精品解析：陕西师范大学附属中学2026-2027学年度第一学期高一年级开学分班考试数学试题

陕西师大附中2026-2027学年度第一学期 高一年级开学分班考试数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（共12小题，每小题4分，计48分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 一个色子由1~6六个数字组成，根据图所示三种状态显示的数字，可推得“？”的数字为（ ） A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 3. 设，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=15，BC=20.则顶点B与斜边各点的连线中(含边AB、BC)长度为整数的线段条数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 设 ，.则下面不等式中不恒成立的是． A. B. C. D. 6. 在中，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，动点在轴上，动点在直线上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程的两实根之差为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中有两点，，若是坐标轴上的一点，且是直角三角形，则满足条件的点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 若不等式组的整数解仅为，，则适合这个不等式组的整数，的有序数对的个数是（ ） A. 17 B. 64 C. 72 D. 81 11. 若，，为的三条边，则函数的图象与轴的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 12. 对于三位数，满足的三位数共有（ ）个 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 二、填空题（共6小题，每小题4分，计24分） 13. 分解因式：______． 14. 有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 15. 如图，的直径，点在上，且，为上一点，连接并延长，交于点，连接，，作于点，于点．设的长为，阴影部分的面积为，则与的关系式是______． 16. 将全体正奇数按自小到大的顺序排列，然后取第一数记为，取后续两数和为，再取后续三数和为，如此继续，得到数列：，，，…，即，，，…，则该数列的前项之和为______． 17. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，，连接，，相交于点，连接，则面积的最大值为______． 18. 在平面直角坐标系中，，与轴的一个交点的坐标为，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，则的最小值为______． 三、解答题（共4小题，计48分．解答应写出过程） 19. 解答下列各题 （1）计算：； （2）解方程：； （3）解方程组：； （4）化简：． 20. 如图，在中，，，其内切圆的面积为． （1）求的半径； （2）求的面积． 21. 已知正数，满足，求的最大值． 22. 如图，已知函数（为实数）． （1）当的最值是0时，求的值； （2）求证：不论是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线上，并请求出直线的表达式； （3）求证：任意一条平行于且与抛物线有两个交点的直线，被各抛物线截出的线段都相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2026-2027学年度第一学期 高一年级开学分班考试数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（共12小题，每小题4分，计48分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为正比例函数、反比例函数的图像都关于原点中心对称， 故它们的两个交点也一定关于原点对称， 因为关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都变为原来的相反数， 已知一个交点坐标为，故另一个交点坐标为． 2. 一个色子由1~6六个数字组成，根据图所示三种状态显示的数字，可推得“？”的数字为（ ） A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由前两个图形可知判断出“？”处的数字可能为1或6，再由第一个和第三个图形中的4，5的相对顺序，即可判断出“？”处的数字. 【详解】由前两个图形可知，1周围的四个面分别为2，3，4，5，所以“？”处的数字可能为1或6. 对照第一个和第三个图形中的4，5的相对顺序，可判断出“？”处的数字为6. 故选：A. 3. 设，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先对所求代数式分组变形得到含的结构，再根据的表达式求出的值，代入即可求解. 【详解】由题意得 ，  令，则原式可化为， 由，变形得，两边平方得   ， 整理得，两边同除以4得， 即， 将代入得  . 4. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=15，BC=20.则顶点B与斜边各点的连线中(含边AB、BC)长度为整数的线段条数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】因为顶点B到斜边AC的距离为12， 所以顶点B与斜边各点的连线中长度为13、14、15的线段各有两条， 长度为12、16、17、18、19、20的线段各有一条， 故满足条件的线段共有2×3+6=12条. 故选：D. 5. 设 ，.则下面不等式中不恒成立的是． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由.故选项A不恒成立. 6. 在中，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂线段最短得到到的距离不大于，借助直角三角形边角关系得到的上限，再结合大边对大角判断为锐角，进而分析角的范围. 【详解】过点作边上的高，设为. 在直角三角形中，. 要能够构成三角形，点到的距离必须小于或等于斜边的长度(垂线段最短). 所以，因为，根据“大边对大角”， 必定是锐角. 在锐角范围内，. 7. 已知，动点在轴上，动点在直线上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点  分别关于 轴和直线 对称，利用对称性把折线路径转化为连接两个对称点的直线段，当四点共线时周长取最小值. 【详解】设点 关于 轴的对称点为 ，关于直线 的对称点为 . 对于任意点 在 轴上，有 ； 对于任意点在直线 上，有 . 因此三角形周长， 当且仅当 四点共线时取等号. 由于​， 故 周长的最小值为 . 8. 若方程的两实根之差为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设方程的两实根分别为，不妨令； 由韦达定理可得， 根据题意可得，即, 因此，又，所以可得. 9. 在平面直角坐标系中有两点，，若是坐标轴上的一点，且是直角三角形，则满足条件的点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分三类讨论直角顶点：直角在、直角在、直角在；直角在时，作垂线找坐标轴交点；直角在时，利用直径所对圆周角为直角，作以为直径的圆，求圆与坐标轴交点，注意圆与轴相切只有个交点，汇总所有符合条件点的总数． 【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示： 分三种情况考虑： 当为直角顶点时，过作轴，连接，此时满足题意的点为； 当为直角顶点时，过作轴，连接，此时满足题意的点为； 当为直角顶点时，以为直径作圆，由，，得到，可得此圆与轴相切， 所以此圆与坐标轴有三个交点，分别为， 如图所示，根据直径所对的圆周角为直角可得此点满足题意， 综上，所有满足题意的C有5个． 10. 若不等式组的整数解仅为，，则适合这个不等式组的整数，的有序数对的个数是（ ） A. 17 B. 64 C. 72 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】解原不等式组得的范围，根据题意求出，的范围，确定整数，的个数，利用分步乘法计数原理可得结果． 【详解】由，得， 因为不等式组的整数解仅为，， 所以，解得， 因为， 所以，， 所以可取个整数，可取个整数， 可知的个数为． 11. 若，，为的三条边，则函数的图象与轴的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】对于函数， ， 因为是的三边，满足：， ，，， 所以， 因为二次项系数，所以抛物线开口向上， 所以函数的图象与轴相离. 12. 对于三位数，满足的三位数共有（ ）个 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】把三位数写成十进制形式，代入化简得到不定方程，取，取逐个枚举符合条件的整数解，统计解的个数. 【详解】因为且， 所以，化简得， 因为， 所以的整数解有： ，，，，， ，，，，， ，，，，； 所以共有15组整数解，即15个满足题意的三位数. 二、填空题（共6小题，每小题4分，计24分） 13. 分解因式：______． 【答案】()() 【解析】 【详解】. 14. 有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________． 【答案】1和3. 【解析】 【详解】 根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和； （1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和； 所以甲的说法知，甲的卡片上写着和； （2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和； 又甲说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”；这与已知矛盾； 所以甲的卡片上的数字是和. 15. 如图，的直径，点在上，且，为上一点，连接并延长，交于点，连接，，作于点，于点．设的长为，阴影部分的面积为，则与的关系式是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为为的直径，所以， 又因为，由可知， ，即可知四边形是正方形， 所以， 如下图所示，将绕点逆时针旋转，得到，， 则三点共线，， 所以，即； 因此， 在中，，所以； 所以； 因此与的关系式为. 16. 将全体正奇数按自小到大的顺序排列，然后取第一数记为，取后续两数和为，再取后续三数和为，如此继续，得到数列：，，，…，即，，，…，则该数列的前项之和为______． 【答案】44100 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式计算前20组总数据个数，求出正奇数数列求和公式，代入得解. 【详解】前20组的数字总个数为等差数列求和：， 即前20组一共包含210个连续的正奇数， 全体正奇数构成数列：，通项公式为 （）， 前个正奇数的和：， 即， 因为前20组共包含210个正奇数，即， 则. 17. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，，连接，，相交于点，连接，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由线段比转化为面积比，利用共线及同高关系建立面积方程组，解得 占 面积的比例，再通过求 面积最大值得到面积的最大值. 【详解】设 . 由 ，且 与 同高，故 ， 即 . 又因为 共线，与 同高，与 同高， 所以 ， 结合 ， 可得 . 另一方面，由 ，与 同高，故 . 设 ， 由于 共线，与 同高，与 同高， 因此 ，即 . 联立 得 ，所以 ，从而 . 设中两直角边为 ，斜边 ，则 . 由 得 ，故 . 于是 ，当 时取等号. 因此 面积的最大值为 . 18. 在平面直角坐标系中，，与轴的一个交点的坐标为，为直线上的动点，过点作的切线，，切点为，，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据，以及点到直线的距离计算. 【详解】由题意得，圆的半径， 因为为切线，所以， 则， 则， 因为点到的距离为， 所以的最小值为，则的最小值为 三、解答题（共4小题，计48分．解答应写出过程） 19. 解答下列各题 （1）计算：； （2）解方程：； （3）解方程组：； （4）化简：． 【答案】（1）； （2），，； （3）或； （4）． 【解析】 【分析】（1）先分别计算零次幂、绝对值和三角函数值，再合并同类项； （2）移项后提取公因式，再根据绝对值的分界点分类讨论，去掉绝对值后分别求解并检验； （3）由抛物线方程用表示，代入直线方程消去，解关于的二次方程后回代求； （4）将分母写成的形式，利用进行裂项相消． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原方程可变形为，即． ①当，即时，方程为，即． 解得或． 因为，所以和舍去，得． ②当，即时，方程为，即， 解得或． 这两个解均满足． 综上所述，方程的解为，，． 【小问3详解】 解：由 由②得，代入①得： 解得，． 当时，； 当时，． 所以方程组的解为或． 【小问4详解】 解：原式 ． 20. 如图，在中，，，其内切圆的面积为． （1）求的半径； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆面积公式 ，代入已知面积即可直接解出半径； （2）设比例边长，通过作高构造直角三角形，用勾股定理求出，然后分别用三角形面积公式和分割法表示面积，联立方程求出即可求面积． 【小问1详解】 由圆面积公式，得： 【小问2详解】 设，，， 过点作于 ，过点分别作， 所以， 在中，，斜边， 所以， 又，所以， 在中，由勾股定理： 所以 三角形面积（以为底）：， 代入 得， 所以，解得 所以 21. 已知正数，满足，求的最大值． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件恒等变形换元，结合基本不等式锁定换元变量范围，再借助二次函数单调性求最值，注意定义域优先. 【详解】，且， ，即． 代入所求代数式： 令，原式． 由基本不等式：， ，当且仅当时取等． 二次函数，开口向下，对称轴 ，在上单调递增， 故当时取得最大值． 此时，解得：，． 代入： 的最大值为． 22. 如图，已知函数（为实数）． （1）当的最值是0时，求的值； （2）求证：不论是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线上，并请求出直线的表达式； （3）求证：任意一条平行于且与抛物线有两个交点的直线，被各抛物线截出的线段都相等． 【答案】（1） （2）抛物线顶点横坐标为： 顶点纵坐标为： 由得，代入纵坐标表达式： 因此不论取何值，抛物线顶点都在直线上． （3）设平行于的直线解析式为， 联立抛物线解析式得：， 设方程两根为，，由根与系数的关系得，， 设直线与抛物线交点为，， 则 因为， 所以， 线段长度仅与有关，与无关， 因此任意平行于且与抛物线有两个交点的直线，被各抛物线截出的线段都相等． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式计算； （2）求出顶点坐标，消去参数即可； （3）设平行于的直线解析式为，联立方程组，求出线段长即可. 【小问1详解】 由题意得，，得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $