 【思路引导】先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器50刻度线的地方点一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这样就画出了50°的角； 画一条射线，将量角器中心与射线端点重合，0刻度线与射线重合，在量角器75刻度线处点一个点，以射线端点为端点，过该点画射线，得到75°角； 画射线，使量角器中心和射线端点重合，0刻度线与射线重合，在量角器105刻度线位置点一点，连接端点与该点画射线，形成105°角； 画射线，让量角器中心和射线端点重合，0刻度线与射线重合，在量角器120刻度线处点一个点，以射线端点为端点，过该点画射线，画出120°角。 【规范解答】 【变式训练】（25-26四年级上·福建泉州·期中）笑笑在观看爸爸打台球时发现，当球撞向桌边时，就会向另一个方向弹走，如图所示。 （1）量一量：∠1＝（    ）°，∠2＝（    ）°，∠3＝（    ）°，∠4＝（    ）°。 （2）根据（1）中测量的结果，你发现了什么？ 【答案】（1）40；40；50；50 （2）射入角等于射出角 【思路引导】（1）根据题意，量角时先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。使用量角器正确的测量角的大小即可解答。 （2）根据（1）可知，射入角等于射出角。 【规范解答】根据分析可知： （1）量一量：∠1＝40°，∠2＝40°，∠3＝50°，∠4＝50°。 （2）根据（1）中测量的结果，我发现：射入角等于射出角。 高频考点五 用量角器画角 【典例精讲】（25-26四年级上·河北唐山·期末）以A为顶点画一个30°的角，再以B为顶点画一个50°的角，并组成一个三角形。 【答案】 【思路引导】根据题意，使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和AB重合。在量角器30°刻度线的地方点一个点。以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此以A为顶点画一个30°的角。同理以B为顶点画一个50°的角。两个角的两条边相交的点为这个三角形的第三个顶点。据此画图。 【规范解答】图略 【变式训练】（25-26四年级上·安徽宿州·期中）画出下面度数的角。                               【答案】 【思路引导】利用量角器画角：先画一条射线，作为角的一条边；将量角器的中心与已画出的射线的端点重合，0°刻度线与该射线重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以已画的射线端点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角；据此画出各角即可。 【规范解答】画图略 高频考点六 用三角尺画角 【典例精讲】（25-26四年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）能用一副三角尺拼成75°角的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【思路引导】常见的三角尺有两种：一种是等腰直角三角尺：三个角分别为90°、45°、45°，其中1个直角，2个锐角。一种是30°、60°、90°三角尺：三个角分别为90°、30°、60°，其中1个直角，2个锐角，据此解答。 【规范解答】A．45°＋60°＝105°，不能拼成75°角，不符合题意； B．30°＋90°＝120°，不能拼成75°角，不符合题意； C．45°＋30°＝75°，能用一副三角尺拼成75°角，符合题意。 故答案为：C 【变式训练】（24-25四年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）小明用一副三角尺分别拼出四个角（如图），其中（    ）的度数是。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】一副三角板有两个三角尺，其中一个三角尺的角的度数是90°、60°、30°，另一个三角尺角的度数是90°、45°、45°。要用三角尺中的两个角拼出135°的角，只有用90°和45°才能拼出。根据三角尺角的度数，即可解答。 【规范解答】A．图中的∠1是由90°的直角和30°的锐角拼成的，所以∠1＝120°，不符合题意； B．图中的∠2是由30°的锐角和45°的锐角拼成的，所以∠2＝75°，不符合题意； C．图中的∠3是由90°的直角和45°的锐角拼成的，所以∠3＝135°，符合题意； D．图中的∠4是由60°的锐角和45°的锐角拼成的，所以∠4＝105°，不符合题意。 故答案为：C 高频考点七 角度的计算 【典例精讲】（26-27四年级上·全国·单元测试）如下图，小希想折一个纸飞机，先把一张正方形纸对折产生一条折痕，再将点B和点C都折到折痕上的点G上。已知∠1＝60°，那么∠2是多少度？ 【答案】120° 【思路引导】正方形的四个角都是直角90°，周角＝360°，由图知，∠1、∠2和2个直角组成一个周角，所以∠2＝周角－∠1－直角×2，据此计算出度数即可。 【规范解答】360°－60°－90°×2 ＝360°－60°－180° ＝300°－180° ＝120° 答：∠2是120°。 【变式训练】（25-26四年级下·湖北随州·期末）三个正方形的位置如图，∠1的度数是( )°。 【答案】15 【思路引导】正方形的四个角都是直角，观察图中信息可知，∠1＋∠2＝90°－45°、∠1＋∠3＝90°－30°，又∠1、∠2和∠3组成一个直角，据此根据∠1、∠2和∠3之间的关系，可以计算出∠1的度数。 【规范解答】由分析可知， ∠1＋∠2＝90°－45° ＝45° ∠1＋∠3＝90°－30° ＝60° 可得：（∠1＋∠2）＋（∠1＋∠3）＝45°＋60° 即：∠1＋∠2＋∠1＋∠3＝105° 又：∠1＋∠2＋∠3＝90° （∠1＋∠2＋∠1＋∠3）－（∠1＋∠2＋∠3）＝∠1 可得：∠1＝105°－90° ＝15° ∠1的度数是15°。 奥数拓展一 平角、周角的认识及特征 【典例精讲】（25-26四年级上·甘肃定西·期末）下面是一张长方形纸被折起来的图形，其中的度数是多少？ 【答案】10° 【思路引导】如图： 由对折的性质：图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变；纸折叠后，重合的角度数相等，可知∠2＝85°，∠2＋∠1＋85°＝180°，用180°－85°×2即可算出∠1的度数。 【规范解答】180°－85°×2 ＝180°－170° ＝10° ∠1的度数是10°。 【考点剖析】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变。 【变式训练】（25-26四年级上·河北廊坊·期末）把一张长方形的纸像下图一样折起来，AD＝BD，那么两条折痕AB和AC有什么关系？请你说出理由。 【答案】AB和AC互相垂直 【思路引导】根据长方形的折叠性质：折叠前后角的大小不变；以及平角是180°，据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 长方形纸沿AB折叠后，∠1和它左边被盖住的角是相等的； 沿AC折叠后，∠2和它右边被盖住的角也是相等的。 这四个角（两个∠1和两个∠2）在一条直线上，组成一个平角，所以： ∠1＋∠1＋∠2＋∠2＝180° 整理可得： 2×（∠1＋∠2）＝180° 因此： ∠1＋∠2＝90° 因为∠1＋∠2＝90°，所以AB和AC相交成直角，我们就说AB和AC互相垂直。 【考点剖析】对于折叠问题，解题关键是抓住“折叠前后角的大小不变”这一性质，再结合平角、直角的度数特点，就能快速判断线段的位置关系了。 奥数拓展二 角的大小比较 【典例精讲】如图，钟面上的时针指向9，分针指向12，分针与时针组成了1个角。再过10分钟（分针指向2），分针与时针组成的角是变大了还是变小了？ 【答案】变大了 【思路引导】分针走1小格是1分，时针也会相应的转过一定角度。可根据所组成的角是由几个大格构成的来判断角是变大了还是变小了。 【规范解答】结合图示可知：9点整，时针指向9，分针指向12，分针和时针组成的这个角，一共是3个大格。当再过10分钟（分针指向2）时，时针相应的转过一定角度，只是不会转过10。因为只过了10分钟，还不到1小时。又因为从数字10到2，所组成的角一共是4个大格，就已经大于原来3个大格组成的角了。再加上时针与数字10之间的空格，这个角就是4个大格还多，所以角变大了。 【考点剖析】本题除了具备时间、角度的相关知识，还需要一定的推理能力，具有一定难度。 【变式训练】求出下图中∠1、∠2、∠3的度数，你能发现什么？ ∠1＝________° ∠2＝________° ∠3＝________° 【答案】 125 55 125 【思路引导】根据图意可知，∠1和55°的角组成平角，∠1和∠2组成平角，∠2和∠3组成平角，据此用减法求出未知角的度数。 【规范解答】∠1＝180°－55°＝125° ∠2＝180°－∠1 ＝180°－125° ＝55° ∠3＝180°－∠2 ＝180°－55° ＝125° 奥数拓展三 角的分类及换算 【典例精讲】（25-26四年级上·云南楚雄·期中）单元知识复习时，小华整理了“角的度量”这部分知识如下： ①1个周角＝2个平角＝4个直角  ②射线只有一个端点，周角就是一条射线  ③过一点可以画出无数条直线，过两点只能画出一条直线  ④把半圆平均分成180等份，每份所对的角的大小是。 以上整理的这些知识正确的有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【答案】B 【思路引导】①周角为360°，平角为180°，直角为90°，等式成立； ②射线虽有一个端点，但周角是角而非射线； ③过一点可画无数条直线，两点确定一条直线； ④半圆对应180°，平均分成180份后每份为1°。 【规范解答】①1个周角＝360°，2个平角＝180°×2＝360°，4个直角＝90°×4＝360°，等式成立，此选项正确； ②射线只有一个端点正确，但周角是角（360°），由两条重合的边构成，并非射线，此选项错误； ③过一点可画无数条直线，两点确定一条直线，此选项正确； ④半圆对应圆心角180°，平均分成180份后每份为1°，此选项正确。 综上，正确的有①、③、④，共3个。 故答案为：B 【考点剖析】解题关键在于依据角和直线的基本概念，对小华整理的每一条“角的度量”知识进行正误判断，统计正确的条数。 【变式训练】钟面上5时整，时针与分针的夹角是( )度；从走到，分钟转动了( )度。 【答案】 150° 120° 【思路引导】在钟面上，每个格子对应的圆心角是360°÷60；当钟面上5时整时，时针指向5，分针指向12，时针和分针之间的格子数是25，用格子数乘每个格子数的圆心角度数就可以求出角度；从走到，共走了20个格子，据此解答。 【规范解答】（1）360°÷60×25 ＝6°×25 ＝150° （2）360°÷60×20 ＝6°×20 ＝120° 【考点剖析】本题考查的是钟面角的相关计算，知道在某个时间时，时针和分针分别指向哪里、每个格子度数的求法是解本题的关键。 奥数拓展四 角的度量 【典例精讲】（25-26四年级上·福建龙岩·期末）下面时刻，钟面上的时针和分针互相垂直的有（    ）。 A．①②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．③④ 【答案】D 【思路引导】先明确时针和分针垂直即夹角为90°，再逐一分析：12：30、9：30、10：35的夹角均不是90°，21：00（9：00）和3：00的夹角为90°，所以只有③④垂直，据此解答即可。 【规范解答】①12：30：时针在12和1之间，分针指向6，夹角为165°，不垂直。 ②9：30：时针在9和10之间，分针指向6，夹角为105°，不垂直。 ③21：00（即9：00）：时针指向9，分针指向12，夹角为90°，垂直。 ④3：00：时针指向3，分针指向12，夹角为90°，垂直。 ⑤10：35：时针在10和11之间，分针指向7，夹角大于90°，不垂直。 所以只有③④垂直。 故答案为：D 【考点剖析】整点时（如3：00、9：00），时针与分针易形成90°；非整点时，时针会随分钟偏移，夹角通常不是90°。 【变式训练】（25-26四年级上·全国·课后作业）3时整，时针和分针所成的较小角是( )°，是( )角；6时整，时针和分针所成的角是( )角，是( )°。 【答案】 90 直 平 180 【思路引导】钟面上，共有360°，12个大格，因此每个大格是：，钟面上3时整，时针和分针所成的较小角之间有3个大格，因此用30°乘3即可；6时整时，分针和时针所成的较小角有6个大格，因此用30°乘6即可。根据角的分类标准填空即可。 【规范解答】3时整时，分针和时针所成的较小角是：，是直角； 6时整时，分针和时针所成的角是平角：，是。 【考点剖析】此题考查的是对钟面时间的认识，以及角的分类与计算，应熟练掌握。 奥数拓展五 用量角器画角 【典例精讲】（23-24四年级上·山东德州·期中）过A点画出已知直线的平行线和垂线，以B点为顶点画一个115°的角。 【答案】 【思路引导】（1）直线没有端点，两边无限延长；把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可；把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可。 （2）画一个115°的角可据以下步骤进行：用量角器的中心和射线的端点B重合，零刻度线和射线重合；在量角器115°角刻度线的地方点一个点；以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个115°的角。 【规范解答】作图略； 【考点剖析】本题考查了直线的画法以及画指定度数的角。画角步骤为：两重合（点点重合、线线重合）；找点；连线。 【变式训练】①以AB为一边，画一个100º的角。 ②以CD为一边，画一个平行四边形，并画出它的一条高。 ③以EF为下底，画一个梯形，并画出它的一条高。 【答案】见详解 【思路引导】（1）使用量角器画100度的角；（2）（3）小题用三角尺上的直角画指定底边上的高 【规范解答】 【考点剖析】掌握画角、画平行四边形、梯形的方法，以及画高的方法是解题关键。 奥数拓展六 用三角尺画角 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·课后作业）先分别写出下面用一副三角尺拼成的角的度数，再写出角的名称。 ( )°     ( )°    ( )°       ( )° ( )角     ( )角    ( )角        ( )角 【答案】 180 120 150 75 平 钝 钝 锐 【思路引导】一套三角尺通常有两种三角板，分别是一个直角三角形（其中一个角为90°，另外两个角分别为30°和60°）和一个等腰直角三角形（一个角为90°，另外两个角均为45°），根据图中两个角的组合，计算出相应角度数即可。 【规范解答】，平角； ，钝角； ，钝角； ，锐角。 【考点剖析】解答此题需要熟练掌握两种直角三角尺的度数。 【变式训练】分别画出一个钟面上4时和11时时针与分针所成的角． 【答案】 奥数拓展七 角度的计算 【典例精讲】（25-26四年级上·上海黄浦·期末）如图是两个部分重叠的长方形，如果∠1＋∠2＋∠3＝110°∠1＝( )° 【答案】20 【思路引导】长方形的每个角都是，所以∠1＋∠3＝，已知∠1＋∠2＋∠3＝，用这个总和减去∠1＋∠3的度数，就能算出∠2＝20°，再根据∠2＋∠3＝90°算出∠3＝70°，最后用90°减去∠3的度数，即可求出∠1。 【规范解答】∠1＋∠3＝ 已知∠1＋∠2＋∠3＝ ∠2＋＝ ∠2＝＝ ∠2＋∠3＝90° ∠3＝＝ ∠1＝ ∠1＝ ∠1＝ 【考点剖析】抓住“长方形的角都是90°”这一核心性质，推导出∠1＋∠3＝90°和∠2＋∠3＝90°，再结合已知的角度和，就能快速求出∠1。 【变式训练】（23-24四年级下·江苏盐城·期末） 知识小分享 将三角形的一条边延长，与相邻的边会组成一个新的角，这个角就是三角形的一个外角。比如图1中，∠1就是三角形的一个外角，∠1和∠2组成一个平角。 图1 在图2中，我发现∠1、∠2、∠3是三角形的3个外角。 我还能求出∠1、∠2、∠3这3个角度数的和呢！我是这样想的…… 图2 小月的思考过程：用“3个平角的和”减去“三角形的内角和”，就可以求出∠1、∠2、∠3的和。 180°×3＝540°    540°－180°＝360° 你能读懂她的思考过程吗？带着你的理解，求出图3中，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和。 图3 【答案】能；360° 【思路引导】根据图2，观察发现∠1和三角形其中一个内角组成平角，∠2和三角形其中一个内角组成平角，∠3和三角形其中一个内角组成平角，平角为180°，说明∠1、∠2、∠3与三角形的3个内角共组成了3个平角；三角形的内角和为180°，那么先用180°乘3计算出3个平角的度数和，再减去三角形的内角和，可以计算出∠1、∠2、∠3的和； 根据图3，发现∠1和四边形其中一个内角组成平角，∠2和四边形其中一个内角组成平角，∠3和四边形其中一个内角组成平角，∠4和四边形其中一个内角组成平角，∠1、∠2、∠3、∠4与四边形的4个内角共组成了4个平角；多边形的内角和为（边数－2）×180°，先用180°乘4计算出4个平角的度数和，再减去多边形的内角和，可以计算出∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和；据此解答。 【规范解答】180°×4－（4－2）×180° ＝720°－2×180° ＝720°－360° ＝360° 答：能读懂小月的思考过程，∠1、∠2、∠3、∠4这4个外角的和是360°。 【考点剖析】掌握平角的度数、三角形的内角和以及多边形的内角和计算方法，是解答本题的关键。 【能力提升练】 1．（26-27四年级上·全国·课后作业）清代诗人高鼎用“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”生动描绘了儿童放风筝的情景。下图是四只放飞的风筝，风筝线的长度均是20米，风筝飞得最高的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】风筝线的长度一致，根据“风筝线与地面的夹角越大，风筝飞得越高”来判断哪个选项风筝飞得最高。 【规范解答】 D选项飞得最高。 2．（26-27四年级上·全国·课后作业）下列说法正确的有（    ）个。 ①周角是一条射线  ②平角的两条边在同一条直线上  ③钝角的一半一定是锐角  ④锐角＜钝角＜直角＜平角＜周角 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①角是由一个顶点引出的两条射线组成的，周角只是两条射线重合了，本质不是单独一条射线。 ②平角是180°，它的两条边往相反方向展开，刚好在同一条直线上。 ③钝角的范围是大于90°、小于180°，它的一半就大于45°、小于90°，符合锐角的定义，所以一定是锐角。 ④角的大小顺序：锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角。 依次判断4个关于角的说法的正误，统计正确说法的数量即可。 【规范解答】①周角是一条射线。错误。 ②平角的两条边在同一条直线上。正确。 ③钝角的一半一定是锐角。正确。 ④锐角＜钝角＜直角＜平角＜周角。错误。 正确的说法共2个。 3．（26-27四年级上·全国·单元测试）下面各图中，∠1和∠2相等的有（    ）个。      A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】第一幅图（两条直线相交）：两个角分别和同一个角拼成平角（180°），故∠1＝∠2。 第二幅图（两个直角重叠）：两个大角都是90°，同时减去中间公共的小角，剩下的角相等，∠1＝∠2。 第三幅图（普通三角形两个底角）：没有条件说明三角形是等腰三角形，无法确定两角相等，∠1≠∠2。 第四幅图（同圆，同一条弧对应的圆周角）：同弧所对圆周角相等，∠1＝∠2。 【规范解答】第1个：∠1＋中间相邻角＝180°，∠2＋中间相邻角＝180°， 说明∠1和∠2都等于180°减去同一个角，所以∠1＝∠2。 第2个：∠1＋公共角＝90°，∠2＋公共角＝90°，所以∠1＝∠2。 第3个：没有等腰条件，两个角不一定相等。 第4个：圆中同一段圆弧对应的圆周角相等，∠1＝∠2。 相等的有3个。 4． （26-27四年级上·全国·课后作业） 比直角小的角有( )，它们都是( )角；比直角大的角有( )，它是( )角。 【答案】 ①③ 锐 ④ 钝 【思路引导】大于0度小于90度的角为锐角，直角为90度，大于90度小于180度的角为钝角。 【规范解答】图中第二个角为直角，第一个角和第三个角小于直角，所以它们是锐角；第四个角比直角大，所以它是钝角。 5．（2026四年级上·全国·专题练习）列队练习时，阳阳原地向右转，此时他转了一个( )°的角；如果他原地向后转，那么他转了一个( )°的角。 【答案】 90 180 【思路引导】我们平时列队向右转时，身体从面朝一个方向转到面朝右侧相邻的正方向，刚好转出一个直角，直角是90°；原地向后转是从面朝一个方向直接转到完全相反的方向，刚好转出一个平角，平角是180°。 【规范解答】列队练习时，阳阳原地向右转，此时他转了一个90°的角；如果他原地向后转，那么他转了一个180°的角。 6．（26-27四年级上·全国·单元测试）如下图，已知∠1＝72°，那么∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )，∠1＋∠5＝( )。 【答案】 18° 162° 18° 162° 【思路引导】观察上图可知，∠5＝90°，已知∠1＝72°，可以求出∠1＋∠5的度数和；∠1与∠4组成直角，可以求出∠4的度数；∠3与∠4组成平角，知道∠4的度数后，可以求出∠3的度数；∠2与∠3组成平角，知道∠3后，可以求出∠2的度数。 【规范解答】∠4＝90°－72°＝18° ∠3＝180°－∠4 ＝180°－18° ＝162° ∠2＝180°－∠3 ＝180°－162° ＝18° ∠1＋∠5＝72°＋90°＝162° 7．（25-26四年级上·山东聊城·期末）如图是把一张长方形纸折起来后的图形，其中∠1＝40°，∠2＝( )。 【答案】70°/70度 【思路引导】折叠前后对应的角大小相等。∠1和两个∠2组成一个平角 180°，用 180° 减去∠1，再平均分成 2 份就是∠2的度数。 【规范解答】180°−40°＝140°，140°÷2＝70°。因此，∠2＝70°。 8．（25-26四年级上·新疆乌鲁木齐·期中）看图计算。 求如图中∠1，∠2的度数。 【答案】95°；40° 【思路引导】平角＝180°，∠2和140°组成平角，可求出∠2；45°、∠1和∠2三个角又组成一个平角，可求出∠1，据此解答。 【规范解答】根据分析可知： ∠2＝180°－140°＝40°； ∠1＝180°－45°－40°＝135°－40°＝95°。 9．（25-26四年级下·福建福州·期末）楼楼在折纸，（如图），是多少度？ 【答案】是。 【思路引导】折纸后，∠1与被折叠盖住的角大小相等，这两个角和∠2共同组成平角，和为180°，由此可计算∠1的度数。 【规范解答】180°−96°＝84° 84÷2＝42° 答：是。 10．（24-25四年级上·广东惠州·期中）填一填，量一量。 (1)如图所示，有( )个锐角，( )个钝角。 (2)与线段BC相互垂直的是线段( )；与线段BC相互平行的是线段( )。 (3)量一量：∠A＝( )°。 【答案】(1) 1 1 (2) CD/DC AD/DA (3)120 【思路引导】（1）小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是钝角； （2）同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直； （3）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 【规范解答】（1）如图所示，∠B是锐角，∠C和∠D是直角，∠A是钝角，所以有1个锐角，1个钝角。 （2）与线段BC相互垂直的是线段CD；与线段BC相互平行的是线段AD。 （3）通过量角器量得∠A＝120°。 【思维创新练】 1．（25-26四年级上·四川成都·期中）豆豆想用一副三角板拼出不同度数的角，他不能直接拼出的角是（    ）。 A．130° B．75° C．135° 【答案】A 【思路引导】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。将它们进行组合，可得到的角有60°－45°＝15°，60°＋45°＝105°，60°＋90°＝150°，90°＋45°＝135°，90°＋30°＝120°，30°＋45°＝75°。 【规范解答】A．用一副三角板不能拼出130°的角； B．30°＋45°＝75°，则用一副三角板能拼出75°的角； C．90°＋45°＝135°，则用一副三角板能拼出135°的角； 故答案为：A 2．（25-26四年级上·四川成都·期中）豆豆在用量角器测量一个三角形的一个内角时（如下图），你认为这个角的度数是（    ）。 A．40° B．140° C．无法确定 【答案】B 【思路引导】量角器上同一圈刻度中，先将角的顶点和量角器的中心点重合，当它的一条边对准0°的时候，另一条边对应的度数就是角的度数。据此解答。 【规范解答】图中角的一条边指向0°，另一条边指向140°，因此角度为140°。 故答案为：B 3．在下边的图中一共有（ ）个锐角．   A．4 B．5 C．7 D．6 【答案】D 【规范解答】锐角是小于90°的角，图中由1个角构成的锐角有4个，由2个角构成的锐角有2个，所以这个图中一共有6个锐角． 故答案为D． 4．（25-26四年级上·河南商丘·期中）乐乐早上6：00起床，这时钟面上时针和分针所形成的角是( )角；下午5：00放学，这时钟面上时针和分针所形成的角是( )角；晚上9：00睡觉，这时钟面上时针和分针所形成的角是( )角。 【答案】 平 钝 直 【思路引导】直角是90°角，平角是180°角，钝角大于90°且小于180°；钟面上，时针和分针形成的角度可以通过计算它们之间的格子数来确定。钟表每个大格是30°。6时，时针指向6，分针指向12，两针相差6个大格，所以角度为6×30°＝180°；5时，时针指向5，分针指向12，两针相差5个大格，所以角度为5×30°＝150°；9时，时针指向9，分针指向12，两针相差3个大格，所以角度为3×30°＝90°，据此判断。 【规范解答】6×30°＝180°，是平角； 5×30°＝150°，150°大于90°且小于180°，是钝角； 3×30°＝90°，是直角。 乐乐早上6：00起床，这时钟面上时针和分针所形成的角是平角；下午5：00放学，这时钟面上时针和分针所形成的角是钝角；晚上9：00睡觉，这时钟面上时针和分针所形成的角是直角。 5．（24-25四年级上·重庆大足·期末）把两张正方形纸对齐一个顶点叠放在一条直线上（下图），那么∠1＝______________°。 【答案】65 【思路引导】由题意得，把两张正方形纸对齐一个顶点叠放在一条直线上，∠1和∠2组成了一个直角，∠1和∠3组成了一个直角，即∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°。由图可知，45°的角、一个直角（∠1和∠2组成的角）、∠3和20°的角组成了一个平角，平角的度数为180°，直接用180°减去几个角的度数可以算出∠3的度数。∠1＋∠3＝90°，直接用90°减去∠3的度数即可算出∠1的度数。 【规范解答】∠3＝180°－45°－90°－20° ＝135°－90°－20° ＝45°－20° ＝25° ∠1＝90°－∠3 ＝90°－25° ＝65° 故∠1＝65°。 6．如图，∠1＝125°，∠2＝( )． 【答案】35° 7．（23-24四年级下·四川广元·期末）计算下面图形中未知角的度数。 【答案】125° 【思路引导】根据平角是180°，所以用180°减去125°即可求出∠3的度数；根据图示可知，∠1和∠2都是直角；然后根据四边形的内角和是360°，用360°分别减去∠1、∠2和∠3的度数，即可求出∠4的度数；如图。 【规范解答】∠3的度数： ∠4的度数： 未知角的度数是125°。 8．操作。    （1）画出图中三角形指定底边上的高。 （2）∠1＝（    ），∠2＝（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）144°；63° 【思路引导】（1）作三角形的高：从三角形顶点A向它的对边作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底； （2）四边形的内角和为360°，观察图可知∠DEA和∠EDC都为直角，直角是90°，那么∠1＝360°－36°－∠DEA－∠EDC；观察图可知∠EAB为直角，那么∠CAB＝90°－36°，三角形的内角和为180°，所以∠2＝180°－∠CAB－63°；据此解答。 【规范解答】根据分析： （1）如图：    （2）360°－36°－90°－90° ＝324°－90°－90° ＝234°－90° ＝144° 所以∠1＝144°； 180°－（90°－36°）－63° ＝180°－54°－63° ＝126°－63° ＝63° 所以∠2＝63°。 9．如图，已知，求、、的度数。 【答案】50°；130°；50° 【思路引导】观察图可知：∠1＋∠2＝90°，为直角，已知∠1＝40°，所以∠2＝90°－∠1；∠3＋∠2＝180°，为平角，所以∠3＝180°－∠2；∠3＋∠4＝180°，为平角，所以∠4＝180°－∠3，据此解答即可。 【规范解答】如图，因为，∠1＋∠2＝90°所以，∠2＝90°－40°＝50°； ∠3＝180°－50°＝130°； ∠4＝180°－130°＝50°； 答：∠2的度数为50°，∠3的度数为130°，∠4的度数为50°。 【考点剖析】本题考查角度的计算，掌握理解平角和直角的度是解决本题的关键。 10．（25-26四年级上·甘肃陇南·期末）如图是长方形ABCD的一半，按要求完成下面各题。 (1)量一量，（    ）度。 (2)将它补成一个完整的长方形。标出D点。 (3)分别过B点、D点画线段AC的垂线段。 (4)现在图中有（    ）组平行线，（    ）组线段互相垂直。 【答案】(1)65 (2) (3) (4)3；6 【思路引导】（1）由题意可知，图中给出的三角形其实是长方形ABCD被对角线AC截去的一半，量角时先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。量得∠A＝65度。 （2）明确长方形四个角都是直角，相对的两条边平行且相等。过A点，画线段AD，使其与BC平行且相等，连接CD，即为完整的长方形，以此画图即可。 （3）分别过B、D两点向对角线AC作垂线，即可得到从B到AC、从D到AC的两条垂线。 （4）完整图中共有 3 组平行线：AB 与 DC 平行，BC 与 AD 平行，过 B、过 D 所作的那两条垂线互相平行；AB与AD、BC分别垂直，CD与AD、BC分别垂直，从B到AC、从D到AC的两条垂线分别与AC垂直，可知有6组线段互相垂直。以此答题即可。 【规范解答】（1）量一量，∠A＝65度。 （2）略 （3）略 （4）现在图中有3组平行线，6组线段互相垂直。 第 1 页 共 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