专题1.4 集合专题中的命题陷阱（7类必考点）讲义-2026年初升高暑期数学自救计划（人教A版必修第一册）

专题1.4 集合专题中的命题陷阱 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 1 【陷阱2：集合中元素重复】 1 【陷阱3：隐含条件】 2 【陷阱4：代表元的变化】 3 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 4 【陷阱6：子集中的空集】 6 【陷阱7：新定义】 8 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合用列举法表示出来. 1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东广州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【陷阱2：集合中元素重复】 陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 6．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 8．（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 9．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 10．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【陷阱3：隐含条件】 陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 11．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·山西晋城·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·河北邢台·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【陷阱4：代表元的变化】 陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集. 16．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知集合，，则的真子集个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知集合，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，求 ． 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意分类讨论思想的应用. 21．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，若，求实数t的取值范围. 22．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，.若，求m的取值范围. 23．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 24．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 25．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【陷阱6：子集中的空集】 陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集. 26．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）设或，，，求的取值范围． 27．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 28．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 29．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 30．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【陷阱7：新定义】 陷阱预防：对于集合的新定义问题首先读懂题意，把问题转化为已经高中的基础知识后解答. 31．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 33．（26-27高一·全国·暑假作业）（多选）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 34．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）（多选）给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 35．（25-26高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 集合专题中的命题陷阱 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 1 【陷阱2：集合中元素重复】 3 【陷阱3：隐含条件】 5 【陷阱4：代表元的变化】 6 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 8 【陷阱6：子集中的空集】 11 【陷阱7：新定义】 14 【陷阱1：元素与集合，集合与集合关系混淆】 陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合用列举法表示出来. 1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）以下四个选项中，正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系依次判断各选项即可得答案. 【详解】对于A，混淆元素与集合，集合与集合的关系，为的真子集，故错误； 对于B，是的真子集 ，不存在大小关系，故错误； 对于C，，正确； 对于D，空集是任何集合的子集，即，不是的元素，故错误. 故选：C 3．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 4．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项. 【详解】因为，所以，可知 对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，因为，不满足，D错误； 故选：C. 5．（25-26高一上·广东广州·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解集合的元素，再根据元素与集合、集合与集合的关系逐一分析选项. 【详解】由，得或，因此集合， 选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确； 选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误； 选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误； 选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误. 故选：A. 【陷阱2：集合中元素重复】 陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 6．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 7．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 8．（25-26高一上·广东·期末）（多选）（多选）若集合，且，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 9．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 10．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 【陷阱3：隐含条件】 陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 11．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，则. 12．（25-26高一下·山西晋城·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 故，则，故B正确. 故选：B 13．（2026·北京大兴·三模）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以． 14．（2026·湖南·模拟预测）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】全集，集合是所有大于的自然数，即. 补集是全集中不属于的元素构成的集合，因此. 15．（2026·河北邢台·三模）已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据集合的表达式求出符合集合范围的元素，再计算两个集合的交集即可. 【详解】首先明确自然数集包含，由集合的定义，设，其中，变形得，， 已知集合，将非负整数依次代入计算： 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，超出集合的元素范围，不满足要求， 因此，故B正确. 【陷阱4：代表元的变化】 陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集. 16．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知集合，，则的真子集个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】或，则方程组解为或， 即，有2个元素， 从而的真子集个数为个. 17．（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， 由得，所以， 所以. 18．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】集合，， 方程组解得或， 所以，元素个数为2. 19．（25-26高一上·山西忻州·期末）已知集合，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】求出集合A、B即可由交集定义得解. 【详解】由题可得集合， ， 所以， 所以中的元素个数为4. 故选：C 20．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，求 ． 【答案】 【分析】根据题意，联立方程组，求得方程组的解，进而得到答案. 【详解】由集合，， 联立方程组，解得或， 所以 . 【陷阱5：参数取值不完整造成漏解】 陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意分类讨论思想的应用. 21．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 22．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 23．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合 ，或，， ． (1)求 ， (2)若 ，求实数的取值范围． 【答案】(1) 或 ， (2) 【详解】（1） ，或， 或； 又，则 . （2） ，则需， 解得，故实数的取值范围为. 24．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 25．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或； （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或. 【陷阱6：子集中的空集】 陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集. 26．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）设或，，，求的取值范围． 【答案】或 【分析】根据，则有，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】由于或， ， 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是或． 27．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 28．（25-26高一上·广东·阶段检测）记集合，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由条件，列不等式求的范围； （2）分，两种情况，结合条件列不等式求的范围； 【详解】（1）由，得，解得或. （2）当时题设显然成立，此时有，解得； 当时，有，解得或. 综上的取值范围是. 29．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）设集合，. (1)若集合B中有两个大于0的元素，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)实数a的取值范围为 (2)实数a的取值范围为 【分析】（1）由题意可得有两个不等正根，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意可得或或或；分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合B中有两个大于0的元素，所以有两个不等正根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）由，可得，解得或， 因为，所以或或或； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 当时，，解得； 当时，，无解，故舍去； 综上所述：实数a的取值范围为. 30．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由子集定义得，解该不等式组即可得解. （2）先由题意得，分和两种情况分析计算即可得解. 【详解】（1）因为，所以，故. （2）若，则. 当即时，，符合题意. 当时，要使，则，无解. 综上，若，则实数的取值范围为. 【陷阱7：新定义】 陷阱预防：对于集合的新定义问题首先读懂题意，把问题转化为已经高中的基础知识后解答. 31．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 32．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 33．（26-27高一·全国·暑假作业）（多选）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 34．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）（多选）给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】首先根据集合的定义确定其元素范围，结合、的约束条件，推导的元素个数最值、的最大元素范围，逐一判断选项. 【详解】∵ 集合 ，且 ， 可得 ，中最大元素为. 对于选项A， 题设明确，根据子集定义，可得 ，故A正确. 设中最小元素为，最大元素为，. ∵ ，即. ∵ ，故的最小元素为. ∵ ，故的最大元素为. 要满足，需保证的最大元素小于的最小元素， 即 ①. 对于选项C：若，则，， 满足，且，故C错误. 对于选项B、D：要使最大，可取为连续自然数集合，此时. 代入①得 . 又 ，当时，， 因为，所以， 代入得，且， 满足①式，此时符合所有条件，故可能为，故D正确. 当时，，因为，所以， 代入得，超出的元素范围，不可能成立，故B错误. 【点睛】方法归纳：解决集合新定义问题，需先准确理解新集合的含义，将陌生条件转化为熟悉的集合运算、不等关系，涉及最值问题时优先考虑元素连续的集合构造. 35．（25-26高二下·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】 根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $