4.1 函数 题型专练-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以“典例示范+举一反三”分层，覆盖函数概念、表示方法及应用，梯度从基础定义到综合情境，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|变量与函数定义|典例聚焦核心概念，如变量识别、函数定义判断| |概念应用|函数表示与性质|举一反三1-2题强化列表/关系式识别，3-4题结合实际情境（如电费、购物）| |综合拓展|实际与动点问题|含函数图象分析（如注水、行程）、几何动点（矩形、正方形），培养模型意识与推理能力|

北师大版（2024）八年级上册 4.1 函数 题型专练 【题型1】变量与自变量 【典例】一本笔记本5元，买x本共付y元，在这个过程中，变量是（　　） A.5和x B.5和y C.x和y D.5，x和y 【举一反三1】某学校用100元钱买乒乓球，所购买球的个数w与单价n（元）之间的关系是w=，其中（　　） A.100是常量，w，n是变量 B.100，w是常量，n是变量 C.100，n是常量，w是变量 D.无法确定哪个是常量，哪个是变量 【举一反三2】如图是某超市羊排的商品销售标价，在单价96元/千克、重量m千克、总价y元这三个量中，常量是 　          　．​ 【举一反三3】某市居民用电价格是0.58元/（千瓦•时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦•时，其中常量是 　    　，变量是 　        ． 【题型2】根据列表识别函数 【典例】下列不能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D.y＝2x+1 【举一反三1】观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是 A. B. C. D. 【举一反三2】如图．观察图形，根据下表中的数据回答问题： （1）设图形的周长为l，梯形的个数为n，l与n的关系能用函数表达式表示吗？自变量n的取值范围是什么？ （2）当n＝11时，求图形的周长l． 【举一反三3】某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如下表： （1）在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； （2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【题型3】根据实际问题数量关系识别函数 【典例】下列所描述的四个变化过程中，变量之间的关系不能看成函数关系的是（　　） A.三角形的一个外角度数x度和与它相邻的内角度数y度的关系 B.树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后树的高度为y厘米，x与y的关系 C.正方形的面积y（平方厘米）和它的边长x（厘米）的关系 D.一个正数x的平方根是y，y随着这个数x的变化而变化，y与x之间的关系 【举一反三1】下面所描述的两种现象之间是函数关系的是（　　） A.家庭收入与家庭支出的关系 B.爸爸身高与儿子身高的关系 C.圆的周长与半径的关系 D.学生的数学成绩与统计学成绩的关系 【举一反三2】下列所述不属于函数关系的是（　　） A.长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B.x+2与x的关系 C.匀速运动的火车，时间与路程的关系 D.某人的身高和体重的关系 【举一反三3】一段导线在0 ℃时的电阻为2欧，温度每增加1 ℃，电阻增加0.008欧，那么电阻R(欧)关于温度t(℃)的函数关系式为　　　　　. 【举一反三4】电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为n． （1）小亮家上月用电多少千瓦时？ （2）如果每千瓦时的电费为0.52元，全月的电费为y（元），那么上月小亮家应缴费电费是多少？ （3）在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？y是哪个变量的函数？ 【举一反三5】已知一个长方形周长为60米.求它的长y(米)与宽x(米)之间的函数关系式，并指出关系式中的自变量与函数. 【题型4】函数自变量的取值范围 【典例】函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A.且x≥3且x≠5 B.且x＞3且x≠5 C.x＞3 D.x≥3 【举一反三1】函数y=中，自变量x的取值范围是 A.x>2    B.x<2 C.x≠2    D.x≥2 【举一反三2】已知等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x的函数关系式为y＝20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（　　） A.x＞0 B.0＜x＜10 C.0＜x＜5 D.5＜x＜10 【举一反三3】函数y＝a5÷a3（a≠0）的定义域是　　． 【举一反三4】已知某弹簧长度的最大承重为25 kg，在弹性限度内，用x表示物体的质量(单位：kg)，用y表示弹簧的长度(单位：cm)，其关系如表. ①弹簧不挂物体时的长度是　　　cm； ②所挂物体的质量x每增加1 kg，y的变化是　　　　　　　　； ③根据表中数据的变化关系，写出y与x的关系式，并指出自变量的取值范围是　　. 【举一反三5】周长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为x米，另一边为y米． （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）求出自变量x的取值范围． 【题型5】函数值 【典例】按如图所示的运算程序，若输入x＝，则输出的y值为（　　） A.0 B.2+3 C.2﹣5 D.以上都不对 【举一反三1】已知y1，y2均为关于x的函数，当x＝a时，函数值分别为A1，A2，若对于实数a，当0＜a＜1时，都有﹣1＜A1﹣A2＜1，则称y1，y2为亲函数，则以下函数y1和y2是亲函数的是（　　） A.y1＝x2+1，y2＝ B.y1＝x2+1，y2＝2x﹣1 C.y1＝x2﹣1，y2＝ D.y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣1 【举一反三2】已知函数y=3x+1，当自变量增加3时，相应的函数值增加 A.10   B.9   C.3   D.8 【举一反三3】根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的结果为　　． 【举一反三4】已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． （1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x＝5时，求出函数值． 【举一反三5】当自变量x取何值时，函数y＝x+1与y＝5x+17的值相等？这个函数值是多少？ 【题型6】求自变量的值 【典例】已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在正数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“正和谐函数”．下列函数y1和y2是“正和谐函数”的是（　　） A.y1＝2x+1和y2＝3x+2 B.y1＝﹣x+3和y2＝2x﹣1 C.y1＝﹣x﹣1和y2＝3x﹣2 D.y1＝﹣x+1和y2＝2x+3 【举一反三1】如图是一个运算程序的示意图，若输出y的值为2，则输入x的值可能为（　　） A.3 B.±1 C.1或3 D.±1或3 【举一反三2】对于函数y＝，当y＝0时，x＝　　． 【举一反三3】当x＝　　时，函数y＝3x+1与函数y＝2x﹣4的函数值相等． 【题型7】列表法 【典例】某校数学兴趣小组的同学利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下： 由表格信息可判断下列说法错误的是（　　） A.支撑物高度为40 cm时，小车下滑时间为2.13s B.若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40 cm至50 cm之间 C.若支撑物高度为90 cm，则小车下滑时间可以是小于1.35s的任意值 D.支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小 【举一反三1】肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 根据表格可知，下列说法正确的是（　　） A.氮肥施用量越大，土豆产量越高 B.氮肥施用量是110kg时，土豆产量为34t C.当氮肥施用量低于336kg时，土豆产量随施肥量的增加而增加 D.土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量一定是202kg 【举一反三2】肥料的施用量与产量之间有一定的关系，研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如表关系：根据表格可知，下列说法正确的是（　　） A.氮肥施用量越大，土豆产量越高 B.如果不施氨肥，土豆的产量是15.18吨/公顷 C.氨肥施用量是110kg时，土产量为32t D.土豆产量为39.45t时，氨肥的施用量一定是202kg 【举一反三3】果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如表的关系： 如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是　　米． 【举一反三4】大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种.据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如表. 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为　　　　℃. 【举一反三5】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： （1）自变量是　　，因变量是　　． （2）当刹车时车速为40km/h时，刹车距离是　　m． （3）该种型号汽车的刹车距离用y（m）表示，刹车时车速用x（m/h）表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式． （4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为120km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车33m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由． 【举一反三6】父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了表格. 根据该表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答. ①表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ ②如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？ ③你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？ ④你知道距离地面6千米的高空温度是多少吗？ 【题型8】关系式法 【典例】一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长C与半径r的关系式C＝2πr中，变量是（　　） A.C，r B.C，π C.π，r D.C，2π 【举一反三1】如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 A.y=2n+1    B.y=2n+1+n C.y=2n+n    D.y=2n+n+1 【举一反三2】小颖画了一个边长为5 cm的正方形，如果将正方形的边长增加x cm，那么面积的增加值y（ cm2）与边长的增加值x（ cm）之间的关系式为　　． 【举一反三3】启航港里有一棵树苗，刚栽下去时高为1米，以后每月长0.3米，则树高y（米）与月数x（月）之间的关系式为　　． 【题型9】实际问题情境中的函数图象 【典例】如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A.A地与B地之间的距离是180千米 B.前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C.汽车中途共休息了5小时 D.汽车返回途中的速度是60千米/时 【举一反三2】匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　） A.​ B.​ C.​ D.​ 【举一反三3】小明骑自行车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的对应关系如图所示，则小明骑自行车的速度是 　    　米/分．​ 【举一反三4】如图①，底面积为30 cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（ cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15 cm2，则图②中的a的值为 　     　. 【举一反三5】图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图②所示． （1）根据图②填表： （2）变量y是x的函数吗？为什么？ （3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径． 【举一反三6】2025年是“绿水青山就是金山银山”理念提出20周年，也是中国提出“双碳”目标的5周年．为响应国家“低碳生活，绿色出行”的号召，李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又返回到刚刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，如图是他本次离家时间（单位：min）与离家距离（单位：m）之间的关系图象，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是             ，因变量是             ； （2）李老师家到小明家的路程是             m，李老师在小明家家访用了       min； （3）请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【题型10】动点问题中函数图象 【典例】如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，CA＝CB，动点E从点D出发，沿折线D﹣C﹣B﹣A方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△ADE的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（　　） A.18 B.20 C.26 D.36 【举一反三3】如图，一次函数y=-x+8的图象与x轴、y轴交于A，B两点，P是x轴正半轴上的一个动点，连接BP，将△OBP沿BP翻折，点O恰好落在AB上，则点P的坐标为　　　　. 【举一反三4】如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 　    　． 【举一反三5】如图1，C是线段AB上一个定点，动点P从点A出发向点B匀速移动，动点Q从点B出发向点C匀速移动，点P，Q同时出发，移动时间记为x(s)，点P与点C的距离记为y1(cm)，点Q与点C的距离记为y2(cm).y1，y2与x的关系如图2所示. (1)线段AB的长为　　　　　cm； (2)求点P到达点B时，y1与x之间的函数图象经过的点D的坐标； (3)当P，Q两点相遇时，x=　　　　. 北师大版（2024）八年级上册 4.1 函数 题型专练（参考答案） 【题型1】变量与自变量 【典例】一本笔记本5元，买x本共付y元，在这个过程中，变量是（　　） A.5和x B.5和y C.x和y D.5，x和y 【答案】C 【解析】一本笔记本5元，买x本共付y元，在这个过程中，变量是买的本数x本和所付的金额y元， 故选：C． 【举一反三1】某学校用100元钱买乒乓球，所购买球的个数w与单价n（元）之间的关系是w=，其中（　　） A.100是常量，w，n是变量 B.100，w是常量，n是变量 C.100，n是常量，w是变量 D.无法确定哪个是常量，哪个是变量 【答案】A 【解析】学校计划用100元钱买乒乓球，所购买球的个数W（个）与单价n（元）的关系式w＝， 100是常量，w，n是变量， 故选：A． 【举一反三2】如图是某超市羊排的商品销售标价，在单价96元/千克、重量m千克、总价y元这三个量中，常量是 　          　．​ 【答案】单价96元/千克 【解析】在单价96元/千克、重量m千克、总价y元这三个量中，常量是单价96元/千克， 故答案为：单价96元/千克． 【举一反三3】某市居民用电价格是0.58元/（千瓦•时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦•时，其中常量是 　    　，变量是 　        ． 【答案】0.58 x，y 【解析】由题意，可知：常量是0.58，变量是x，y． 故答案为：0.58；x，y． 【题型2】根据列表识别函数 【典例】下列不能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D.y＝2x+1 【答案】B 【解析】B选项，当x取一个值时，y有两个值对应，所以y不是x的函数． 【举一反三1】观察下列4个表格，能表示为y是x的函数的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，选项A，C，D都不符合定义. 【举一反三2】如图．观察图形，根据下表中的数据回答问题： （1）设图形的周长为l，梯形的个数为n，l与n的关系能用函数表达式表示吗？自变量n的取值范围是什么？ （2）当n＝11时，求图形的周长l． 【答案】（1）能，l＝5+3（n﹣1）＝3n+2（n为正整数）； （2）当n＝11时，l＝3×11+2＝35． 【举一反三3】某电动车厂2022年各月份生产电动车的数量情况如下表： （1）在上述过程中，指出自变量和关于自变量的函数； （2）哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？ 【答案】（1）自变量是时间x，自变量的函数是月产量y． （2）由表格得，6月份电动车的产量最高，1月份电动车的产量最低． 【题型3】根据实际问题数量关系识别函数 【典例】下列所描述的四个变化过程中，变量之间的关系不能看成函数关系的是（　　） A.三角形的一个外角度数x度和与它相邻的内角度数y度的关系 B.树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后树的高度为y厘米，x与y的关系 C.正方形的面积y（平方厘米）和它的边长x（厘米）的关系 D.一个正数x的平方根是y，y随着这个数x的变化而变化，y与x之间的关系 【答案】D 【解析】A．y＝180°﹣x，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，故A不符合题意； B．y＝60+3x，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，故B不符合题意； C．y＝x2，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，故C不符合题意； D．y＝±，对于x的每一个值，y都有两个的值与它对应，故D符合题意； 故选：D． 【举一反三1】下面所描述的两种现象之间是函数关系的是（　　） A.家庭收入与家庭支出的关系 B.爸爸身高与儿子身高的关系 C.圆的周长与半径的关系 D.学生的数学成绩与统计学成绩的关系 【答案】C 【解析】A．家庭收入不会随家庭支出的变化而变化，所以家庭收入与家庭支出的关系不是函数关系，故本选项不符合题意； B．儿子身高不会随爸爸身高的变化而变化，所以爸爸身高与儿子身高的关系不是函数关系，故本选项不符合题意； C．圆的周长随半径的增大而增大，且给定半径一个值，都有唯一的周长值与它对应，所以圆的周长与半径的关系是函数关系，故本选项符合题意； D．学生的数学成绩不会随统计学成绩而变化，所以学生的数学成绩与统计学成绩的关系不是函数关系，故本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】下列所述不属于函数关系的是（　　） A.长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B.x+2与x的关系 C.匀速运动的火车，时间与路程的关系 D.某人的身高和体重的关系 【答案】D 【解析】A.∵S＝ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意； B.∵x+2中随x的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意； C.∵S＝vt，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意； D.∵身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三3】一段导线在0 ℃时的电阻为2欧，温度每增加1 ℃，电阻增加0.008欧，那么电阻R(欧)关于温度t(℃)的函数关系式为　　　　　. 【答案】 R=0.008t+2 【举一反三4】电业部门每月都按时取居民家查电表，电表读数与上次读数的差就是这段时间内用电的千瓦时数．月初小亮家电表显示的度数为300，本月初电表显示的读数为n． （1）小亮家上月用电多少千瓦时？ （2）如果每千瓦时的电费为0.52元，全月的电费为y（元），那么上月小亮家应缴费电费是多少？ （3）在问题（2）中，哪些量是常量？哪些量是变量？y是哪个变量的函数？ 【答案】解（1）根据题意得，小亮家上月用电（n﹣300）千瓦时； （2）根据题意得y＝0.52（n﹣300）； （3）常量：0.52，300；变量：y，n；y是n的函数． 【举一反三5】已知一个长方形周长为60米.求它的长y(米)与宽x(米)之间的函数关系式，并指出关系式中的自变量与函数. 【答案】 解　由题意得2(x+y)=60， 则x+y=30， 即y=30-x(0<x<30)， 自变量是x，y是x的函数. 【题型4】函数自变量的取值范围 【典例】函数y＝中自变量x的取值范围是（　　） A.且x≥3且x≠5 B.且x＞3且x≠5 C.x＞3 D.x≥3 【答案】B 【解析】由题意得： x﹣3＞0且x﹣5≠0， ∴x＞3且x≠5， 故选：B． 【举一反三1】函数y=中，自变量x的取值范围是 A.x>2    B.x<2 C.x≠2    D.x≥2 【答案】C 【解析】 由题意，得x-2≠0，解得x≠2. 【举一反三2】已知等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x的函数关系式为y＝20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（　　） A.x＞0 B.0＜x＜10 C.0＜x＜5 D.5＜x＜10 【答案】D 【解析】根据三角形的三边关系，得 则0＜20﹣2x＜2x， 由20﹣2x＞0，解得x＜10， 由20﹣2x＜2x，解得x＞5， 则5＜x＜10． 故选：D． 【举一反三3】函数y＝a5÷a3（a≠0）的定义域是　　． 【答案】a≠0 【解析】函数y＝a5÷a3（a≠0）的定义域是a≠0． 故答案为：a≠0． 【举一反三4】已知某弹簧长度的最大承重为25 kg，在弹性限度内，用x表示物体的质量(单位：kg)，用y表示弹簧的长度(单位：cm)，其关系如表. ①弹簧不挂物体时的长度是　　　cm； ②所挂物体的质量x每增加1 kg，y的变化是　　　　　　　　； ③根据表中数据的变化关系，写出y与x的关系式，并指出自变量的取值范围是　　. 【答案】 ①12　②增加0.5 cm　③y=0.5x+12，0≤x≤25 【举一反三5】周长为12米的竹篱笆围成一个如图所示的长方形的养鸡场，养鸡场一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，如果养鸡场一边长为x米，另一边为y米． （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）求出自变量x的取值范围． 【答案】解（1）由题意得：y+2x＝12， 则y＝﹣2x+12； （2）﹣2x+12＞0， 解得：x＜6， ∵x＞0， ∴0＜x＜6． 【题型5】函数值 【典例】按如图所示的运算程序，若输入x＝，则输出的y值为（　　） A.0 B.2+3 C.2﹣5 D.以上都不对 【答案】C 【解析】由题意得： 把x＝代入y＝2x﹣5中得：y＝2﹣5， ∴输出的y值为2﹣5， 故选：C． 【举一反三1】已知y1，y2均为关于x的函数，当x＝a时，函数值分别为A1，A2，若对于实数a，当0＜a＜1时，都有﹣1＜A1﹣A2＜1，则称y1，y2为亲函数，则以下函数y1和y2是亲函数的是（　　） A.y1＝x2+1，y2＝ B.y1＝x2+1，y2＝2x﹣1 C.y1＝x2﹣1，y2＝ D.y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣1 【答案】D 【解析】（1）A选项， ∵y1＝x2+1，y2＝， ∴y1﹣y2＝x2+1， 当0＜x＜1时，＞1，且x2+1＞1， ∴y1﹣y2＝x2+1＞1， 即此选项不合题意； （2）B选项， ∵y1＝x2+1，y2＝2x﹣1， ∴y1﹣y2＝x2+1﹣（2x﹣1） ＝（x﹣1）2+1， 当0＜x＜1时，（x﹣1）2+1＞1， 即此选项不合题意； （3）C选项， ∵y1＝x2﹣1，y2＝， ∴y1﹣y2＝x2﹣1﹣（） ＝x2+﹣1， 当x＝时，x2+﹣1＝＞1， 即此选项不合题意； （4）D选项， ∵y1＝x2﹣1，y2＝2x﹣1， ∴y1﹣y2＝x2﹣1﹣（2x﹣1） ＝x2﹣2x， 当0＜x＜1时，﹣1＜x2﹣2x＜0， 即此选项符合题意； 故选：D． 【举一反三2】已知函数y=3x+1，当自变量增加3时，相应的函数值增加 A.10   B.9   C.3   D.8 【答案】B 【解析】 因为y=3x+1，所以当自变量增加3时，y1=3(x+3)+1=3x+1+9，相应的函数值增加9. 【举一反三3】根据如图所示的程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的结果为　　． 【答案】． 【解析】∵x＝＞1， 则将x＝代入函数y＝﹣x+2中得：﹣+2＝． 故答案为：． 【举一反三4】已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y． （1）试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当x＝5时，求出函数值． 【答案】解（1）由题意得：12＝2x+y ∴可得：y＝12﹣2x， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜12 ∴可得3＜x＜6． （2）由（1）得：y＝12﹣2x ∴当x＝5时函数值＝2． 【举一反三5】当自变量x取何值时，函数y＝x+1与y＝5x+17的值相等？这个函数值是多少？ 【答案】解由题意得， 解得， 当x＝﹣时，函数y＝x+1与y＝5x+17的值相等， 这个函数值是﹣15． 【题型6】求自变量的值 【典例】已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在正数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“正和谐函数”．下列函数y1和y2是“正和谐函数”的是（　　） A.y1＝2x+1和y2＝3x+2 B.y1＝﹣x+3和y2＝2x﹣1 C.y1＝﹣x﹣1和y2＝3x﹣2 D.y1＝﹣x+1和y2＝2x+3 【答案】C 【解析】A.2x+1+3x+2＝1，解得x=-，不合题意； B.﹣x+3+2x﹣1＝1，解得x＝﹣1，不合题意； C.﹣x﹣1+3x﹣2＝1，解得x＝2，符合题意； D.﹣x+1+2x+3＝1，解得x＝﹣3，不合题意； 故选：C． 【举一反三1】如图是一个运算程序的示意图，若输出y的值为2，则输入x的值可能为（　　） A.3 B.±1 C.1或3 D.±1或3 【答案】C 【解析】当x+1＝2时，x＝1，不符合x≤0； 当x2+1＝2时，x＝±1，此时x＝1符合； 当＝2时，x＝3，此时符合； ∴x＝3或x＝1， 故选：C． 【举一反三2】对于函数y＝，当y＝0时，x＝　　． 【答案】2 【解析】当y＝0时，， 解得：x＝2， 经检验：x＝2是方程的解， 故答案为：2． 【举一反三3】当x＝　　时，函数y＝3x+1与函数y＝2x﹣4的函数值相等． 【答案】-5 【解析】由题意得： 3x+1＝2x﹣4， 解得：x＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【题型7】列表法 【典例】某校数学兴趣小组的同学利用同一块木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下： 由表格信息可判断下列说法错误的是（　　） A.支撑物高度为40 cm时，小车下滑时间为2.13s B.若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40 cm至50 cm之间 C.若支撑物高度为90 cm，则小车下滑时间可以是小于1.35s的任意值 D.支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小 【答案】C 【解析】A.由表格可知，当h＝40 cm时，t＝2.13s，故该说法正确，不符合题意； B.通过观察表格可得，小车下滑时间为2s，支撑高度在40 cm至50 cm之间，故该说法正确，不符合题意； C.若支撑物高度为90 cm，则小车下滑时间可以是小于1.35s的值，并非任意值，此选项符合题意； D.支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小，故该说法正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三1】肥料的施用量与产量之间有一定的关系．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 根据表格可知，下列说法正确的是（　　） A.氮肥施用量越大，土豆产量越高 B.氮肥施用量是110kg时，土豆产量为34t C.当氮肥施用量低于336kg时，土豆产量随施肥量的增加而增加 D.土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量一定是202kg 【答案】C 【解析】A.氮肥施用量大于336时，土豆产量逐渐减少，故选项错误； B.当氮肥的施用量是110kg时，土豆产量为32.29t～34.03t，故选项错误； C.当氮肥的施用量低于336kg时，土豆产量随施肥量的增加而增加，故选项正确； D.土豆产量为39.45t时，氮肥的施用量可能是202kg，故选项错误． 故选：C． 【举一反三2】肥料的施用量与产量之间有一定的关系，研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如表关系：根据表格可知，下列说法正确的是（　　） A.氮肥施用量越大，土豆产量越高 B.如果不施氨肥，土豆的产量是15.18吨/公顷 C.氨肥施用量是110kg时，土产量为32t D.土豆产量为39.45t时，氨肥的施用量一定是202kg 【答案】B 【解析】A.根据表格可知，氮肥量在0—336时，氮肥施用量越大，土豆产量越高，氮肥量大于336时，氮肥施用量越大，土豆产量越低，选项说法错误，不符合题意； B.当氮肥量在0时，土豆产量是15.18t，选项说法正确，符合题意； C.∵当氮肥量在101时，土豆产量是32.29t， ∴当氮肥量在110时，土豆产量是大于32.29t，选项说法错误，不符合题意； D.土豆产量为39.45t时，氨肥的施用量是202kg或471kg，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【举一反三3】果子成熟后从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如表的关系： 如果果子经过2秒落到地上，那么此果子开始落下时离地面的高度大约是　　米． 【答案】20 【解析】∵当t＝0.5时，h＝5×0.52，当t＝0.6时，h＝5×0.62，当t＝0.7时，h＝5×0.72，当t＝0.8时，h＝5×0.82，当t＝0.9时，h＝5×0.92，当t＝1时，h＝5×12， ∴h（米）与t（秒）之间的函数关系式为：h＝5t2， ∴当t＝2时，h＝5×22＝20． ∴果子开始落下时离地面的高度大约是20米． 故答案为：20． 【举一反三4】大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种.据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如表. 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为　　　　℃. 【答案】 10 【解析】 由表格数据可知，温度每升高2 ℃，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加14次， 由此，在温度为13 ℃时，蟋蟀每分钟鸣叫的70次的基础上可得， 13-2×=10(℃)， 即这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为49次，则该地当时的气温约为10 ℃. 【举一反三5】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： （1）自变量是　　，因变量是　　． （2）当刹车时车速为40km/h时，刹车距离是　　m． （3）该种型号汽车的刹车距离用y（m）表示，刹车时车速用x（m/h）表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式． （4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为120km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车33m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由． 【答案】解（1）由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离． 故答案为：刹车时车速；刹车距离； （2）当刹车时车速为40km/h时，刹车距离是10m， 故答案为：10； （3）由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m， ∴y与x之间的关系式为：y＝0.25x（x≥0）， 故答案为：y＝0.25x（x≥0）； （4）该汽车不会和前车追尾； 理由：当x＝120时，y＝120×0.25＝30， ∵30＜33， ∴该汽车不会和前车追尾． 【举一反三6】父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了表格. 根据该表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答. ①表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？ ②如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？ ③你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？ ④你知道距离地面6千米的高空温度是多少吗？ 【答案】 解　①表格反映了温度和距离地面高度之间的关系，高度是自变量. ②由表可知，每上升1千米，温度降低6摄氏度，可得关系式为t=20-6h. ③由表可知，距离地面5千米时，温度为零下10摄氏度. ④将h=6代入t=20-6h，解得t=-16， 故距离地面6千米的高空温度是零下16摄氏度. 【题型8】关系式法 【典例】一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，在圆周长C与半径r的关系式C＝2πr中，变量是（　　） A.C，r B.C，π C.π，r D.C，2π 【答案】A 【解析】关系式C＝2πr中，常量是2和π，变量是C，r， 故选：A． 【举一反三1】如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是 A.y=2n+1    B.y=2n+1+n C.y=2n+n    D.y=2n+n+1 【答案】C 【解析】 根据题意得 第1个图：y=1+2； 第2个图：y=2+4=2+22； 第3个图：y=3+8=3+23； … 以此类推， 第n个图：y=n+2n. 【举一反三2】小颖画了一个边长为5 cm的正方形，如果将正方形的边长增加x cm，那么面积的增加值y（ cm2）与边长的增加值x（ cm）之间的关系式为　　． 【答案】y＝x2+10x 【解析】由题意得： y＝（x+5）2﹣52 ＝x2+10x． 故答案为：y＝x2+10x． 【举一反三3】启航港里有一棵树苗，刚栽下去时高为1米，以后每月长0.3米，则树高y（米）与月数x（月）之间的关系式为　　． 【答案】y＝1+0.3x 【解析】由题意可知，y＝1+0.3x， 故答案为：y＝1+0.3x． 【题型9】实际问题情境中的函数图象 【典例】如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 【举一反三1】如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A.A地与B地之间的距离是180千米 B.前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C.汽车中途共休息了5小时 D.汽车返回途中的速度是60千米/时 【答案】C 【解析】A.由图象得知A地与B地之间的距离是180千米，故A不符合题意； B.前3小时汽车行驶的速度是＝40千米/时，故B不符合题意； C.由于不知道第6小时出发时的速度，所以求不出汽车中途共休息时间，故C符合题意； D.汽车返回途中的速度是＝60千米/时．故D不符合题意． 故选：C． 【举一反三2】匀速地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　） A.​ B.​ C.​ D.​ 【答案】D 【解析】相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径． 故选：D． 【举一反三3】小明骑自行车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的对应关系如图所示，则小明骑自行车的速度是 　    　米/分．​ 【答案】300 【解析】小明骑自行车的速度是：1500÷[6﹣（3﹣2）]＝300（米/分）． 故答案为：300． 【举一反三4】如图①，底面积为30 cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（ cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15 cm2，则图②中的a的值为 　     　. 【答案】6 【解析】根据函数图象得到圆柱形容器的高为14 cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11 cm， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42﹣24＝18（s）， 这段高度为：14﹣11＝3（ cm）， 设匀速注水的水流速度为x cm3/s，则18•x＝30×3， 解得x＝5， 即匀速注水的水流速度为5 cm3/s； “几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5， 解得a＝6． 故答案为：6． 【举一反三5】图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图②所示． （1）根据图②填表： （2）变量y是x的函数吗？为什么？ （3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径． 【答案】解 （1）填表如下． 故答案为：5，70，5，54，5； （2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义， 所以y是x的函数． （3）∵最高点为70米，最低点为5米， ∴摩天轮的直径为65米． 【举一反三6】2025年是“绿水青山就是金山银山”理念提出20周年，也是中国提出“双碳”目标的5周年．为响应国家“低碳生活，绿色出行”的号召，李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又返回到刚刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，如图是他本次离家时间（单位：min）与离家距离（单位：m）之间的关系图象，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）图中自变量是             ，因变量是             ； （2）李老师家到小明家的路程是             m，李老师在小明家家访用了       min； （3）请计算李老师家访完后到学校的骑车速度． 【答案】解：（1）根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家距离， 故答案为：离家时间，离家距离； （2）由图象可知：李老师家到小明家的路程是1000m， 李老师在小明家停留了12﹣6＝6（分钟）， 故答案为：1000；6； （3）由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为：250（米/分）． 【题型10】动点问题中函数图象 【典例】如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，CA＝CB，动点E从点D出发，沿折线D﹣C﹣B﹣A方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△ADE的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD的面积是（　　） A.15 B.16 C.17 D.18 【答案】D 【解析】当t＝3时，点E到达点C处，即CD＝3， 如图，过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形， ∴AF＝CD＝3， ∵CA＝CB， ∴AB＝2AF＝6， 当S＝12时，点E到达点B处， ∴S＝AB•AD＝×2AF•AD＝3AD＝12， ∴AD＝4， ∴四边形ABCD的面积：（CD+AB）•AD＝×（3+6）×4＝18， 故选：D． 【举一反三1】如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当P在BC上，即0＜x≤4时，y＝×4x＝2x，当x＝4时，y＝8； 当P在CD上，即4＜x≤8时，y＝×4×4＝8， 当P在AD上，即8＜x＜12时，y＝×4（12﹣x）＝﹣2x+24； 观察4个选项，符合题意的为D； 故选：D． 【举一反三2】如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长是（　　） A.18 B.20 C.26 D.36 【答案】A 【解析】∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变， 函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5， ∴AB＝5，BC＝4， ∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝18． 故选：A． 【举一反三3】如图，一次函数y=-x+8的图象与x轴、y轴交于A，B两点，P是x轴正半轴上的一个动点，连接BP，将△OBP沿BP翻折，点O恰好落在AB上，则点P的坐标为　　　　. 【答案】 【解析】 设点O关于直线PB的对称点是点C. 因为一次函数y=-x+8的图象与x轴、y轴交于A，B两点， 所以AO=6，BO=8，AB=10. 由题意得点P在线段OA上， 由折叠的性质，可得OP=CP，BC=OB=8，∠BCP=∠BOP=90°. 设OP=CP=x，则AP=6-x，AC=10-8=2， 在Rt△ACP中，由勾股定理可得x2+22=(6-x)2， 解得x= 所以P. 【举一反三4】如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 　    　． 【答案】12 【解析】从图（2）看，BC＝6，CD＝4， 则当x＝6时，点P在点C处，则m＝y＝×AB×BC＝6×4＝12， 故答案为：12． 【举一反三5】如图1，C是线段AB上一个定点，动点P从点A出发向点B匀速移动，动点Q从点B出发向点C匀速移动，点P，Q同时出发，移动时间记为x(s)，点P与点C的距离记为y1(cm)，点Q与点C的距离记为y2(cm).y1，y2与x的关系如图2所示. (1)线段AB的长为　　　　　cm； (2)求点P到达点B时，y1与x之间的函数图象经过的点D的坐标； (3)当P，Q两点相遇时，x=　　　　. 【答案】 解　(1)由图可得，线段AC的长度为6 cm，线段BC的长为21 cm， 所以线段AB的长为6+21=27(cm). (2)由图象可得，点P的运动速度为6÷3=2(cm/s)， 由27÷2=13.5，可知y1的图象过点(13.5，21)， 即点D(13.5，21). (3)由题意可得， 点Q的速度为21÷7=3(cm/s)， 则当P，Q两点相遇时， x==. 学科网（北京）股份有限公司 $