4.1 函数 课后巩固卷2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦函数概念与应用，分层设计从基础认知到综合实践，通过“概念理解-图象分析-情境应用”路径巩固知识，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|函数定义、解析式、自变量范围|单选题1-3直接考查概念，填空题9-12强化基础计算，匹配新授课核心目标| |中档|函数图象识别、表格信息应用|单选题4-6结合纸杯倒水、行程等情境，填空题13关联速度公式，培养几何直观| |提升|动点问题、复杂情境建模|解答题16-17融合几何与函数图象，需从动态过程抽象关系，发展推理能力与应用意识|

4.1 函数 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 4．一款纸杯的形状如图所示，其杯口直径大于杯底直径.向纸杯内匀速倒水，表示纸杯内水的高度与倒水时间之间关系的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．一蓄水池中有水30，打开底部排水阀门开始放水后，水池剩余的水量与放水时间有如下关系： 放水时间/分 1 2 3 4 剩余水量（） 28 26 24 22 下列说法错误的是（　　） A．水池剩余水量是自变量，放水的时间是因变量 B．每分钟放水2 C．放水8分钟后，水池剩余水量为14 D．放水15分钟，水池里的水可全部放完 6．如图1，小华家、报亭、羽毛球馆在一条直线上，小华从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小华离家距离与时间之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（    ） A．小华从报亭散步回家用了 B．小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走 C．报亭到小华家的距离是 D．小华打羽毛球的时间是 7．如图①，在四边形中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则的周长是（   ） A． B． C． D． 8．按照如图所示的程序计算函数y的值时，若输入x的值是3，则输出y的值是，若输入x的值是1，则输出y的值是（    ）    A．−3 B．−2 C．0 D．2 二、填空题 9．要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ______ ，其时间t的取值范围为 ______ ． 10．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是___________．（填序号） 11．如图（1），在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点C，图（2）是点P运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的周长为______，面积为______． 12．向平静的水面投入一枚石子会激起一圈圈圆形涟漪，当圆形涟漪的半径r从3cm变成6cm时，圆形的面积S从________cm2变成________cm2．这一变化过程中________是自变量，________是关于自变量的函数． 13．如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为______． 三、解答题 14．某人点燃一根长的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短，设后蜡烛剩下的长度为． (1)求与之间的函数关系式． (2)几小时后，蜡烛的长度为？ (3)几小时后，蜡烛的长度不足？ 15．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 16．动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间t（s）的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______． (2)______，______，______． (3)当的面积为8平方厘米时，求点H的运动时间t的值． 17．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C A D B B 1．【答案】D 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题主要考查函数的定义，根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，A，B，C不符合题意； 选项D的图象，给一个x值，y有多个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故D符合题意． 故选：D． 2．【答案】D 【知识点】函数解析式 【分析】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能根据实际问题间数量关系准确列式． 根据路程＝速度×时间，列出关系式即可． 【详解】解：∵路程＝速度×时间， ． 故选：D． 3．【答案】A 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查函数图象的实际应用，关键是通过纸杯“上宽下窄”的形状，分析横截面积变化对水位上升速度的影响，进而匹配对应的函数图象特征． 【详解】解：纸杯呈上宽下窄的形态，意味着随着水的高度增加，纸杯的横截面积逐渐增大。 设倒水速度为（单位时间倒入水的体积，恒定不变）， 则水的高度变化满足（)为单位时间内倒入水的体积，为单位时间内水位上升的高度）； 变形得，由于随增大而增大， 所以随增大而减小，即水位上升速度逐渐变慢；   函数图象中，“水位上升速度逐渐变慢”表现为曲线的斜率逐渐减小（图象越来越平缓）；观察选项：   A选项：直线，斜率不变（水位匀速上升），不符合；   B选项：折线且斜率先小后大（水位先慢后快上升），不符合；   C选项：曲线斜率逐渐减小（水位上升速度逐渐变慢），符合；   D选项：曲线斜率逐渐增大（水位上升速度逐渐变快），不符合．   因此选择C选项．   故选：C． 5．【答案】A 【知识点】函数的三种表示方法 【分析】根据函数的相关知识结合所给表格逐一进行分析判断即可得答案 【详解】解：A．由题意可知，水池剩余水量是因变量，放水的时间是自变量，原说法错误，故本选项符合题意； B．由题意可知，每分钟放水2，原说法正确，故本选项不符合题意； C．根据题意可得蓄水量y＝30﹣2t，所以放水8分钟后，水池剩余水量为： 30﹣2×8＝14（），原说法正确，故本选项不符合题意； D．放水15分钟，水池里的水为：30﹣2×15＝0（），原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的自变量和应变量的定义及函数关系式，求出剩余水量和放水时间之间的关系是解题的关键． 6．【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键． 根据函数图象，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 从函数图象可得出，小华从报亭散步回家用了分钟，故该选项正确，不符合题意；     B. （米/分钟），即小华从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意； C. 从函数图象可得出，报亭到小华家的距离是米，故该选项正确，不符合题意； D. 小华打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 7．【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理， 先设，再结合图象可知点P在边上运动时，可知，再根据点P在运动路程时，可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：设边上的高为h． ∴， 当动点P沿边上运动时，， ∴，对应图象为部分， 由图象可知：点P在边上运动的路程为； 当点P沿边上运动时，为定值，对应图象部分，由图象可知，点P在运动路程为． 如图，连接， ∵在四边形中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 8．【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入1时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是3，输出y的值是， ∴，解得：， 故输入x的值是1时，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求函数值，正确得出b的值是解题关键． 9．【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】根据题意和题目中的数据，可以直接写出河道剩水量（立方米）和水泵抽水时间（小时）的函数关系式，然后再令求出的值，即可写出的取值范围．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． 【详解】解：由题意可得， ， 当时，，可得， 的取值范围为， 故答案为：，． 10．【答案】①②⑤ 【知识点】函数的概念、函数的三种表示方法、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查函数，根据函数的基本概念，自变量和因变量的定义，函数的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：在关系式 中，是自变量，是因变量，说法①正确； 的数值可以取任意实数，说法②正确； 是变量，但它的值随的变化而变化，与有关，说法③错误； 用关系式表示的函数可以用图象表示，说法④错误； 与的关系可以用列表法和图象法表示，说法⑤正确． 故答案为：①②⑤． 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是能读懂函数图象． 依据题意，由时和，分别求出、，再由，可求得，进而可以计算的周长与面积． 【详解】解：由题意得，当时，面积最大，此时（）；当时，面积为0，此时可得（）． ∵， ∴（）． 的面积为（），周长为（）． 故答案为：，． 12．【答案】 9π 36π 半径 面积 【知识点】函数的概念 【分析】先列出在这一变化过程中两圆的面积公式即可求解． 【详解】解：当r=3时，圆的面积为9π； 当r=6时，圆的面积为36π； 这一变化过程中半径是自变量，面积是半径的函数． 故答案是：9π，36π，半径，面积． 【点睛】考查了函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f（x）；变量：在一程序变化过程中随时可以变化的量．常量：在一程序变化过程中此量的数值始终是不变的． 13．【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 14．【答案】(1) (2)2小时后，蜡烛的长度为 (3)3小时后蜡烛的长度不足 【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是理解题意，然后根据题意求出函数关系式，再利用函数关系式解决实际问题． （1）由于蜡烛每小时缩短，则函数解析式的，即可求出函数关系式； （2）根据题意得，解方程即可； （3）根据题意得，解不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 即2小时后，蜡烛的长度为； （3）解：当时，， 解这个不等式得， 所以3小时后蜡烛的长度不足． 15．【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 16．【答案】(1)t；S (2) (3)点H的运动时间t为或 【知识点】函数的概念、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）分点H在上运动和点H在上运动时两种情况． 【详解】（1）解：的面积S随着时间t的改变而改变． 故答案为：t；S． （2）由图象可得， ∴，． 故答案为：． （3）当点H在上运动时，， ∴， ∴， ∴， 当点H在上运动时，， ， ∴， 故当的面积为时，点H的运动时间t为或． 17．【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 学科网（北京）股份有限公司 $