封闭图形的植树问题(教学设计)-2026-2027学年人教版五年级上册数学

该小学数学教学设计聚焦“封闭图形的植树问题”，核心规律为“棵数=间隔数”。通过复习直线植树三种模型及错例辨析导入，借助“化曲为直”转化思想，将封闭图形与直线“一端栽一端不栽”模型建立联系，构建完整知识脉络。 以新课标核心素养为引领，通过小组画图模拟圆形剪开过程培养几何直观，对比表格梳理直线与封闭图形模型差异发展推理意识，分层练习与错例辨析落实模型意识。帮助学生养成画图分析和审题习惯，为教师提供清晰教学流程与差异化教学策略。

2026年秋季人教版五年级上册数学同步教学设计 单元名称 数学广角 课题 封闭图形的植树问题 课时内容 1课时 教材分析 本课对应教材 P117：张伯伯准备在圆形池塘周围种树。池塘的周长是 120m，如果每隔 10m 种一棵，一共要种多少棵树？教材给出转化思路：把封闭图形转化成直线上的植树问题。 课本没有直接给出公式，引导学生思考转化方法：化曲为直。把圆形池塘边线剪开拉直，封闭图形就等价于直线中 “一端栽一端不栽”，棵数等于间隔数。本节课是第一课时内容延伸，完成植树问题完整模型建构。教材例题以圆形池塘为封闭模型，暗示封闭图形可以包括圆形、椭圆形、正方形等闭合环形。本节课核心是区分总长和周长，区分直线场景与封闭环形场景。所有教学素材来源于课本，不增加课外陌生情境。本节课还要对第 1 课时直线三类模型进行复习回顾、错例辨析，打通新旧知识，帮助学生建立完整知识体系。 学情分析 经过第 1 课时学习，大部分学生能够记住直线植树三种模型公式。但班级两极分化现象突出：优等生可以自主完成知识迁移；中等生容易混淆封闭图形是否需要 “+1”“‑1”；学困生抽象思维弱，很难想象 “化曲为直” 的剪开过程，审题容易混淆题目给出的是 “总长” 还是 “周长”。 学生共性短板：①审题习惯差，读题只看数字，忽略 “周围、环形、池塘一圈” 这类关键文字；②习惯于死记硬背公式，不理解模型背后一一对应的道理；③遇到变式不会画图辅助思考；④订正错题只修改答案，不去分析错因；⑤容易把封闭图形和两端都栽模型混淆，错误套用棵数 = 间隔数 + 1。 教学处理：设置复习检测、错例辨析环节；小组内动手画图模拟剪开圆形；设置分层练习，基础题落实课本例题，对比辨析题面向中等生，变式拓展面向优等生；学困生允许借助画图辅助思考，降低抽象理解难度；反复训练读题圈画关键词的解题习惯。 学习目标 模型意识：理解封闭图形植树模型，掌握封闭图形棵数 = 间隔数；理解化曲为直的转化方法，明白封闭图形剪开拉直等价于直线 “一端栽一端不栽”；能够辨别直线、封闭图形两类间隔问题场景，综合运用植树模型解决问题。 几何直观：通过画图想象圆形剪开拉直的过程，借助简易示意图理解封闭图形棵数与间隔数一一对应关系，养成画图分析应用题的习惯。 推理意识：能够有理有据说出封闭图形棵数等于间隔数的原因，不机械记忆公式；能够对比直线植树与封闭图形植树模型的异同。 应用意识：做题主动圈画关键词，区分总长与周长；落实 “读题圈关键词 — 判断场景 — 列式计算 — 检验” 完整解题流程；能够简单分析练习中的错题错因。 教学重难点 重点：封闭图形植树：棵数 = 间隔数；间隔数 = 周长 ÷ 间距；能区分直线与封闭图形两类植树场景。 难点：理解 “化曲为直” 转化思想；辨析封闭图形和直线植树模型差异；审题识别封闭类题目关键条件。 教学过程 一、复习旧知，错例辨析导入新课（8 分钟） 师：上课，上一节课我们学习直线上植树的三种情况。请大家拿出任务单，完成复习填空。（2 分钟独立完成） 复习填空： 间隔数 =（）÷（） ①两端都栽：棵数 =（） ②一端栽一端不栽：棵数 =（） ③两端都不栽：棵数 =（） 师：时间到，谁来汇报答案？ 生 1：间隔数 = 总长 ÷ 间距；两端都栽棵数 = 间隔数 + 1；一端栽一端不栽棵数 = 间隔数；两端都不栽棵数 = 间隔数‑1。 师：很好，掌握得不错。老师这里有一份同学作业错例：一条直路 100m，一端栽一端不栽，每隔 5m 栽树，这位同学列式：100÷5+1=21 棵。大家看一看错在哪里？同桌互相说一说。（1 分钟同桌交流） 生 2：题目是一端栽一端不栽，不需要加 1，直接 100÷5=20 棵。他错误套用两端都栽公式。 师：说得很好。很多同学做题不读条件，拿到数字就乱套 + 1、‑1。做植树问题第一件事，干什么？ 生齐：判断属于哪一种栽树情况。 师：前面我们研究全部都是直直小路。现实生活中，树不一定种在直路上。大家看课本 117 页例题，请全班齐读题目。 生齐读：张伯伯准备在圆形池塘周围种树。池塘的周长是 120m，如果每隔 10m 种一棵，一共要种多少棵树？ 师：大家仔细读题，找一找这道题和我们上节课直路植树题目有什么不一样？可以用笔圈出关键词。 生 3：是圆形池塘的 “周围” 种树，给的是 “周长 120m”，不是小路的总长。 师：观察得非常仔细。这是封闭环形，首尾连在一起，没有明确起点终点。那这种封闭圆形种树，棵数和间隔数又是什么关系呢？今天我们就一起来研究封闭图形的植树问题。板书课题。 二、小组合作探究：封闭图形植树规律（17 分钟） 师：课本提示我们，可以尝试把封闭图形转化成直线上植树的问题。怎么把圆形变成直的？4 人小组合作探究，给大家 4 分钟时间。要求：①在任务单画一个小圆，沿着圆周点上树；②想象把圆形的边线剪开一处，拉成一条线段；③想一想剪开之后，线段两端的树是什么状态，对应直线哪一种植树类型。小组内部互相说一说你的发现。 （教师巡视课堂，重点指导学困生：提示沿着圆圈画点；对小组进行点拨：圆形本来起点和终点是同一个位置，剪开之后这个重合点就分开了） 师：哪个小组愿意上台分享小组探究成果？ 小组代表：我们画了圆形，沿着圆圈每隔一段画一棵树。圆形一圈，第一棵树和最后一棵树是重合在一起。我们想象把圆圈剪开拉直，原来重合的那一个点，只保留一棵树，线段一头有树，另一头就没有树。所以剪开之后就变成直线 “一端栽一端不栽”。 师：这就是数学很重要转化思想 ——化曲为直。把封闭的曲线剪开拉直转化为我们学过的直线问题。全班一起思考：一端栽一端不栽，棵数和间隔数是什么关系？ 生齐：棵数等于间隔数。 师：由此推导得出封闭图形植树规律：封闭图形，棵数 = 间隔数。 师追问：那封闭图形计算间隔数的时候，要用什么去除以间距？总长还是周长？ 生 4：用周长，因为树沿着一圈周长栽种。间隔数 = 周长 ÷ 间距。 师：我们回到课本例题，池塘周长 120m，间距 10m，请大家独立列式算一算一共种多少棵树。 生独立计算，师巡视。 生 5 汇报：120÷10=12，间隔数是 12，封闭图形棵数等于间隔数，所以一共 12 棵。 师：老师有一个问题要问问大家，为什么封闭图形不需要 + 1，也不需要‑1 呢？结合画图说一说你的理解。 生 6：圆形是闭合的圈，第一棵树和最后一棵树会碰到一起，会重合，不会多出一棵树，棵数刚好和间隔数量一样。 师：说得非常到位。我们再用小数据验证，降低难度。假设圆形池塘周长 30m，每隔 10m 种一棵树，算一算间隔数和棵数。大家口算。 生：30÷10=3，间隔数 3，棵数 3 棵。 师：我们想象剪开拉直，就是一条直线，一端栽一端不栽，3 个间隔对应 3 棵树，验证我们规律成立。 师：教师追问拓展，如果封闭图形不是圆形，是正方形花坛，沿着花坛四周种树，这个规律还成立吗？小组简单讨论 1 分钟。 生 7：也成立。正方形也是封闭图形，把正方形四周边线剪开拉直，同样变成一端栽一端不栽，棵数等于间隔数。 师小结：只要是首尾相连的封闭图形，圆形、正方形、长方形，全部适用规律：棵数 = 间隔数。 师：现在我们把直线、封闭图形做对比，请大家填写任务单对比表格： 场景 计算依据 棵数与间隔数关系 直线两端都栽 总长 棵数 = 间隔数 + 1 直线一端栽一端不栽 总长 棵数 = 间隔数 直线两端都不栽 总长 棵数 = 间隔数1 封闭图形（圆形、正方形四周） 周长 棵数 = 间隔数 师：大家观察表格，哪两种情况的棵数和间隔数关系是一样的？ 生 8：直线一端栽一端不栽和封闭图形，棵数都等于间隔数。但是计算的时候，一个用总长，一个用周长，条件不一样。 师提醒大家：千万不要因为公式结果一样，就把两种场景混为一谈，读题一定要看清是直路还是四周环形。 三、分层巩固练习，错例辨析（12 分钟） 分层说明：基础题全体学生完成；辨析对比题中等以上完成；拓展变式题留给学有余力学生，学困生可以画图辅助。 师：基础练习 1（课本逻辑原生习题）：圆形花坛，周长 80m，沿着花坛周围每隔 4m 摆放一盆花，一共摆放多少盆花？ 学生独立做题。 生汇报：80÷4=20（盆），封闭图形，棵数等于间隔数。 师：基础练习 2（对比辨析，重点）：直路 80m，路的一边，一端摆放花盆，另一端不摆放，每隔 4m 摆一盆，一共摆多少盆？ 生：80÷4=20（盆）。 师：两道题结果都是 20，大家说一说两道题有什么本质不同？ 生 9：第一题是封闭圆形，用周长；第二题是直直小路，一端栽一端不栽，用总长。场景不一样。 师：老师出示高频错例：有同学做第一题，列式 80÷4+1=21 盆。错在哪里？谁来分析错因？ 生 10：错误把封闭图形当成直线两端都栽。封闭图形不需要 + 1。做题没有读题看到 “周围” 关键词。 师：很好，我们做题目第一步，用笔圈画关键词：看到 “周围、环形、池塘一圈” 就是封闭图形；看到小路一边就是直线。 师：拓展变式（学有余力学生完成）：一个正方形人工湖四周植树，周长是 160m，每隔 8m 栽一棵树，四个角都要栽。一共栽多少棵？ 生汇报：封闭图形，160÷8=20（棵）。 师点拨：封闭图形就算四个角都种树，也不需要额外加树，首尾重合，棵数依旧等于间隔数。很多同学在这里会错误再加 4 棵。 师：综合小结做题步骤，师生一起梳理： ①读题圈画关键词：判断是直线还是封闭图形；封闭图形找周长，直线找总长。 ②直线题目再进一步判断栽树类型：两端都栽 / 一端栽一端不栽 / 两端都不栽。 ③算出间隔数。 ④对应模型列式。 ⑤回头检验，想一想结果是否符合现实逻辑。 师：请大家想一想，如果现在给我们棵数和间距，能不能反过来求周长？举例子：环形跑道边上插彩旗，每隔 6m 插一面，一共插 50 面。环形跑道周长多少？ 生思考汇报：封闭图形棵数等于间隔数，间隔数 50，周长 = 50×6=300 米。 四、课堂小结与课堂小测（3 分钟） 师：今天这节课，我们学习封闭图形植树问题，谁来完整梳理本节课学到知识？ 生 11：封闭图形植树，棵数等于间隔数。利用化曲为直，把封闭图形剪开拉直，就等价于直线一端栽一端不栽。封闭图形要用周长除以间距。做题要区分直线和封闭图形两种场景，圈画题目关键词。 师补充：我们完整学习植树问题两大类：直线三类情况，封闭图形一类情况。做题千万不能死记公式，一定要结合题目条件判断，可以画图帮助自己思考。简单课堂小测：圆形水池周长 90m，每隔 9m 种一棵树，一共种多少棵？ 生齐答：10 棵。 板书设计 封闭图形的植树问题 化曲为直：封闭图形 ➜ 直线：一端栽一端不栽 封闭图形：棵数 = 间隔数 间隔数 = 周长 ÷ 间距 例：池塘周长 120m，间距 10m 120÷10=12（棵） 对比回顾： 直线：看总长，分三种栽树类型 封闭图形：看周长，棵数 = 间隔数 ⚠️做题步骤：圈关键词→判断场景→列式→检验 回顾反思 本课依托教材圆形池塘例题开展探究，借助小组画图、想象剪开的活动落实化曲为直的转化思想，加入复习检测、错例辨析、表格对比环节，打通直线植树旧知与封闭图形新知。课堂设置分层练习照顾班级两极分化，反复训练学生圈画关键词的审题习惯。但依旧有部分学困生很难想象 “化曲为直” 抽象过程，容易混淆周长与总长，还会对正方形四角种树产生思维误区。后续练习课需要增加画图实操训练，多展示典型错例，引导学生主动分析错题错因，减少死记硬背公式，巩固完整解题流程。 学科网（北京）股份有限公司 $