5.3.1形积问题教案 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该教案聚焦形积问题，通过饮料罐改造实例导入，引导学生分析量与等量关系，用表格梳理信息，衔接一元一次方程解法，搭建从实际问题到方程模型的学习支架。 以“变中有不变”为主线，结合等长变形（铁丝围长方形）、等体积变形（圆柱倒水）实例，培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识），用方程表达等量关系体现数学语言（模型意识）。方法总结与检测结合，助学生掌握步骤，为教师提供清晰流程，提升教学效率。

5.3.1　形积问题教案 课题 5.3.1　形积问题 主备 课时安排 1 教学 目标 1. 通过剖析图形问题中的基本等量关系，构建方程完成问题求解. 2. 进一步认识一元一次方程在处理实际问题时的应用. 3. 借助实例对部分数学猜想进行验证，提升学生发现问题与解决问题的能力. 教学重难点 教学重点：通过梳理图形问题里的基本等量关系，列写方程完成问题求解 教学难点：通过分析图形变化过程中的不变量，提升学生分析问题与解决问题的能力 教具 书本、教材、多媒体 教 学 过 程 程 一、探究新知 某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6 cm， 12 cm 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 6 cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ （1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ （2）设新包装的高度为 x cm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ 二、合作探究 探究点一：等长变形问题 用一根长为60 cm的铁丝围成一个长方形. （1）如果长方形的长比宽多4 cm，求此时长方形的长和宽各是多少？ （2）如果长方形的长比宽多8 cm，此时长方形的面积与（1）中相比有何变化？ 分析：本题中的等量关系是“长方形的周长=铁丝的长度”.在变形过程中，虽然长方形的长和宽发生了变化，但周长始终保持不变，即“变中有不变”. 解：（1）设长方形的宽为x cm，则长为(x+4) cm. 根据题意，得2[x+(x+4)]=60. 解得x=13. 所以x+4=17. 答：此时长方形的长为17 cm，宽为13 cm. （2）设长方形的宽为y cm，则长为(y+8) cm. 根据题意，得2[y+(y+8)]=60. 解得y=11. 所以y+8=19. 此时长方形的面积为19×11=209(cm²). 由（1）可知，原长方形的面积为17×13=221(cm²). 因为209<221，所以面积减少了. 答：此时长方形的面积比（1）中减少了. 方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程. 探究点二：等体积变形问题 一个底面直径为10 cm，高为36 cm的圆柱形玻璃杯中装满了水.现将这些水倒入另一个底面直径为20 cm的圆柱形玻璃杯中，求此时水面的高度. 分析：本题中的等量关系是“水的体积不变”.虽然容器的形状（底面积）和水面高度发生了变化，但水的总体积始终保持不变. 解：设倒入另一个玻璃杯后水面的高度为x cm. 根据题意，得. 化简，得25×36=100x. 解得x=9. 答：此时水面的高度为9 cm. 方法总结：在等体积变形问题中，尽管物体的形状、底面积或高度发生改变，但其体积保持不变.解题的关键是抓住“体积相等”这一不变量，利用圆柱体积公式V=Sh（或V=πr²h）建立方程. 探究点三：面积变化问题 将一个长、宽、高分别为15 cm，12 cm和8 cm的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12 cm的正方形的长方体钢坯.试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较. 解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高.再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可. 解析：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10. 锻造前长方体钢坯的表面积为2×（15×12＋15×8＋12×8）＝2×（180＋120＋96）＝792（cm2）， 锻造后长方体钢坯的表面积为2×（12×12＋12×10＋12×10）＝2×（144＋120＋120）＝768（cm2）. 因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大. 方法总结：长方体的表面积为六个面的面积之和，其中上下、左右、前后面积分别相等. 三、课堂检测 1. 一个圆柱形水桶，底面半径为20 cm，高为50 cm.若将其中的水全部倒入一个底面半径为10 cm的圆柱形容器中，求此时容器中水面的高度. 解：设此时容器中水面的高度为x cm. 根据题意，得π×20²×50=π×10²×x. 解得x=200. 答：此时容器中水面的高度为200 cm. 2. 用一根长为100 cm的铁丝围成一个正方形和一个圆. （1）若正方形的边长与圆的直径相等，求正方形的边长； （2）比较正方形和圆的面积大小. 解：（1）设正方形的边长为x cm，则圆的直径为x cm. 根据题意，得4x+πx=100. 解得. 答：正方形的边长为 cm. （2）正方形的面积为x²，圆的面积为. 因为，所以. 即圆的面积小于正方形的面积. 四、课堂小结 本节课我们主要学习了利用一元一次方程解决形积变化问题. 1. 等长变形问题：抓住“周长不变”这一关键，建立关于周长的等量关系. 2. 等体积变形问题：抓住“体积不变”这一关键，利用体积公式建立方程. 3. 面积变化问题：在体积不变的前提下，先求出未知维度，再计算并比较表面积. 解题的一般步骤：审题→设未知数→找等量关系→列方程→解方程→检验→作答. 五、布置作业 1. 完成教材习题5.4 第1、2、3题. 2. 完成练习册第48页对应课时练习. 板 书 设 计 → 教 学 反 思 本节课用“等积变形”问题引导学生体会数学建模思想。多数学生能抓住“体积不变”列方程求解，达成教学目标。但部分学生设未知数不带单位、作答不完整，需加强规范训练。基础较弱的学生理解几何变化与代数方程的联系有困难，今后应增加直观演示（如多媒体展示水倒入容器的过程），助其建立空间观念。同时可鼓励多角度思考，如探讨表面积变化，拓展思维深度。 学科网（北京）股份有限公司 $