第1章 有理数 典例精讲与强化训练 2026-2027学年人教版 数学七年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-实际建模”为主线，系统整合有理数核心知识，通过典例精讲与分层训练，强化抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|数轴比较法、有理数分类规则、正负数实际应用法则|从数轴表示（概念可视化）到分类整合（整数/分数/负数）再到实际建模（折返跑问题），构建“表示-分类-应用”逻辑链| |强化训练|21题|相反数定义、数轴三要素判断、绝对值性质应用、分类讨论思想|选择（概念辨析）→填空（性质迁移）→解答（综合运用），覆盖有理数核心概念到跨情境应用，培养推理意识与应用意识|

第1章有理数典例精讲与强化训练 典例精讲 1．在数轴上表示下列各数：，，，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 2．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里： 1，，，，，，，，0，， (1)整数集合{                    …} (2)分数集合{                    …} (3)负数集合{                    …} 3．一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 强化训练 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 3．如果水位升高3米记作米，那么水位下降5米记作（    ） A．0米 B．米 C．米 D．米 4．的绝对值是（   ） A． B． C．4 D． 5．如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 6．下列6个数：、、，0、、，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 7．下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 8．下列有理数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 9．有理数在数轴上对应的点到原点的距离为，则有理数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 10．数轴上表示数，的点如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．下列各数：，，1，0，，，，，中，正数有___个，负数有___个． 12．计算：___________． 13．比较大小：___________（用“>、<、=”填空） 14．三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 15．已知点，，，在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是点__________． 16．已知整数同时满足下列两个条件：①在数轴上位于原点左侧；②绝对值大于2且小于6．写出一个符合条件的的值：_____．（写出一个即可） 三、解答题 17．在数轴上表示下列各数，并比较这些数的大小． ，1，，3.5，，0 18．把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． (1)有理数集合：{______ …}； (2)非正整数集合：{_______ …}； (3)正分数集合：{_______…}． 19．如图，点A，B在数轴上，点C表示的数是，点D表示的数是2． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)在数轴上表示出点C，点D； (3)将点A，C，D表示的数由小到大排列出来． 20．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 21．阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： (1)比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1． ， 把各数表示在数轴上， 用“”号连接为：． 【分析】此题主要考查了数轴和有理数大小的比较，掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 先化简，再把各数表示在数轴上，最后比较大小． 【详解】略 2．(1)1，，，0， (2)，，，，， (3)，，，，， 【分析】本题考查有理数的分类，化简绝对值，多重符号． （1）根据整数的定义进行解答； （2）根据分数的定义进行解答； （3）根据负数的定义进行解答． 【详解】（1）解：，， 整数集合{1，，，0，…} （2）分数集合{，，，，，…} （3）负数集合{，，，，，…} 3．(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 强化训练解析 1．C 【详解】解：根据初中数学相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数． 只有符号改变后是， ∴的相反数是． 2．A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 3．C 【分析】本题考查正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确一对相反意义的量中，一个记为正，另一个就用负表示．明确题目中正负的规定后即可直接作答． 【详解】解：∵水位升高3米记作米， ∴水位下降5米记作米． 4．C 【分析】利用负数的绝对值是它的相反数即可求解． 【详解】解：． 5．C 【详解】解：数轴上表示数1的点是点P． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了有理数的分类等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据有理数的意义，将所给的数一一分析，再作出判断． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数， 故不属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 综上所述，共有5个有理数， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了有理数的分类与定义． 根据有理数的相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误； 整数分为正整数、0和负整数，B选项错误； 有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确； 0是有理数，D选项错误； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查有理数的大小比较．先化简各选项的数，再依据“正数大于负数，两个正数比较，数值大的数更大”的法则判断即可． 【详解】解：∵， 又∵正数大于负数，且， ∴， ∴最大的数是， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了数轴，属于基础题型，分类讨论是关键． 分该点在原点的右侧和该点在原点的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：因为有理数在数轴上对应的点到原点的距离为3， 所以当该点在原点的右侧时，当该点在原点的左侧时， 所以有理数是或． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查数轴上数的大小比较及相反数的性质，关键是根据数轴判断数的正负与绝对值大小：数轴上右侧的数总比左侧的数大，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，绝对值越大的负数数值越小，绝对值越大的正数数值越大． 【详解】解：由数轴可知，，且． ∵正数的相反数是负数，负数的相反数是正数， ∴，． 又∵， ∴，． ∴四个数从小到大的顺序为：． 故选：C． 11． 3 5 【详解】解：正数有1、、；负数有、、、、， 因此正数有3个，负数有5个． 12． 0 【分析】本题考查有理数的绝对值、相反数，掌握绝对值、相反数的有关概念是解题关键，先计算括号内的负负得正，得到2，然后计算绝对值内的差值为0，绝对值为0，最后取负得0． 【详解】解：计算：，则原式变为 ， 计算绝对值内：，故 ， 最后取负：， 故答案为 ：0． 13． 【分析】比较两个负数的大小，先求出两个数的绝对值，比较绝对值的大小，绝对值大的原数反而小． 【详解】解：，， ∵， ∴． 14．液态氧 【分析】本题考查正数和负数，根据有理数的大小比较方法，比较三种液体的沸点温度． 【详解】解：由表可知，液态氧的沸点为，液态酒精的沸点为，液态氨的沸点为． 由于， 因此液态氧的沸点最低． 故答案为：液态氧． 15． 【分析】本题考查了在数轴上表示实数，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值越大的数离数轴原点越远，进行作答即可． 【详解】解：结合数轴，点离数轴原点最远，则点对应的数的绝对值最大． 故答案为：． 16．（答案不唯一） 【分析】此题考查了数轴和有理数，绝对值的性质，根据题干中的两个条件求解即可． 【详解】解：∵整数在数轴上位于原点左侧 ∴ ∵绝对值大于2且小于6 ∴或或． 故答案为：（答案不唯一）． 17． ， 【详解】解：用数轴表示如下： ∴各数从小到大顺序排列为： 18．(1)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ (2)⑤⑦ (3)②③⑧ 【分析】本题主要考查了有理数的分类，计算绝对值和化简多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据有理数的定义可得答案； （2）非正整数是小于或等于0的整数，据此可得答案； （3）根据正分数的定义可得答案． 【详解】（1）解：，，，， 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…}； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； （2）解：非正整数集合：{⑤⑦…}； 故答案为：⑤⑦； （3）解：正分数集合：{②③⑧…}； 故答案为：②③⑧． 19．(1)，3 (2) 如图所示，即为所求； (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，熟知有理数与数轴的关系是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置即可得到答案； （2）根据点C和点D表示的数在数轴上描点即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得，点A表示的数为，点B表示的数为3； （2）略 （3）解：由数轴可得． 20．(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 21．(1)， (2)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $