1.3 矩形的性质与判定 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦矩形的性质与判定，通过生活实例（图片、课本等）和活动平行四边形框架演示，联系平行四边形旧知引出矩形定义，构建知识脉络。 以探究式教学为主，通过测量猜想、严谨证明（如矩形性质定理推导）培养推理能力，利用教具和多媒体增强几何直观，分层例题与变式训练提升应用意识，助力学生发展逻辑思维，教师可依托清晰流程高效教学。

3 矩形的性质与判定 课题 第1课时 矩形的性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P11-13 教学目标 1.理解并掌握矩形的性质定理，会用矩形的性质定理进行推导证明。 2.经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理能力。 教学重难点 重点：理解并掌握矩形的性质定理，会用矩形的性质定理进行推导证明。 难点：灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法。 教学准备 多媒体课件、量角器、直尺、矩形纸片、活动平行四边形活动框架。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 下面几幅图片中都含有一些特殊的平行四边形。观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 学生回答：这些特殊的平行四边形均是矩形。 这节课我们就来研究矩形的性质。（教师板书课题： 第1课时 矩形的性质） 教师活动：同学们观察显示的图片后，有什么联想？矩形的四个角有什么关系？� 学生活动：测量教科书上第三幅图片中矩形四个角的角度，易知：矩形有四个角都是直角。 教师活动：同学们思考一下，平行四边形的变化过程，当有一个角是直角时，会产生什么图形？（教师多媒体演示或用活动的平行四边形框架演示） 学生活动：有一个角是直角的平行四边形。 【归纳总结】 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 教师活动：除了教科书上所展示的矩形的例子，同学们还能想到生活中有哪些矩形的例子？ 学生回答：课本、黑板、电脑屏幕、篮球场等。 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 从学生已掌握的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念。在矩形定义的基础上，使学生拓展思维，加深对矩形定义的理解。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 尝试·思考： 矩形有哪些特殊性质？你是怎样发现的？（教师板书画出一个矩形，如下图） 学生回答：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。与学习菱形的形式时类似，通过“看着像”“用尺子和量角器量了”发现的。 教师活动：探索的结论“矩形的四个角相等，对角线相等”是否正确呢？我们必须加以证明，那么证明的环节有哪些？如何证明这两个性质呢？请同学们先思考。在学生思考、交流的基础上，展示证明过程。 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O。求证： （1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°； （2）AC=DB。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等）， AB∥DC（矩形的对边平行）。 ∴∠ABC+∠BCD=180°。 又∵∠ABC=90°， ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC（矩形的对边相等）。 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC=BD。 【归纳总结】 由此得到了矩形的两个性质定理： 定理：矩形的四个角都是直角。 定理：矩形的对角线相等。 【探究2】 观察·思考： 如图1，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E，将矩形纸片沿AC剪开，得到图2所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 教师活动：课件出示动画，鼓励学生自主量一量，再发现结论，并进行猜想。 学生活动：BE是Rt△ABC的中线，BE=AC。 教师活动：教师根据学生的探索的结论总结，并给出定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。并追问：同学们能尝试证明这个定理吗？ （学生独立完成，并相互交流） 【归纳总结】 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【教材例题】 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOB=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）， AC=BD（矩形的对角线相等）， OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的对角线互相平分）。 ∴OA=OD。 ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD=（180°-120°）=30°。 ∴BD=2AB=2×2.5=5。 通过探究得到猜想，然后通过严谨的证明成为定理，才能用来解决其他问题。教学中，定理的证明也可以让学生自己完成，再与教材中的过程对比。无论采用哪种方式，都应鼓励学生先独立思考、分析证明思路。 通过“观察·思考”引导学生根据“矩形的对角线相等且互相平分”的性质归纳出直角三角形上中线与斜边的关系。在探索出结论之后，要求学生写出已知、求证，并进行证明。需要注意的是，上面“观察·思考”中问题的条件和该定理的条件不尽相同。证明这一定理的关键是构造辅助图形（矩形），构造矩形的方法不唯一。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 矩形的四个角都是直角 例1 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若∠BAG=20°，则∠DAE=（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 45° 答案：B 变式训练 如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=6，点E为BC上一点，EA平分∠BED，则BE的长为 。 答案：2 考点2 矩形的对角线相等 例2 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若BO=3，则AC的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 5 答案：A 变式训练 如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）。 A. 3 B. 2 C. D. 4 答案：C 考点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 例3 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作DH⊥BC，垂足为H，连接OH，S菱形ABCD=96，则OH的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 10 答案：A 变式训练 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=8，BC=12，则EF的长为_______。 答案：2 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“矩形的四个角都是直角”的性质，此性质一般跟求角度以及在直角三角形利用勾股定理求线段的长结合考查。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“矩形的对角线相等”的性质，此性质一般会跟等腰三角形结合考查。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质，此性质一般会跟菱形或三角形结合考查。 4.随堂训练，巩固新知 1. 下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 答案：C 2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（ ） A. 2条 B. 4条 C. 5条 D. 6条 答案：D 3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是（ ） A. 2.2 cm B. 2.3 cm C. 2.4 cm D. 2.5 cm 答案：D 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝3 cm，则EF＝_______cm。 答案：3 5. 已知：如图，矩形ABCD中，AB长8 cm，对角线比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE。 解：设AD＝x cm，则对角线长（x＋4）cm， 在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＋82＝（x＋4）2， 解得x＝6，则AD＝6 cm。 利用面积公式，可得AE·DB＝AD·AB， 解得AE＝4.8 cm。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.矩形的性质： 定理：矩形的四个角都是直角。 定理：矩形的对角线相等。 2.直角三角形斜边中线的性质 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本习题1.3中的T1、T2、T3、T6、T7。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 矩形的性质 一、矩形的性质 二、直角三角形斜边中线的性质 投影区 1.定理 2.定理 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，以便提高学生的探索创新思维和创造能力。 首先，在教学过程中充分利用学生手中的矩形实物，如书本，课桌等，让学生通过观察、测量和思考讨论等活动，得出矩形性质。 然后在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识。 最后引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，开拓学生的思路，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质定理，体验数学学习过程中的探索性和挑战性以及推理的严谨性。 反思，更进一步提升。 课题 第2课时 矩形的判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P13-14 教学目标 1.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。 2.能够运用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力。 3.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。 教学重难点 重点：矩形判定定理的证明和应用。 难点：学生独立完成证明的过程，发展合情推理能力。 教学准备 多媒体课件、平行四边形活动框架。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 上节课我们学习了矩形的定义和性质，请同学们找一找，生活中有哪些地方存在矩形？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不是矩形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严格的证明，这节课，我们来学习矩形的判定。（教师板书课题： 第2课时 矩形的判定） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：你能写出矩形性质定理的逆定理吗？它们都是真命题吗？为什么？与同伴进行交流. 师生活动：教师板书写出矩形两条性质，引导学生根据菱形的性质考虑矩形的判定方法。 教师活动：我们可以发现：有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形。同学们能证明这两个结论吗？ 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°。 ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∴四边形ABCD是矩形。 已知：如图，在▱ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD。 求证：▱ABCD是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AB∥DC。 又∵BC=CB，AC=DB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴∠ABC=∠DCB。 ∵AB∥DC， ∴∠ABC+∠DCB=180°。 ∴∠ABC=∠DCB=×180°=90°。 ∴▱ABCD是矩形（矩形的定义）。 【归纳总结】 定理：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：如图，在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 定理：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形。 【教材例题】 例2 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求▱ABCD的面积。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD。 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4。 ∴OA=OB=OC=OD=4。 ∴AC=BD=2OA=2×4=8。 ∴▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2， ∴BC===4。 ∴S▱ABCD=AB·BC =4×4=16。 引导学生考虑满足什么条件的平行四边形是矩形，教学时也可以根据实际情况进行适当的调整。当活动框架变化到两条对角线相等时，这个内角看上去是直角，此时平行四边形看上去是矩形。教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想。在此基础上再进行严格的证明。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。可能会有学生没有证明▱ABCD是矩形，却想当然地认为它是矩形而直接计算。对此，教师应适时地加以启发引导。 3.学以致用，应用新知 考点1 对角线相等的平行四边形是矩形 例1 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的是（ ） A. ∠BAD=90° B. ∠BAD=∠ABC C. ∠BAO=∠OBA D. ∠BOA=90° 答案：D 变式训练 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M，N，P，Q分别为AB，BC，CD，DA的中点，有下列四个推断， ①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ可能不是四边形； ②若AC=BD，则四边形MNPQ一定是菱形； ③若AC⊥BD，则四边形MNPQ一定是矩形； ④若四边形ABCD是菱形，则四边形MNPQ也是菱形。 所有正确推断的序号是_________。 答案：②③ 考点2 有三个角是直角的四边形是矩形 例2 依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）。 A B C D 答案：B 变式训练 如图，▱ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由。 解：四边形EFGH是矩形。理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC。 ∴∠DAB+∠ABC=180°。 ∵AE，BE分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠EAB=∠BAD，∠EBA=∠ABC。 ∴∠EAB+∠EBA=∠BAD+∠ABC=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°。 ∴∠AEB=90°。 ∴∠HEF=90°。 同理：∠EFG=90°，∠FGH=90°。 ∴四边形EFGH是矩形。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定定理，此定理一般会给出对角线添加判定条件。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“有三个角是直角的四边形是矩形”的判定定理。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，直线EF∥MN，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ ） A. 菱形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 答案：C 2. 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A. AB＝CD B. AD＝BC C. AB＝BC D. AC＝BD 答案：D 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是矩形 答案：C 4. 已知：如图，在▱ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC。 求证：四边形BEDF是矩形。 证明：在▱ABCD中，AB=CD。 ∵M是AD边的中点， ∴MA=MD，且MB=MC， 即△ABM≌△DCM。 ∴∠A=∠D。 又∵∠A+∠D=180°， ∴∠A=∠D=90°。 ∴四边形ABCD是矩形。 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC。 （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE为矩形。 解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠ACB。 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴∠B=∠EDC，AB=DE。 ∴∠ACB=∠EDC。 ∴△ADC≌△ECD。 （2）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°。 ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE平行且等于BD，即AE平行且等于DC。 ∴四边形ADCE是平行四边形。 而∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 矩形的判定： 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 定理：对角线相等的平行四边形是矩形。 定理：有三个角是直角的四边形是矩形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P16习题1.3中的T4、T5、T8、T9、T10。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 矩形的判定 一、定义法 二、对角线相等 三、有三个角是直角 提纲掣领，重点突出。 教后反思 在探究矩形的判定定理过程中，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华。几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急。此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法。还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $