精品解析：陕西西安市临潼区某校2025-2026学年高一下学期入学考试数学试题

华清中学2025-2026学年度下学期高一年级入学考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 集合真子集个数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 下列说法中正确是（ ） A. 向量的模都是正实数 B. 与表示的意义相同 C. 向量的大小与方向无关 D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 3. 集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（ ） A. 29人 B. 23人 C. 36人 D. 25人 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“在上恒成立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 定义在上函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 是第一象限角 B. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角 C. 终边在轴上的角可表示为 D. 与终边相同 10. 已知复数，，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第四象限 11. 已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则___________． 13. 已知，则___________． 14. 已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知， （1）先化简，再求的值： （2）已知．求的值． 16. 已知，． （1）若，证明：； （2）若，求的最小值. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）设是由向右平移个单位得到新函数，其中，且为偶函数，求在区间上的最大值和最小值. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2），将图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学2025-2026学年度下学期高一年级入学考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1. 集合真子集个数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性解不等式，根据可得集合中的元素有4个，由集合真子集个数与集合元素个数关系即可得所求. 【详解】由于幂函数在上为增函数，则由，得， 由可得，其元素个数为4，故真子集个数为15． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 向量的模都是正实数 B. 与表示的意义相同 C. 向量的大小与方向无关 D. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：，两个向量为相反向量，模相等，方向相反，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 3. 集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校举办秋季运动会，已知某班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有15人，既参加田赛又径赛的学生有6人，那么该班参加运动会的学生人数为（ ） A. 29人 B. 23人 C. 36人 D. 25人 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的容斥原理求解即可. 【详解】设参加田赛的学生组成集合，则， 设参加径赛的学生组成集合，则， 由题意，知， 所以， 所以该班参加运动会的学生人数为23人． 故选：B． 4. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为. 故选：C 5. 已知，则“在上恒成立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合二次函数性质可求出不等式恒成立时的范围，然后结合集合包含关系与充分必要条件的转化关系即可求解. 【详解】在R上恒成立时， 当时，原不等式为，成立，故符合题意； 当时，关于的不等式在R上恒成立， 综上所述，的取值范围为， 而⫋，所以在上恒成立是的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，又根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为R， 且， 所以为奇函数，又函数和在R上都单调递增， 所以在R上单调递增， 所以由，即，即 所以，即，即， 故 当且仅当，结合，即得时，等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：B. 7. 定义在上的函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和函数在[0,2]上的单调性，将要解不等式等价转化为不等式求解即得. 【详解】为上的偶函数，且在上为单调递增， ∴等价于即， 由（1）得,即,解得或, 由（2）得，解得, ∴或, 即不等式的解集为：, 故选：C. 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分离常数法求出时，函数的值域为，要使函数的值域为，则时，函数的值域要包含，再结合对数函数和指数函数的性质求解即可. 【详解】当时，， 因为，则，，所以，， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域要包含， 在上单调递增，则， 那么要能取到内的值，就需， 因为单调递增，， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 是第一象限角 B. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角 C. 终边在轴上的角可表示为 D. 与终边相同 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据象限角及终边相同角直接判断可得. 【详解】对A：因为，所以与角终边相同，所以是第一象限角，故A正确； 对B：若是第三象限角，则，， 当时，，所以是第二象限角； 当时，，所以是第四象限角； 所以是第二或第四象限角，故B正确； 对C：当角的终边与终边相同时，，当角的终边与终边相同时，， 所以终边在轴上的角可表示为 ， 所以C正确； 对D：因为，所以与终边相同，故D正确. 故选：ABCD 10 已知复数，，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第四象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的运算，共轭复数和模的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，， 对于A，易知，其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，为纯虚数，故C正确； 对于D，，对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，，进而求解判断AB；利用对称性和单调性可判断C；利用函数奇偶性的定义可判断D. 【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且， 又的图象关于对称，则， 令，则，故A正确； 由，得， 则，故B正确； 由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反， 即在区间上单调递增，故C错误； 因为，即， 所以，故， 因此函数为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知向量，若，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先由向量垂直的坐标表示求出参数，再由向量模长公式即可计算求解. 【详解】因为向量，， 所以. 所以． 故答案为：5 13 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先讨论的情况，结合同角三角函数的平方关系排除矛盾，再运用同角三角函数的基本关系（切弦互化），并根据两角差的正切公式化简，最后代入求解即可. 【详解】由题意得，即， （若 ，则 ，与 矛盾，故 .） 所以两边同除以 ：， 所以，即 ， 又因为， 代入 和 ： 所以. 故答案为：. 14. 已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知， （1）先化简，再求的值： （2）已知．求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简得，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. （2）利用和角的正切求出，再利用二倍角公式及正余弦齐次式求解. 【小问1详解】 依题意，， 所以． 【小问2详解】 由，得，解得， 所以． 16. 已知，． （1）若，证明：； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式得，化简即可证明； （2），展开再由基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）设是由向右平移个单位得到的新函数，其中，且为偶函数，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）. （2）最小值；最大值 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简为的形式，再根据三角函数的性质求解周期、单调区间； （2）根据平移和偶函数的性质确定，最后求其在指定区间上的最值. 【小问1详解】 由题意得， 所以的最小正周期. 由， 得. 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题意得. 由为偶函数可知， 解得. 又因为，所以. 从而. 当时，， 所以当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． 【小问2详解】 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 19. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集； （2）求得，因为对任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分类讨论可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得：， 所以， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为，所以， 所以. 又因为对任意的，都有成立， 所以， ， 因为，所以， 设，可设， 则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 当时，在上单调递增， 所以，所以，解得，所以 当时，在上单调递减， 所以，所以，解得，故； 当时，， 故，解得，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，若总有成立，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $