暑期预习讲义（第1讲）——解一元二次方程 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026年人教版九年级数学上册

暑期预习讲义（第1讲）——解一元二次方程（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】认识一元二次方程（基础必考） 1 【题型 1】一元二次方程识别、确定各项系数 2 【题型 2】根据方程根求参数值 2 【知识点二】直接开平方法（基础解法） 3 【题型 3】直接开平方法解方程 3 【知识点三】因式分解法（最快基础解法） 3 【题型 4】因式分解法解方程 3 【知识点四】配方法（重点难点，推导求根公式基础） 4 【题型 5】配方法解一元二次方程 4 【知识点五】公式法与根的判别式（核心必考） 4 【题型 6】公式法解方程 5 【题型 7】判别式判断根的情况、求参数范围 5 二.同步自测 6 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三） 解答题（本大题共6小题，共58分） 8 学习方法：先读概念定义→观察实例→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】认识一元二次方程（基础必考） 1、一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程； 2、一元二次方程一般形式：：其中，为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；是常数项。 3、解题要求：判断方程类型、提取系数前，必须先整理为标准一般式。 4、概念判断口诀：一元整式二次方，不为零记心上 【题型 1】一元二次方程识别、确定各项系数 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）． （2）． （3）． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项： （1）（x+5）（x+2）=x2+3x+1 （2）（2x-1）（3x+5）=-5          （3）（3x+1）（x-2）=-5x 【题型 2】根据方程根求参数值 【例题2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【知识点二】直接开平方法（基础解法） 1、适用形式：或 2、解法原理：平方根定义，一个数平方等于，则这个数为 根的判定：，两个不相等实数根；，两个相等实数根；，无实数根。 开方口诀：左边平方右边数，正数两根正负出，负数无根不用书 【题型 3】直接开平方法解方程 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·上海·期中）方程的根是________． 【变式3】（2025八年级上·江苏宿迁·专题练习）解方程： （1）； （2） 【知识点三】因式分解法（最快基础解法） 原理：若，则或; 解题步骤：①移项，右边化为 0；②左边因式分解；③分别令因式为 0，解一元一次方程 常用分解方法：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘 分解口诀：右化为零左分解，两个因式分别解 【题型 4】因式分解法解方程 【例题4】（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程： （1）； （2）． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·上海·阶段检测）方程的根是_______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程： （1）； （2）． 【知识点四】配方法（重点难点，推导求根公式基础） 定义：将方程左边配成完全平方式，再用直接开平方法求解 标准五步： ①化 1：二次项系数化为 1；②移项：常数移到等号右侧； ③配方：两边同加一次项系数一半的平方； ④变形：左边写成完全平方，右侧合并；⑤开方求解。 配方口诀：一化二移三配方，一半平方两边加. 【题型 5】配方法解一元二次方程 【例题5】（24-25八年级上·上海·阶段检测）用配方法解方程：． 【变式1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）一元二次方程配方后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【变式3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）用配方法解方程： （1）； （2）． 【知识点五】公式法与根的判别式（核心必考） 1、 求根公式： 对于，当时， 2、 根的判别式 ：两个不相等实数根；：两个相等实数根； ：无实数根。 公式口诀：先算判别再代入，负 加减根号除 . 【题型 6】公式法解方程 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 【变式3】（24-25八年级·上海·暑假作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【题型 7】判别式判断根的情况、求参数范围 【例题7】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【变式1】（2026·河南新乡·三模）若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·新疆·期中）方程无实数根，则点位于第______象限． 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·开学考试）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 二.同步自测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A． B． C． D．4 5．（2026·安徽·一模）若关于x的方程没有实数根，则a的值可以为（   ） A． B． C．0 D．2 6．（2026·贵州六盘水·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果多项式与的积为，那么（   ） A．1 B．或 C．1或 D． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 10．（2025·江苏扬州·三模）表示不大于的最大整数，如，，如果，，则符合条件的的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 12．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段检测）已知m是的一个解，则__________． 13．（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 14．（25-26九年级上·新疆·期中）方程无实数根，则点位于第______象限． 15．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知，则______． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．把它们的序号填在各自最适宜的解法后面． （1）直接开平方法：____________． （2）因式分解法：____________． （3）公式法：____________． （4）配方法：____________． 17．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）在用公式法求解一元二次方程时，其中一步的过程为． 根据以上信息，解答下列问题． （1）a的值为____________． （2）方程的两根之和为_____． 18．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的根为_____________________ （3） 解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ （1）问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． （2）请写出用配方法解方程的正确过程． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西赣州·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）设是实数，已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根都大于，求的取值范围． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）当时，请用适当方法解此方程； （2）若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （1）请参照例题解方程； （2）拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第1讲）——解一元二次方程（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】认识一元二次方程（基础必考） 1 【题型 1】一元二次方程识别、确定各项系数 2 【题型 2】根据方程根求参数值 4 【知识点二】直接开平方法（基础解法） 5 【题型 3】直接开平方法解方程 6 【知识点三】因式分解法（最快基础解法） 7 【题型 4】因式分解法解方程 8 【知识点四】配方法（重点难点，推导求根公式基础） 9 【题型 5】配方法解一元二次方程 10 【知识点五】公式法与根的判别式（核心必考） 11 【题型 6】公式法解方程 12 【题型 7】判别式判断根的情况、求参数范围 14 二.同步自测 16 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 16 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 20 （三） 解答题（本大题共6小题，共58分） 24 学习方法：先读概念定义→观察实例→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】认识一元二次方程（基础必考） 1、一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程； 2、一元二次方程一般形式：：其中，为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；是常数项。 3、解题要求：判断方程类型、提取系数前，必须先整理为标准一般式。 4、概念判断口诀：一元整式二次方，不为零记心上 【题型 1】一元二次方程识别、确定各项系数 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1），二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1；（2），二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6；（3），二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 解：（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 解：A、方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·广西梧州·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，先将一元二次方程整理为一般形式，一元二次方程的一般形式为 （），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.排除二次项系数为的错误选项，即可得到结果． 解：将原方程移项整理为一般形式：原方程为 移项得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项： （1）（x+5）（x+2）=x2+3x+1 （2）（2x-1）（3x+5）=-5          （3）（3x+1）（x-2）=-5x 【答案】（1）不是一元二次方程；（2）是一元二次方程，二次项为，二次项系数为6，一次项为，一次项系数为7，常数项为0；（3）是一元二次方程，二次项为，二次项系数为3，一次项为0，一次项系数为0，常数项为-2． 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行判断，然后根据一元二次方程的一般形式 其中表示二次项，表示二次项系数，表示一次项，表示一次项系数，表示常数项． 解：（1）即， ∴，不是一元二次方程； （2）即 ∴，是一元二次方程， ∴二次项为，二次项系数为6，一次项为，一次项系数为7，常数项为0； （3）即， ∴，是一元二次方程， ∴二次项为，二次项系数为3，一次项为0，一次项系数为0，常数项为-2． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一般形式． 【题型 2】根据方程根求参数值 【例题2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 解：（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 【变式3】（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 【知识点二】直接开平方法（基础解法） 1、适用形式：或 2、解法原理：平方根定义，一个数平方等于，则这个数为 根的判定：，两个不相等实数根；，两个相等实数根；，无实数根。 开方口诀：左边平方右边数，正数两根正负出，负数无根不用书 【题型 3】直接开平方法解方程 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 解：（1）解：（1）， ， 或， 解得，． （2）， ， ， ， 解得，． 【点拨】本题主要考查了用开平方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法． 【变式1】（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 解：原方程为，对等式两边开平方可得，或 故另一个方程为． 【变式2】（23-24八年级下·上海·期中）方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 【变式3】（2025八年级上·江苏宿迁·专题练习）解方程： （1）； （2） 【答案】（1），；（2） 【分析】本题利用开平方和开立方解方程； （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用直接开立方的方法解方程即可. 解：（1）解： 移项得： 开平方得： 解得：，. （2）解： 开立方得： 解得：. 【知识点三】因式分解法（最快基础解法） 原理：若，则或; 解题步骤：①移项，右边化为 0；②左边因式分解；③分别令因式为 0，解一元一次方程 常用分解方法：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘 分解口诀：右化为零左分解，两个因式分别解 【题型 4】因式分解法解方程 【例题4】（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由十字相乘因式分解法解一元二次方程即可； （2）先移项、合并同类项，再由完全平方公式因式分解法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， ， 则或， 解得，； （2）解：， ， 则， ． 【变式1】（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 【变式2】（25-26九年级下·上海·阶段检测）方程的根是_______． 【答案】， 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可． 解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 【变式3】（25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： ∴或 解得，； （2）解： ∴或 解得，． 【知识点四】配方法（重点难点，推导求根公式基础） 定义：将方程左边配成完全平方式，再用直接开平方法求解 标准五步： ①化 1：二次项系数化为 1；②移项：常数移到等号右侧； ③配方：两边同加一次项系数一半的平方； ④变形：左边写成完全平方，右侧合并；⑤开方求解。 配方口诀：一化二移三配方，一半平方两边加. 【题型 5】配方法解一元二次方程 【例题5】（24-25八年级上·上海·阶段检测）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为，再根据配方法解一元二次方程，即可求解． 解： 即 ∴ ∴ ∴ 解得： 【变式1】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）一元二次方程配方后，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤计算即可得到结果． 解： ． 【变式2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 【变式3】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）用配方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 解：（1）解：， ， ， ， ，； （2）（2）， ， ， ， ， ， ，． 【点拨】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键． 【知识点五】公式法与根的判别式（核心必考） 1 、求根公式： 对于，当时， 2 、根的判别式 ：两个不相等实数根；：两个相等实数根； ：无实数根。 公式口诀：先算判别再代入，负 加减根号除 . 【题型 6】公式法解方程 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定、、的值，代入求根公式求解； （2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解． 解：（1）解：整理，得． ， ， ，． （2）解：整理，得． ， ， ，． 【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确确定、、的值，再代入求根公式求解． 【变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．用公式法求解即可． 解：， ， ， ∴， ∴，． 故答案为： ，． 【变式3】（24-25八年级·上海·暑假作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）方程无实数解 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 解：（1）解：， ， 则， ∴， ∴； （2）解：， ， 则， ∴此方程无实数解． 【点拨】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． 【题型 7】判别式判断根的情况、求参数范围 【例题7】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 解：（1）解： ； （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（2026·河南新乡·三模）若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（25-26九年级上·新疆·期中）方程无实数根，则点位于第______象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·开学考试）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 【答案】（1）见分析；（2）该方程的另一个根为2 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数的关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为m，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 解：（1）解：∵， ∴方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为m，则， 解得， 故该方程的另一个根为2． 二.同步自测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列是一元二次方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为且二次项系数不为，逐一判断各选项即可． 解：选项A：中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意； 选项B：中，未说明，若则不是一元二次方程，故不满足题意； 选项D：中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意； 选项C：中，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意． 2．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键． 方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根． 解：∵ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 4．（25-26九年级上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是将配方后的方程展开，与原方程对比系数求的值． 先将展开为，整理成一般式，再与原方程对比，得到． 解：配方后得到 ， 展开得 ， 即 ， 又原方程为 ， ． 故选B 5．（2026·安徽·一模）若关于x的方程没有实数根，则a的值可以为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据一元二次方程没有实数根可得根的判别式小于0，求解得到a的取值范围，再判断选项即可． 解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴根的判别式， 解得：， 只有选项D的2满足． 6．（2026·贵州六盘水·一模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先通过因式分解法求出一元二次方程的两个根，再计算两根之和即可得到答案． 解：， 或， 解得：， ． 7．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 8．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果多项式与的积为，那么（   ） A．1 B．或 C．1或 D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的常见方法． 根据多项式与的积为，列方程求解即可． 解：根据题意得， 即， 解得：或． 故选：C． 9．（2024九年级上·全国·专题练习）中，的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积，则对角线长的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程根与系数关系和三角形三边关系，先根据根与系数的关系得到，然后利用三角形三边关系求解． 解：∵的长分别等于一元二次方程两根之和与两根之积， ∴， ∴对角线长的取值范围是． 故选：D． 10．（2025·江苏扬州·三模）表示不大于的最大整数，如，，如果，，则符合条件的的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】当时，先确定的取值，然后再依次验证是否满足． 解：当时，，，，， ∵ ∴ 当时，，得：，无解 当时，，得：，解得：（舍去）或 当时，，得：，解得：（舍去） 当时，，得：，解得：（舍去） 当时，，得：，解得：（舍去）或 ∴或 符合条件的的值有2个． 故选：B． 【点拨】本题考查了新定义，解一元二次方程，要理解新定义定义，注意分类讨论． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 解：， ∴， ∴. 12．（24-25八年级下·浙江丽水·阶段检测）已知m是的一个解，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程解的定义，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可得到结果． 解：是的一个解 ， 将代入方程得 ， ∴， ∴原式． 13．（25-26八年级下·北京·期中）用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为_____． 【答案】12 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题关键，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行计算即可. 解：方程，两边加上，得 ， 即. 14．（25-26九年级上·新疆·期中）方程无实数根，则点位于第______象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 15．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）已知，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则，原方程可变形为，解方程求出t的值即可得到答案． 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：5． 16．（25-26九年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．把它们的序号填在各自最适宜的解法后面． （1）直接开平方法：____________． （2）因式分解法：____________． （3）公式法：____________． （4）配方法：____________． 【答案】 ④⑤ ②⑥ ③ ①⑦ 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，选择适当的方法解方程是解题的关键． 适合直接开平方法的方程的特点：方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数，即可找出所给方程中满足此条件的方程；适合因式分解法的方程的特点：方程左边的二次三项式能进行因式分解，即可找出所给方程中满足此条件的方程；适合求根公式法的方程的特点：方程左边的二次三 项式不能进行因式分解，即可找出所给方程中满足此条件的方程；适合配方法的方程的特点：方程左边的二次三项式 不能进行因式分解，即可找出所给方程中满足此条件的方程． 解：结合题中所有方程，可知： （1）适合直接开平方法的方程有：④，⑤ 故答案为：④⑤ （2）适合因式分解法的方程有：②，⑥ 故答案为：②⑥ （3）适合公式法的方程有：③ 故答案为：③ （4）适合配方法的方程有：①,⑦ 故答案为：①⑦ 17．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）在用公式法求解一元二次方程时，其中一步的过程为． 根据以上信息，解答下列问题． （1）a的值为____________． （2）方程的两根之和为_____． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根与系数的关系； （1）根据一元二次方程求根公式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，即可求解． 解：（1）∵ ∴， 故答案为：． （2）原方程为 ∵ ∴方程的两根之和为， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程的根为_____________________ 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程，直接利用换元法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 解：， ∴， 设， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴当时， ， ∴无实数根， 当时， 解得：，， 故答案为：，． （3） 解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ （1）问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． （2）请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】（1）第③步，方程两边未同时加上；（2）见分析 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 解：（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2）解： 或 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·江西赣州·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法． （1）根据完全平方公式求值； （2）将方程展开整理成一般形式后，用求根公式求解． 解：（1）解：， 原方程可化为， 解得； （2）解：， 原方程可化为， ， ． ，． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽滁州·期末）设是实数，已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两根都大于，求的取值范围． 【答案】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2） 【分析】（1）求出根的判别式即可证明结论成立； （2）先用因式分解法求出方程的根，再根据方程的两根都大于列不等式组求解即可． 解：（1）略； （2）解：由得， 或， ，． 方程的两根都大于， ， 解得， 的取值范围是． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）当时，请用适当方法解此方程； （2）若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求参数，解题的关键是掌握配方法和根的判别式． （1）利用配方法进行求解即可； （2）根据根的判别式列出方程求解即可． 解：（1）解：把代入方程，得： ， ， ， ， ，； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故答案为：3． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （1）请参照例题解方程； （2）拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】（1），；（2）2或 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 解：（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $