江苏省运河中学2026-2027学年高三上学期开学调研数学试题

高三年级学期调研 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若且，若的最大值为，则正常数（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．曲线在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A． B．1 C． D．0 6．已知函数的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A． B． C． D． 11．已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数在间单调且存在零点，若使用二分法求零点的近似值，要求区间长度小于，则需要进行二分操作的次数为__________(参考数据：)． 13．设且，函数的定义域为R．若的值域为，则的取值范围为__________． 14．已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 17．（本小题满分15分） 已知函数的定义域为集合A，集合． （1）当时，求； （2）求使的实数m的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知函数的图象上有不重合的两点，． （1）若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； （2）若，设的中点为，求证：． 19．（本小题满分17分） 对于定义在上的函数，若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”．已知函数． （1）设函数．若，且为“型函数”，求的取值范围； （2）设函数．证明：当，为“（1）型函数”； （3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”． 高三年级学期调研 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．A 7．D 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．ABD 10．ABC 11．AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．17 13． 14．5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（1）函数的定义域为，对求导得， 则在处的切线斜率， 直线变形为，斜率为， 由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得． （2）由（1）得，求导并整理得， 当时，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此在处取得区间内的最小值， 计算端点值， 比较和的大小：， 由于，故，即区间内最大值为， 综上所述，在上的值域为． 16．（1）函数的定义域为 因为，则令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）若，则． 令，则， 则在单调递减． 因为对任意的，恒成立，所以， 即． 所以的最大值为． 17．（1）当时，，解得，所以；，，解得，所以， ∴． （2）∵，∴； 对与0的关系进行分类讨论： 若时，，不存在使； 若时，， 要使，必须解得； 若时，，要使，必须解得； 故的范围． 18．（1）由题意：．所以． 又因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以， 因为且，所以， 即的取值范围是． （2）略 19．（1）时，． 因为为“型函数”，所以恒成立，即恒成立． 设，则恒成立， 所以在上单调递减，所以，所以的取值范围是； （2）证明：当时，要证为“型函数”， 即证，即证． 令，则， 方法一：当时，，则； 当时，，则； 所以在（0，1）上单调递减，在上单调递增， 则，又，所以，所以为“型函数”． 方法二：，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在（0，1）上单调递减，在上单调递增， 以下同方法一． （3）证明：函数为“型函数”等价于恒成立， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时， 方法一：， ①当或时，； ②当时，，由（2）知， 所以， 综上，存在唯一整数，使得为“型函数”． 方法二：， 记，则， 所以在上单调递减．易得， 所以； 又因为， 所以存在唯一零点，使得， 且为的最大值点， 所以 注意到在上单调递增， 所以，所以． 综上，存在唯一整数，使得为“型函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $