2.2 第5课时 利用一元二次方程解决面积问题（教学设计）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦利用一元二次方程解决面积问题，通过“知识链接”回顾解一元二次方程的方法，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从矩形荒地建花园等实际情境中抽象数量关系。 资料以“矩形荒地建花园”为主情境，通过小明（四周小路）、小亮（扇形花园）等多种方案设计，引导学生运用面积公式建立方程模型，培养数学眼光中的抽象能力与几何直观，数学思维中的推理意识，数学语言中的模型观念。当堂检测与例题结合生活实际，助力学生掌握解题方法，为教师提供可操作的教学案例，提升课堂实效。

第5课时　利用一元二次方程解决面积问题 1.使学生会用一元二次方程解应用题． 2.进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生运用数学的意识． 3.通过列方程解应用题，进一步体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性． 重点：培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力． 难点：正确建立一元二次方程解决实际问题的模型． 知识链接 　　解一元二次方程的方法有哪些？ 　探究点：利用一元二次方程解决面积问题 议一议：在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？看一看下面几位同学的设计方法是否合理． 小明设计：如右图所示，其中花园四周小路的宽都相等． 问题1：设小明设计的花园四周小路的宽都为x m，则花园的长和宽分别是多少米？ 长为（16－2x）m，宽为（12－2x）m． 问题2：小明认为小路的宽为2 m或12 m．你认为他的结果对吗？为什么？ 小明的结果不对，宽只能为2 m，理由如下：根据题意得（16－2x）（12－2x）=×12×16，即x2－14x＋24=0.解方程，得x1=2，x2=12.将x=12代入方程中不符合题意舍去．答：小路的宽为2 m． 小亮设计：如右图所示，其中花园每个角上的扇形都相同． 问题3：你能帮小亮求出图中的x吗？ 由图片信息得，四个扇形组成一个圆，设扇形半径为x m，根据题意得πx2=×12×16，即πx2=96.解方程，得x1=－（舍去），x2=≈5.5.答：扇形半径约为5.5 m． 问题4：你还有其他设计方案吗？与同伴交流． 如右图所示，其中花园是两条互相垂直的矩形，且它的宽都相等． 设花园的宽为x m，根据题意得16x＋12x－x2=×12×16，即x2－28x＋96=0.解方程，得x1=4，x2=24. 将x=24代入方程中不符合题意舍去．答：花园的宽为4 m． 方法总结：在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键．若图形不规则，就割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．解方程后记得验证根的实际意义，舍去不符题意的根．  在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为x米，且x＜20.可列方程为（32－x）（20－x）=540，解得x1=50（舍），x2=2. 答：道路的宽为2米．  如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5 cm，BC=7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． （1）几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2？ （2）△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由． 解：7÷2=（s）．当运动时间为t s（0≤t≤）时，PB=（5－t） cm，BQ=2t cm． （1）依题意得×2t×（5－t）=4，整理得t2－5t＋4=0，解得t1=1，t2=4（不合题意，舍去）． 答：1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2． （2）不能，理由如下：依题意得×2t×（5－t）=7，整理得t2－5t＋7=0.∵Δ=（－5）2－4×1×7=－3＜0，∴该方程没有实数根．∴△PBQ的面积不能等于7 cm2． 1.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为(　B　) A.x(20＋x)＝64 B.x(20－x)＝64 C.x(40＋x)＝64 D.x(40－x)＝64 2.如图，在一块长为22m、宽为17m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪.要使草坪面积为300m2，则道路宽为多少米？ 书写通关 解：设　道路宽为xm　. 根据题意得　(22－x)(17－x)＝300　. 解得　x1＝37，x2＝2　. (x＝　37　不合题意，舍去) 答：　道路宽为2m　. 3.如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用75m长的围栏围成总面积为300m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 解：设AB的长度为xm， 则BC的长度为(75－3x)m. 根据题意得(75－3x)x＝300， 解得x1＝20，x2＝5. 当x＝20时，75－3x＝15＜25，符合题意. 当x＝5时，75－3x＝60＞25，不符合题意，舍去.∴AB＝20m，BC＝15m. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20m，15m. 　　 　　 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $