5.3.2 一元一次方程的应用-盈亏问题-教学设计-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元一次方程应用中的盈亏问题，核心是把握“物品总数不变”的等量关系。课堂通过学校买笔记本的生活化情境导入，承接上节课几何公式等量关系，转向生活分配问题，借助表格和线段图作为学习支架辅助分析数量关系。 此资料以核心素养为导向，情境导入培养数学眼光，表格与线段图发展几何直观，引导学生从“套公式”转向找等量关系建立模型意识。例题涵盖“盈+盈”“盈+亏”等类型，分层练习含拓展题，提升推理能力。助力学生建立代数思维，为教师提供清晰教学路径和分层资源。

5.3.2一元一次方程的应用—— 盈亏问题 教学设计 一、教材分析 学生已经学习了用一元一次方程解决简单的实际问题，具备了初步的代数建模能力。本课承接第1课时的面积、容积问题，从“几何公式中的等量关系”转向“生活中的分配问题中的等量关系”。盈亏问题作为一类经典的数学应用题，其核心特征是“分配同一批物品时，因每份数量不同导致有余或有缺”。该问题不仅是方程应用的重要载体，更是培养学生逻辑思维、等量关系提取能力的绝佳素材。盈亏问题的等量关系是“物品总数不变”，即：按第一种方案分配的总量 = 按第二种方案分配的总量。这类问题在教材中位于方程应用的重要位置，是培养学生“不变量意识”的典型载体。在现实生活中，盈亏问题广泛存在于商品买卖、资源分配、工程进度等多个领域。通过本课的学习，不仅能加深学生对一元一次方程的理解，还能让学生体会到数学与生活的紧密联系，提升解决实际问题的能力，为后续学习更复杂的方程应用题奠定坚实基础。 二、学情分析 七年级学生正处于从算术思维向代数思维过渡的关键期。他们虽然已经掌握了一元一次方程的基本解法，但在面对文字较长、数量关系较隐蔽的盈亏问题时，往往感到无从下手。学生容易受小学算术思维（如盈亏公式）的定势影响，进入初中后，学生需要从“套公式”转向“找等量关系列方程”，这一转变是本课的重点和难点，他们难以主动寻找题目中的等量关系。此外，对于“盈+盈”“亏+亏”“盈+亏”等不同情境下的不变量分析，部分学生可能存在认知障碍，他们对“盈余”和“亏损”的理解往往停留在表面，因此，教学中需要借助贴近生活的情境，引导学生通过表格和线段图等可视化工具理清数量关系，帮助他们将“两次分配”的等量关系显性化。逐步建立用方程解决盈亏问题的模型。 三、教学目标 1.理解盈亏问题的基本特征，掌握“盈+盈”“亏+亏”“盈+亏”三类问题的等量关系；能找出“物品总数不变”这一等量关系，熟练运用一元一次方程解决各类盈亏问题 2.经历“实际问题—建立模型—求解验证”的过程，学会通过列表、画线段图等方式分析复杂数量关系，将分配问题中的数量关系可视化，提升代数建模能力和逻辑推理能力，体会方程建模的规范步骤。 3.在探究盈亏问题的过程中，感受数学的严谨性与实用性，增强克服困难的信心，培养合作交流意识和探索精神，渗透模型观念（将分配问题抽象为方程模型）、逻辑推理（从两次分配中提炼等量关系）、应用意识（感受方程在分配问题中的优越性）。 四、教学重难点 重点：理解盈亏问题的基本结构，找到“物品总数不变”的等量关系，掌握盈亏问题，能正确列出方程并求解。 难点：准确分析题意，理解“盈余”和“亏损”在方程中的表达方式，以及“一盈一亏”“双盈”“双亏”三种情况的统一处理。 五、教学方法与手段 采用“情境导入—探究新知—巩固练习—总结提升”的教学模式。以启发式教学为主，结合小组合作探究，引导学生主动思考。教学手段上，利用多媒体课件展示生活情境，借助表格和线段图辅助分析，使抽象的数量关系直观化，降低学习难度。 六、教学过程 （一）情境导入（约5分钟） 1. 回顾：上节课我们学习了用方程解决面积、容积问题，等量关系来自几何公式。本节课我们换一类问题——“分配问题”。 教师创设情境：“同学们，学校准备为七年级同学购买一批笔记本作为奖品。如果每人发3本，则多出10本；如果每人发4本，则还差15本。请问参加评奖的同学有多少人？共有多少本笔记本？” 学生尝试用算术方法或方程解决。教师引导：“这类问题中，无论怎么分配，笔记本的总数是不变的。这就是我们今天要学习的‘盈亏问题’。” 通过生活化情境，激发学习兴趣，自然引出课题。 （二）探究新知（约15分钟） 1. 典型例题讲解 例题1（盈+盈型）： 某班同学去划船，如果每条船坐6人，则多出2条船；如果每条船坐8人，则多出3条船。问这个班有多少同学？共有多少条船？ 解：设共有 x 条船。 根据“同学总数不变”列方程： 6(x 2) = 8(x 3) 解方程： 6x 12 = 8x -24 -12 + 24 = 8x 6x 12 = 2x x = 6 则同学人数为：6 (6 2) = 24（人）。 答：这个班有24名同学，共有6条船。 例题2（盈+亏型）： 某工厂生产一批零件，如果每天生产50个，则比计划多生产20个；如果每天生产45个，则比计划少生产10个。问计划生产多少天？这批零件共有多少个？ 解：设计划生产 x 天。 根据“零件总数不变”列方程： 50x -20 = 45x + 10 解方程：50x - 45x = 10 + 20 5x = 30 x = 6 则零件总数为：50 × 6 - 20 = 280（个）。 答：计划生产6天，这批零件共有280个。 2. 等量关系分析方法 教师引导学生总结： 不变量：无论是哪种分配方案，总量（如人数、物品数、工作量等）保持不变。 等量关系：用两种不同的方式表示同一个不变量，令其相等。 分类讨论： 盈+盈 亏+亏 盈+亏 3. 列方程解应用题的完整步骤 审题 → 设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 解方程 → 检验作答。 （三）巩固练习（约12分钟） 基础题：小明买苹果，若买3千克则剩2元，若买4千克则差3元。苹果单价是多少？小明带了多少钱？ 答案：设单价为 x 元，则 3x + 2 = 4x - 3， 解得 x = 5，钱数为 3×5 + 2 = 17 元。 提高题：宿舍分配，每间住4人则有20人无房，每间住6人则有一间空房。求宿舍间数和学生人数。 答案：设宿舍 x 间，则 4x + 20 = 6(x -1)， 解得 x = 13，学生人数为 4 ×13 + 20 = 72 人。 拓展题：某工程，甲队单独做需10天，乙队单独做需15天。现两队合作，中途甲队休息2天，结果共用了7天完成。问乙队做了几天？ （四）课堂小结（约5分钟） 师生共同总结： 1. 盈亏问题的核心是“总量不变”。 2. 解题关键是找准等量关系，用两种方法表示同一总量。 3. 注意区分“盈+盈”“亏+亏”“盈+亏”三种类型，避免符号错误。 4. 列方程后务必检验结果是否符合实际意义。 当堂检测： 1.把一些书分给几个同学，如果每人分5本，则多出10本；如果每人分6本，则多出2本。问有多少名同学？多少本书？ 2.某校安排学生住宿，如果每间宿舍住6人，则有4人没地方住；如果每间宿舍住8人，则有一间宿舍只住了4人，其余都住满。问宿舍有几间？学生有几人？ 3.某班学生去划船，如果每条船坐6人，则有一条船只坐了4人；如果每条船坐4人，则需要多租2条船。问学生有几人？原计划租几条船？ （五）布置作业（约3分钟） 必做题：1.教材练习题 2.学校给住宿生分配宿舍，如果每间住4人，则有20人没有床位；如果每间住8人，则恰好住满。问有多少间宿舍？多少名学生？ 3.学校给一批学生分笔记本，如果每人分3本，则多出20本；如果每人分4本，则还差25本。问有多少名学生？多少本笔记本？ 选做题：某班同学植树，若每人植3棵，则剩12棵；若每人植4棵，则有一人少植1棵。求班级人数和树苗总数。 拓展题：小明妈妈买了一些苹果分给小朋友，如果每人分3个，则多出7个；如果每人分5个，则最后一个小朋友分不到5个（但至少分到1个）。问有多少个小朋友？多少个苹果？（提示：设小朋友有x人，苹果总数 = 3x + 7。按方案二，最后一个小朋友分到a个（1 ≤ a ≤ 4），则5(x-1) + a = 3x + 7，即2x = 12-a，x = (12-a)/2。因为x为正整数，a可取2或4。当a=2时，x=5，苹果=22；当a=4时，x=4，苹果=19。） 七、板书设计 盈亏问题 一、核心：总量不变 二、类型与等量关系 1. 盈+盈：总量 = A + 盈 = B + 盈 2. 亏+亏：总量 = A 亏 = B 亏 3. 盈+亏：总量 = A + 盈 = B 亏 三、解题步骤 审题 → 设元 → 找等量 → 列方程 → 解 → 验答 八、教学反思 本课的核心是让学生从“套盈亏公式”转向“找等量关系列方程”。盈亏问题的等量关系“物品总数不变”是天然且清晰的，学生容易理解。但“盈”和“亏”在方程中的符号表达（加余数、减不足）是难点，需要通过多个例题让学生反复体会。例2中“最后一个分不到5个”的情境，将盈亏问题与不等式联系起来，体现了思维的进阶。课堂小结中归纳三种类型的统一处理方式，有助于学生建立“不变量意识”——无论哪种盈亏，本质都是“同一个总量，两种分配方案”。以下是我们作为教师值得持续思考的几个问题： 1. 学生是否真正理解“不变量”思想，而非机械套用公式？ 1. 在“盈+亏”类型中，学生是否容易混淆加减符号？需加强对比训练。 1. 小组合作是否有效？部分学生是否依赖他人？应设计分层任务，确保人人参与。 1. 时间分配是否合理？探究环节是否给予学生足够思考时间？ 1. 后续可引入表格法或线段图法，帮助视觉型学生更好理解数量关系。 课后练习题： A层（基础感知）： 1. 幼儿园给小朋友分糖果，如果每人分3颗，则多出10颗；如果每人分5颗，则还差6颗。问有多少个小朋友？多少颗糖果？ 2. 某校安排学生住宿，如果每间住5人，则有12人没床位；如果每间住6人，则恰好住满。问有几间宿舍？多少名学生？ B层（探究体验）： 3. 学校给数学竞赛获奖学生发奖品，如果每人发5本笔记本，则多出12本；如果每人发7本，则多出2本。问获奖学生有几人？笔记本共有多少本？ 4. 某车间生产一批零件，如果每天生产50个，则比计划多生产100个；如果每天生产40个，则比计划少生产200个。问计划生产多少天？这批零件共多少个？ 选做题：用方程方法证明小学盈亏公式：人数 = (盈+亏)÷(两次分配差)，物品总数 = 每份数×人数+盈（或-亏） 学科网（北京）股份有限公司 $