江苏省徐州市青藤中学2026-2027学年高三上学期数学午练9.1

**基本信息** 聚焦函数与导数核心模块，以题载法构建“概念理解-性质应用-综合突破”的递进式训练体系，强化逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合运算|1|定义法求交集|集合概念→不等式求解→集合运算| |不等式应用|1|基本不等式配凑法|代数式变形→不等关系构建→最值求解| |函数性质|2|单调性比较法、奇偶性定义法|函数定义→性质判定→大小比较/图像特征| |导数综合|1|导数分类讨论+分离参数|函数单调性→不等式恒成立→参数范围| |函数周期性与对称性|1|奇偶性与对称性互推|函数性质→周期推导→图像对称关系|

高三数学午练习9.1 一、单选题 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．下列函数是奇函数且在定义域上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 5．已知对于，恒有，且当时，.对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 三、填空题 7．计算：_____________． 8．已知函数，若，则实数的取值范围为______. 四、解答题 9．已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； 10．已知函数，． (1)求； (2)设函数，对，，求的取值范围； (3)设函数，是否存在，使得关于的方程有且仅有四个解，，，，且满足．若存在，求；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D A C B ACD 1．A 【详解】由题可得，所以 2．D 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．A 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 4．C 【分析】利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可. 【详解】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，函数是奇函数，但在定义域上不单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在上单调递减，所以函数在定义域上单调递减，符合题意，C正确； 选项D，在中，解，得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，不符合题意，D错误． 5．B 【分析】利用已知条件，恒有，运用特殊值法推出函数奇偶性，利用当时，，结合推出函数单调性，结合上述性质对不等式进行化简后构造函数并求导，结合导数分情况讨论得出实数的取值范围. 【详解】已知对于，恒有， 令，则， 令，则，所以为奇函数. 任取，则，已知当时，，则， 又，则， ，故为上的减函数，因， 由可得， 因为上的减函数，故对于恒成立， 令，则对于恒成立. 求导得， 当时，，在上单调递增，当时，，不合题意； 当时，令，解得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值， 要使恒成立，需使，即， 解得； 当时，，因为对于恒成立，符合题意. 综上，. 故选：B. 6．ACD 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 7．17 【分析】由指数与对数的运算法则结合条件求解即可. 【详解】原式为， 其中，， ，， 即. 8．或 【分析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，对任意的，， 故函数的定义域为， 因为， 则，所以，函数为奇函数， 当时，令，由于函数和在上均为减函数， 故函数在上也为减函数， 因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数， 所以，函数在上也为减函数， 因为函数在上连续，则在上为减函数， 由可得，即， 所以，，即，解得或. 故答案为：或. 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，， 即，所以， 故 （2）由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 （3）因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 10．(1) (2)或． (3)存在，． 理由如下： ． 中，显然，时，且单调递减； 时，且单调递减， ， 故关于中心对称， 令，方程可化为①， 方程有且仅有4个解，则方程①有两个不等正根，，且两根均大于2， 所以，解得， 四个解从小到大排列为，根据的对称性， 不妨设，， 由，可得， 因为，所以，即， 联立，化简得， ，解得： 综上，存在，． 【分析】（1）结合指数的运算化简即可求解； （2）令，可将问题转化为．恒成立，结合二次函数的图像与性质研究即可求解； （3）令，将问题等价于方程有两个不等正根，，且均大于2，利用根与系数关系求解即可. 【详解】（1） ，， ； （2），由（1）得， ． 令，则，． 即，令，对称轴， ①即时，最小值为，故只需或， 得或； ②即时，最小值为，故只需， 综上：或． （3）略 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $