第1章 有理数 全章综合训练 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 人教版数学七年级上册有理数全章同步练，以“基础认知—综合辨析—全章应用”分层设计，通过概念辨析、运算训练到实际应用，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|正负数、有理数分类等单一核心概念|选择/填空（如相反意义量表示），聚焦概念辨析与基础运算| |综合辨析|相反数与绝对值化简、绝对值非负性等交叉概念|判断/化简（如多重符号化简），强化数形结合与分类讨论| |全章应用|跨知识点综合（数轴与绝对值综合应用）|解答/情境题（如数轴动点问题），提升知识迁移与问题解决能力|

2026－2027学年度人教版数学七年级上册课时同步训练 第一章 有理数 全章综合训练 ▌课时目标 1. 系统梳理正负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值等本章核心概念，形成完整的知识网络，能准确辨析易混概念与易错点。 2. 熟练掌握数轴三要素与作图、相反数与绝对值的化简，能运用绝对值的非负性解决简单的求参数问题，提升运算与推理能力。 3. 能综合运用数轴与绝对值法则进行多个有理数的大小比较与排序，通过交叉辨析题提升数形结合思想与分类讨论意识。 ▌课时目录 知识点01：正负数概念与相反意义量的综合辨析 知识点02：有理数分类的综合判断 知识点03：数轴作图与点数对应综合 知识点04：相反数与绝对值的综合化简 知识点05：绝对值非负性在求参数中的应用 知识点06：有理数大小比较的综合应用 知识点07：正负数、数轴、相反数、绝对值的交叉辨析题 ▌知识点01：正负数概念与相反意义量的综合辨析 综合辨析要点： 1. 正数是大于0的数，负数前必须带“－”号（0除外）； 2. “具有相反意义的量”需满足意义相反且为同类量，且不包含具体数值或包含数值均可； 3. 在实际情境中正确规定正方向并用正负数表示。 易错点：带负号的数不一定是负数（如－(－2)＝2）；0既不是正数也不是负数；不是所有量都有相反意义（如身高与体重不能构成相反意义的量）。 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 2．（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）在一次数学测验中，某班的平均分是90分，把高于平均分的部分记作正数，小丽得分是97分，记作______分，小军得分分，他实际得分是______分． 3．（26-27七年级上·上海·开学考试）一个水库，如果水位下降厘米记作厘米，那么，( )表示水位上升厘米；厘米表示( )． 4．（26-27六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． ▌知识点02：有理数分类的综合判断 有理数按定义分为整数和分数，按符号分为正有理数、0、负有理数。 1. 综合判断需注意：整数包括正整数、0、负整数； 2. 分数包括正分数、负分数，有限小数和无限循环小数属于分数（有理数）； 3. π等无限不循环小数不属于有理数； 4. 分类要求不重不漏，一个数只能属于一个类别。 常见题型：给出一组数，按要求填入相应的集合圈。 5．（2026·江西南昌·一模）下列各数中，是正有理数的是（   ） A． B．3 C．0 D． 6．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）在，0，，，，，1，，，中，正数有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26七年级上·四川自贡·期中）实数，0，中，负分数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． ▌知识点03：数轴作图与点数对应综合 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。 作图规范：画直线，定原点，标正方向箭头，取统一单位长度标数。 点与数的对应：所有有理数都能用数轴上的点表示，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 综合应用：已知数轴上两点距离求对应数，或根据点的位置比较大小、判断相反数关系。 9．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）已知有理数：，2.5，，0，． (1)画出数轴； (2)把上面的有理数在数轴上表示出来，并用“<”连接． 10．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）完成以下要求： (1)画一条数轴； (2)在（1）中所画的数轴上表示各数：，2，，4； (3)把（2）中的数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接． 11．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）送餐机器人在一条东西走向的走道上为客人服务，从取餐点出发，先向东移动到达3号桌处，然后向西移动到达2号桌处，再返回取餐点． (1)以取餐点为原点，东方向为正方向，画出数轴（1个单位长度代表），并在数轴上表示出三处的位置． (2)送餐机器人一共移动了多少米？ 12．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段检测）一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东骑了到达刘红家，继续向东骑了到达李明家，然后又向西骑了到达王刚家，最后回到饭店．以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示，点O，A，B，C分别表示饭店、刘红家、李明家、王刚家． (1)请画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置． (2)王刚家距刘红家多远？ ▌知识点04：相反数与绝对值的综合化简 相反数：只有符号不同的两个数，0的相反数是0，几何上位于原点两侧且到原点距离相等。 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，恒非负。 综合化简： 1. 求一个数的相反数（a的相反数是－a）； 2. 多重符号化简（看负号个数，奇负偶正）； 3. 化简绝对值（先判断数的符号，再利用绝对值代数意义去符号）。 例如：化简－|－3|，先算绝对值|－3|＝3，再取相反数得－3。 13．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据相反数的意义化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌知识点05：绝对值非负性在求参数中的应用 绝对值的非负性：对于任意有理数a，|a|≥0，最小值为0。 若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。 例如：若|x|＋|y|＝0，则x＝0且y＝0；若|x－2|＋|y＋3|＝0，则x－2＝0且y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3。 这是初中阶段求参数的重要方法，需注意等号右侧必须为0。 17．（26-27七年级上·湖北·开学考试）下列数中，最大的负数是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 19．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 20．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）已知，则 ______，______． ▌知识点06：有理数大小比较的综合应用 比较法则：正数＞0＞负数；两个正数绝对值大的大；两个负数绝对值大的反而小。 综合应用： 1. 多个数排序，先将负数比较并排好，再排0，最后排正数； 2. 结合数轴，利用点的位置直观判断； 3. 含字母的大小比较（如已知a＜0，比较a与－a）。 注意：两个负数比较是易错点，务必强调“绝对值大的反而小”。 21．（2026·河南平顶山·三模）下列四个海拔中，最低的是（     ） A．0米 B．米 C．米 D．10米 22．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·广东云浮·期末）比较大小：______  (填“”“”或“”) ． 24．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． ▌知识点07：正负数、数轴、相反数、绝对值的交叉辨析题 常见交叉辨析题型： 1. 判断语句正误（如“任何数的绝对值都大于0”—错误，0的绝对值等于0）； 2. 结合数轴考查相反数与绝对值（如数轴上点A表示－2，则点A到原点距离是|－2|＝2，相反数是2）； 3. 利用相反数和绝对值的性质进行混合化简与计算； 4. 分类讨论思想的应用（如已知|a|＝3，则a＝±3）。 解题关键：紧扣定义，数形结合，注意特殊情况（尤其是0）。 25．（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）下列说法：①一定是正数；②若满足，则一定不是负数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④如果，那么．其中正确的说法有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 26．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的说法是________．（填序号） 27．（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）下列关于有理数的说法：①绝对值等于本身的数只有；②一个正数的相反数是负数；③相反数等于本身的数只有个；④最小的负整数是，其中所有正确的说法有___________．（填序号） 28．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②当时，；③如果，那么；④几个有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；其中正确的说法有_______（填写序号） ▌全章训练 一、选择题 1．（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．（2026·甘肃兰州·中考真题）的相反数是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 4．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 6．（2026·内蒙古巴彦淖尔·三模）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 7．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·安徽宿州·模拟预测）从公元前230年攻打韩国到公元前221年灭齐国结束，共计10年的时间，秦国结束了中国自春秋以来长达500多年的诸侯割据纷争的局面，建立了中国历史上第一个君主中央集权国家，即秦朝．如果2026年可记为年，那么公元前221年可记为__________年． 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 11．（25-26九年级下·广西桂林·自主招生）化简______． 12．（2026·福建厦门·三模）中国古代很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用红色和黑色的算筹分别表示正数和负数，依此规则，根黑色算筹表示的数是________． 13．（2026·海南省直辖县级单位·一模）在，0，2，5这四个数中，最小的数是________． 14．（25-26七年级上·广东湛江·期中）在中，正有理数的个数为_______，其中正整数的个数为_______；负有理数的个数为______． 15．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则_____．（填“”“”或“”） 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 三、解答题 17．（25-26七年级上·重庆万州·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 18．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在数轴上表示出下列各数：，，，0，，并用“”号把它们连接起来． 则． 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）（1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 20．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度人教版数学七年级上册课时同步训练 第一章 有理数 全章综合训练 ▌课时目标 1. 系统梳理正负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值等本章核心概念，形成完整的知识网络，能准确辨析易混概念与易错点。 2. 熟练掌握数轴三要素与作图、相反数与绝对值的化简，能运用绝对值的非负性解决简单的求参数问题，提升运算与推理能力。 3. 能综合运用数轴与绝对值法则进行多个有理数的大小比较与排序，通过交叉辨析题提升数形结合思想与分类讨论意识。 ▌课时目录 知识点01：正负数概念与相反意义量的综合辨析 知识点02：有理数分类的综合判断 知识点03：数轴作图与点数对应综合 知识点04：相反数与绝对值的综合化简 知识点05：绝对值非负性在求参数中的应用 知识点06：有理数大小比较的综合应用 知识点07：正负数、数轴、相反数、绝对值的交叉辨析题 ▌知识点01：正负数概念与相反意义量的综合辨析 综合辨析要点： 1. 正数是大于0的数，负数前必须带“－”号（0除外）； 2. “具有相反意义的量”需满足意义相反且为同类量，且不包含具体数值或包含数值均可； 3. 在实际情境中正确规定正方向并用正负数表示。 易错点：带负号的数不一定是负数（如－(－2)＝2）；0既不是正数也不是负数；不是所有量都有相反意义（如身高与体重不能构成相反意义的量）。 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【答案】D 【详解】解：∵规定表示向东走，即向东为正方向，正负数表示一组相反意义的量， ∴负数表示与向东相反的方向，即向西， 因此表示向西走. 2．（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）在一次数学测验中，某班的平均分是90分，把高于平均分的部分记作正数，小丽得分是97分，记作______分，小军得分分，他实际得分是______分． 【答案】 85 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选平均分90分为标准记为0分，超出部分为正，低于的部分为负，直接得出结论即可． 【详解】解：选平均分90分为标准记为0分，超过部分为正，不足的部分为负， 则：小丽得97分，超出平均分7分，记作分； 小军得分记作分，低于平均分5分，他实际得分是（分）． 3．（26-27七年级上·上海·开学考试）一个水库，如果水位下降厘米记作厘米，那么，( )表示水位上升厘米；厘米表示( )． 【答案】 厘米 水位下降厘米 【分析】正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，如果规定其中一个为正，那么相反的量就用负数表示． 【详解】解：由题意可知，一个水库，如果水位下降厘米记作厘米， 那么，厘米表示水位上升厘米； 厘米表示水位下降厘米． 4．（26-27六年级上·上海·开学考试）如果小明向南走 80 米，记作 米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________米，这时他们两人相距________米． 【答案】 130 【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相反，两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解． 【详解】由正负数表示相反意义的量可得，向北走50米记作米， 计算两人相距的距离： （米）． ▌知识点02：有理数分类的综合判断 有理数按定义分为整数和分数，按符号分为正有理数、0、负有理数。 1. 综合判断需注意：整数包括正整数、0、负整数； 2. 分数包括正分数、负分数，有限小数和无限循环小数属于分数（有理数）； 3. π等无限不循环小数不属于有理数； 4. 分类要求不重不漏，一个数只能属于一个类别。 常见题型：给出一组数，按要求填入相应的集合圈。 5．（2026·江西南昌·一模）下列各数中，是正有理数的是（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据正有理数的定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：有理数包含整数和分数，正有理数是大于0的有理数，无限不循环小数是无理数， A 、是无限不循环小数，属于无理数，不符合要求； B、 是正整数，属于正有理数，符合要求； C、 既不是正数也不是负数，不符合要求； D 、是负整数，不符合要求． 故选B． 6．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）在，0，，，，，1，，，中，正数有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正数：大于0的数为正数，熟练掌握正数的定义是解题关键．根据正数的定义解答即可得． 【详解】解：，，，都小于0，都是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，，1，，都大于0，都是正数，共有5个， 故选：C． 7．（25-26七年级上·四川自贡·期中）实数，0，中，负分数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】负分数是小于0的分数，包括可化为分数的小数． 【详解】解：实数，0，中，负分数为，有3个． 8．（25-26七年级上·河南三门峡·期末）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 【答案】正数集合：{①⑤…} 分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数集合：{①⑥…} 【分析】本题考查有理数的分类，需明确正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归类，即可求解． 【详解】解：正数是大于的数和都大于所以正数集合：{①⑤…} 分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴、、、都满足分数的定义所以分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数是正整数和0，是正整数，属于非负整数所以非负整数集合：{①⑥…} ▌知识点03：数轴作图与点数对应综合 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。 作图规范：画直线，定原点，标正方向箭头，取统一单位长度标数。 点与数的对应：所有有理数都能用数轴上的点表示，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 综合应用：已知数轴上两点距离求对应数，或根据点的位置比较大小、判断相反数关系。 9．（25-26七年级上·江西抚州·阶段检测）已知有理数：，2.5，，0，． (1)画出数轴； (2)把上面的有理数在数轴上表示出来，并用“<”连接． 【答案】(1)数轴如下； (2)将各数在数轴上表示如图所示： ，． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴三要素画出数轴即可； （2）先把数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 10．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）完成以下要求： (1)画一条数轴； (2)在（1）中所画的数轴上表示各数：，2，，4； (3)把（2）中的数按从小到大的顺序排列，并用“”号连接． 【答案】(1) 解：画一条数轴如下： ． (2) 在（1）中所画的数轴上表示各数：，2，，4如下所示： ． (3) 【分析】本题考查了画数轴、利用数轴上点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的三要素画出数轴即可得； （2）利用数轴的性质表示这些点即可得； （3）根据数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 11．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）送餐机器人在一条东西走向的走道上为客人服务，从取餐点出发，先向东移动到达3号桌处，然后向西移动到达2号桌处，再返回取餐点． (1)以取餐点为原点，东方向为正方向，画出数轴（1个单位长度代表），并在数轴上表示出三处的位置． (2)送餐机器人一共移动了多少米？ 【答案】(1) 如图. (2) 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，有理数的混合运算， （1）以取餐点为原点，东方向为正方向，画出数轴（1个单位长度代表），并在数轴上表示出，，三处的位置即可； （2）机器人一共移动的路程：，即可得出结论； 【详解】（1）略 （2） 答：送餐机器人一共移动了. 12．（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段检测）一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向东骑了到达刘红家，继续向东骑了到达李明家，然后又向西骑了到达王刚家，最后回到饭店．以饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示，点O，A，B，C分别表示饭店、刘红家、李明家、王刚家． (1)请画出数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置． (2)王刚家距刘红家多远？ 【答案】(1) 依题意作图如下： (2)王刚家距刘红家 【分析】本题考查了数轴的简单应用，明确数轴的表示方法及数轴上的点与点所表示的数的关系是解题的关键． （1）根据题意画数轴，并在数轴上表示出点O，A，B，C的位置； （2）利用数轴求得点A，C到原点O的距离都等于2，再求王刚家与刘红家的距离． 【详解】（1）略 （2）由数轴可知，点A，C到原点O的距离都等于2， ． 所以王刚家距刘红家． 答：王刚家距刘红家． ▌知识点04：相反数与绝对值的综合化简 相反数：只有符号不同的两个数，0的相反数是0，几何上位于原点两侧且到原点距离相等。 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，恒非负。 综合化简： 1. 求一个数的相反数（a的相反数是－a）； 2. 多重符号化简（看负号个数，奇负偶正）； 3. 化简绝对值（先判断数的符号，再利用绝对值代数意义去符号）。 例如：化简－|－3|，先算绝对值|－3|＝3，再取相反数得－3。 13．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）式子存在最大值，这个最大值是（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性． 根据绝对值的非负性可知，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最大值是2026． 故选：B． 14．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据相反数的意义化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：表示的相反数，所以； （2）解：表示的相反数，所以； （3）解：表示的相反数，所以； （4）解：表示的相反数，所以． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据符号化简的同号得正、异号得负法则，逐个计算即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ▌知识点05：绝对值非负性在求参数中的应用 绝对值的非负性：对于任意有理数a，|a|≥0，最小值为0。 若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0。 例如：若|x|＋|y|＝0，则x＝0且y＝0；若|x－2|＋|y＋3|＝0，则x－2＝0且y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3。 这是初中阶段求参数的重要方法，需注意等号右侧必须为0。 17．（26-27七年级上·湖北·开学考试）下列数中，最大的负数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用负数大小比较规则，通过比较各数绝对值的大小确定最大负数． 【详解】解：，，，， ∵负数比较大小，绝对值越小则数越大，且， ∴， ∴最大的负数是． 18．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 19．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 20．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）已知，则 ______，______． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零即可求解． 【详解】解： ， ，且 ， 且． ，， 解得，． 故答案为：，． ▌知识点06：有理数大小比较的综合应用 比较法则：正数＞0＞负数；两个正数绝对值大的大；两个负数绝对值大的反而小。 综合应用： 1. 多个数排序，先将负数比较并排好，再排0，最后排正数； 2. 结合数轴，利用点的位置直观判断； 3. 含字母的大小比较（如已知a＜0，比较a与－a）。 注意：两个负数比较是易错点，务必强调“绝对值大的反而小”。 21．（2026·河南平顶山·三模）下列四个海拔中，最低的是（     ） A．0米 B．米 C．米 D．10米 【答案】C 【详解】解：∵， ∴海拔最低的是米． 22．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 因此四个数中最小的数是． 23．（25-26八年级上·广东云浮·期末）比较大小：______  (填“”“”或“”) ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简和，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 24．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【答案】 如图 ． 【详解】解： ▌知识点07：正负数、数轴、相反数、绝对值的交叉辨析题 常见交叉辨析题型： 1. 判断语句正误（如“任何数的绝对值都大于0”—错误，0的绝对值等于0）； 2. 结合数轴考查相反数与绝对值（如数轴上点A表示－2，则点A到原点距离是|－2|＝2，相反数是2）； 3. 利用相反数和绝对值的性质进行混合化简与计算； 4. 分类讨论思想的应用（如已知|a|＝3，则a＝±3）。 解题关键：紧扣定义，数形结合，注意特殊情况（尤其是0）。 25．（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）下列说法：①一定是正数；②若满足，则一定不是负数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；④如果，那么．其中正确的说法有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义逐项判断即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴一定是正数，该选项说法正确； ②∵， ∴，即一定不是负数，该选项说法正确； ③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，该选项说法正确； ④如果，当同时为正数时，；当同时为负数时，，该选项说法错误； 综上，正确的说法有①②③，共个， 故选：． 26．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的说法是________．（填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查有理数的性质和绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据绝对值的意义逐项判断即可 【详解】解：①若、互为相反数，则，这是相反数的定义，故该说法正确； ②若，则或，即或，故该说法错误； ③由，得，则，即，故该说法错误； ④若，则，且，则，即，故该说法正确． 因此正确的说法是①④． 故答案为：①④． 27．（25-26七年级上·甘肃临夏·阶段检测）下列关于有理数的说法：①绝对值等于本身的数只有；②一个正数的相反数是负数；③相反数等于本身的数只有个；④最小的负整数是，其中所有正确的说法有___________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了绝对值，相反数和负整数，掌握相关定义和意义是解题关键． 根据绝对值的意义，相反数和负整数定义逐一判断即可． 【详解】解：①绝对值等于本身的数是和正数，原说法错误，不符合题意； ②一个正数的相反数是负数，说法正确，符合题意； ③相反数等于本身的数只有个，也就是，说法正确，符合题意； ④最大的负整数是，原说法错误，不符合题意； 故答案为：②③． 28．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段检测）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②当时，；③如果，那么；④几个有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；其中正确的说法有_______（填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，有理数的大小比较，有理数的乘法法则等知识﹒根据相反数的定义，绝对值的意义，有理数的大小比较，有理数的乘法法则逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：①只有符号相反的数互为相反数，故原说法错误，不合题意； ②当时，故原说法正确，符合题意； ③如果，那么，故原说法正确，符合题意； ④几个非零的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数，故说法错误，不合题意﹒ 故答案为：②③ ▌全章训练 一、选择题 1．（26-27七年级上·福建泉州·开学考试）如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据图示，数轴上的一个小格表示2，箭头所指的位置，在10到20之间，第3个格，可知箭头表示的数是16． 【详解】解：根据图示，数轴上的一个小格表示2，则箭头表示的数是16． 2．（2026·甘肃兰州·中考真题）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数是． 3．（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点及题意求解即可． 【详解】解：A．点M在和之间，离0大约2点多，比3离0近，说法正确； B．从点M到之间有、、0、1、2这5个整数，说法正确； C．M在与之间，说法正确； D．M到0之间只有和两个负整数，不是3个，所以D不正确． 4．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温； 【详解】解：四个城市的平均气温分别为，，，. ∵ 正数大于一切负数， ∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小. ∵ ，，且， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得. ∴ 最低气温是； 5．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 6．（2026·内蒙古巴彦淖尔·三模）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：负数的绝对值等于它的相反数，是负数， ∴. 7．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从开始的整数分别对应圆上的、、、，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， ∴数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ∵， ∴数轴上表示的数与圆上表示的点重合， 故选：A ． 8．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 二、填空题 9．（2026·安徽宿州·模拟预测）从公元前230年攻打韩国到公元前221年灭齐国结束，共计10年的时间，秦国结束了中国自春秋以来长达500多年的诸侯割据纷争的局面，建立了中国历史上第一个君主中央集权国家，即秦朝．如果2026年可记为年，那么公元前221年可记为__________年． 【答案】 【分析】按照题中要求，公元年份记为正数，公元前与公元是相反意义的量，因此公元前年份记为负数，即可得到结果． 【详解】解：公元前年可记为年． 10．（26-27七年级·浙江·暑假作业）在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【答案】2 【详解】解：在，，0，这四个有理数中， 非负数有：，0共2个． 11．（25-26九年级下·广西桂林·自主招生）化简______． 【答案】 【详解】解：． 12．（2026·福建厦门·三模）中国古代很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用红色和黑色的算筹分别表示正数和负数，依此规则，根黑色算筹表示的数是________． 【答案】 【分析】由题意可知：红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，因此根黑色算筹表示的数是． 13．（2026·海南省直辖县级单位·一模）在，0，2，5这四个数中，最小的数是________． 【答案】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于0，0大于一切负数，对给出的四个数进行比较，即可得到最小的数． 【详解】解：对四个数按从小到大排列可得因此四个数中最小的数是． 14．（25-26七年级上·广东湛江·期中）在中，正有理数的个数为_______，其中正整数的个数为_______；负有理数的个数为______． 【答案】 5 2 4 【分析】本题考查了正有理数、正整数、负有理数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义，结合百分数、小数、分数的特征逐一筛选判断． 先明确正有理数是大于0的整数和分数（含有限小数、无限循环小数、百分数），正整数是大于0的整数，负有理数是小于0的整数和分数（含对应小数、百分数）；再对所给数字逐一归类，分别统计各类数的个数． 【详解】解：先明确各类数的定义，再逐一分析给定数字： 给定数字：、、、、、、、、； 正有理数（大于0的有理数）：、、、、，共5个； 正整数（大于0的整数）：、，共2个； 负有理数（小于0的有理数）：、、、，共4个． 故答案为：5；2；4． 15．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴得到，，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 三、解答题 17．（25-26七年级上·重庆万州·期中）把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】4，，0，；，，；，，；4，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数、正分数、负有理数，非负整数的定义是解题的关键． 根据整数、正分数、负有理数，非负整数的定义即可解答． 【详解】解：整数集合； 正分数集合； 负有理数集合； 非负整数集合． 18．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在数轴上表示出下列各数：，，，0，，并用“”号把它们连接起来． 【答案】 ，， 数轴如图所示： 则． 【分析】先化简各个数字，再在数轴上表示出各个数，根据数轴上右边的数总比左边的数大比较即可． 【详解】略 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）（1）把下列各式化为最简后，填在横线上； ①_____；②_____；③_____． （2）比较下各小题中两个数的大小，并简单的说明理由． ①与；   ②与；   ③与0 【答案】（1）①；②；③2； （2）①∵，，且， ∴． ②∵，， ∴． ③∵，， ∴． 【分析】本题考查了化简多重符号和绝对值、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键． （1）根据化简多重符号和绝对值的方法求解即可得； （2）有理数的大小比较法则：正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小，据此逐个解答即可得． 【详解】解：（1）①；②；③， 故答案为：①；②；③2． （2）①略 ②略 ③略 20．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． / 学科网（北京）股份有限公司 $