3.2.2奇偶性7题型分类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性核心知识点，系统梳理定义、图象特征、定义域特点及单调性等内容，通过9类题型（判断、抽象函数、图象应用、求函数值等）构建从概念理解到综合应用的学习支架，衔接函数性质前后知识脉络。 该资料以题型分类为特色，通过定义辨析培养数学眼光，逻辑推理提升数学思维，问题解决强化数学语言。如判断奇偶性题训练抽象能力，解不等式题体现推理意识，课中辅助教学深化理解，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.2.2奇偶性9题型分类 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1．（2026高一·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 2．（宁波市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·辽宁抚顺·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（3.2.2奇偶性）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 5．（2026高一·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 6．（2026高一·四川·阶段检测）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 题型2：抽象函数的奇偶性 7．（2026高一·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 8．（2026高一·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 9．（2026高一·江苏南通·专题练习）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． （二） 奇、偶函数的图象及应用 1、巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2、奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型3：奇、偶函数的图象及应用 10．（2026高一·湖南邵阳·阶段检测）如图，给出奇函数的局部图象，则的值为（    ） A． B．7 C．5 D． 11．（5.2函数的基本性质）如图，已知偶函数在y轴及y轴一侧的部分图像，作出的大致图像．    12．（2026高一·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 13．（2026高一·甘肃庆阳·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 14．（2026高一·四川广安·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   （三） 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题. 题型4：利用函数的奇偶性求函数值 15．（2026高三·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 16．（2026高一·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． （四） 利用函数的奇偶性求参数值 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 题型5：利用函数的奇偶性求参数值 17.（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 18．（2024秋·新疆·高三八一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数是偶函数. (1)求的值； (2)求函数在其定义域上的最值. 19．（2023春·新疆·高二校考期末）若函数是偶函数，则m= 20.（2023秋·高一单元测试）设是定义在上的偶函数，则 A．0 B．2 C． D． （五） 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 题型6：利用函数的奇偶性求函数解析式 21．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 22．（2026高一·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 23．（2026高一·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 24．（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 25．设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 26．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 27．（2026高一·广东江门·阶段检测）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 28．（2026高三·广东茂名·阶段检测）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是______． （六） 利用函数的奇偶性比较大小 利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 题型7：利用函数的奇偶性比较大小 29．（2026高一·江西宜春·阶段检测）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 30．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 31．（2026高一·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 32．（2026高一·广东汕尾·期末）已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（2026高一·湖南·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 34．（2026高一·云南玉溪·期中）定义在上的奇函数满足：对，，且，都有，且，设，，，则（   ） A． B． C． D．，，大小关系不确定 35．【多选】（2026高一·江苏无锡·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． （七） 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是: ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题. (2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). (3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算. 题型8：利用函数的奇偶性解不等式 36．（2026高一·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高一·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 38．（2026高一·天津·期中）若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（2026高三·北京海淀·开学考试）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是___________. 40．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 41．（2026高二·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型9：函数性质的综合应用 42．【多选】（2026高一·云南昭通·期中）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的递减区间为 D．是奇函数 43．【多选】（2026高一·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A．B．是减函数C．是奇函数D．当时， 44．【多选】（2026高一·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 45．【多选】（2026高二·山东烟台·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．当时， 46．【多选】（2026高二·浙江金华·期末）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 1．（2026高一·陕西汉中·期中）给定四个函数：①；②；③，；④，其中奇函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·四川南充·模拟预测）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 3．（2026高一·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京西城·模拟预测）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 6．（2026高一·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    7．（2026·江西·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．6 C． D．4 8．（2026高二·安徽·开学考试）已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．（北京市第五十中学2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·全国·课后作业）关于函数与的奇偶性，下列说法正确的是（    ） A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数是偶函数，是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数 11．【多选】（2026高一·广东珠海·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图像如图，则下列说法正确的是（   ） A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 13．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）已知函数与的图象如图所示，则（    ）        A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 14．（2026高一·全国·课后作业）已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______，______. 15．（2026高一·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则___________. 16．（2026高一·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 17．（2026高二·浙江丽水·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 18．（2026高一·江苏无锡·期中）已知函数是定义在R上的偶函数．    (1)求函数的解析式； (2)在下图所给的坐称系中画出的图象，并写出函数的增区间． 19．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间. 20．（2026高一·全国·课后作业）设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． （1）若，试比较与的大小关系； （2）若，求实数的取值范围． 21．（2026高一·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.2.2奇偶性9题型分类 一、偶函数、奇函数的定义 (1)偶函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 二、偶函数、奇函数的图象特征 (1)偶函数的图象特征 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. (2)奇函数的图象特征 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象关于坐标原点成中心对称图形，则这个函数是奇函数. 三、函数具有奇偶性时定义域与对应关系的特点 (1)定义域：由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． (2)对应关系：①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔(f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔(f(x)≠0)． 四、函数奇偶性的四个关注点 (1)与函数的最值相同，函数的奇偶性也是函数的整体性质． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合． (4)函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． 五、奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图象特征，我们不难得出以下结论： (1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”． (2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 六、常见函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的奇偶性 函数 奇偶性 一次函数y＝kx＋b(k≠0) 当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数y＝(a≠0) 奇函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 当b＝0时是偶函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 （一） 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法 ①确定函数的定义域； ②看定义域是否关于原点对称． (ⅰ)不对称，则函数为非奇非偶函数； (ⅱ)对称 (2)图象法：画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性． (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． 注：(1)判断奇偶性时，必须先求定义域. (2)有时需在定义域内对函数解析式进行变形、化简，再找f(-x)与f(x)的关系. (3)对于分段函数，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 题型1：函数奇偶性的判断 1．（2026高一·全国·课后作业）已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】根据奇偶性的概念分别判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的概念与性质逐项判断即可得结论. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 2．（宁波市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要判断函数的奇偶性，先依据奇函数定义，对于定义域为的函数，若满足，则为奇函数，再逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：因为， 所以，满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.A错误. 选项B：因为， 所以， 满足奇函数定义，是奇函数.B正确. 选项C：因为， 所以， 满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数. C错误. 选项D：因为， 所以， 满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.D错误. 故选：B. 3．（2026高一·辽宁抚顺·期中）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义即可判断. 【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数，故A正确； 的定义域为，因为，所以不是奇函数，故B错误； 的定义域为，所以既不是奇函数也不是偶函数，故C错误； 的定义域为，因为，所以是偶函数，故D错误. 故选：A. 4．（3.2.2奇偶性）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)既不是奇函数也不是偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数 【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，对于函数定义域不对称的即为非奇非偶函数，再结合函数奇偶性的定义逐一判断（1）（5）题即可． 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 5．（2026高一·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 6．（2026高一·四川·阶段检测）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 【答案】(1)， (2)为奇函数，证明详见解析. 【分析】（1）由已知得关于，的方程组，即可求解. （2）求出，结合奇偶性的定义即可得出结论. 【详解】（1）由得，；由得，； 联立解得，，. （2）为奇函数. 证明：由（1）知，，定义域为， 则，所以， 所以为奇函数. 题型2：抽象函数的奇偶性 7．（2026高一·广东汕头·期中）定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，满足：，且当时. (1)求及的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)，； (2) 函数是偶函数，理由如下： 的定义域是，，， 令，可得，所以函数是偶函数. (3). 【分析】（1）令可得，令可得； （2）令，结合偶函数的定义即可证明； （3）先用定义证明函数在上单调递增，利用单调性和奇偶性将不等式转化为，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）在中，令，可得，解得. 令，可得，解得. （2）略 （3）任意时，，由题意得： ， 所以在上是增函数， 可化为，即， 又由（2）知是偶函数，所以可化为， 又在上是增函数，所以，且， 解得：且， 所以不等式的解集为. 8．（2026高一·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1) 根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. (2) 任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 9．（2026高一·江苏南通·专题练习）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 （二） 奇、偶函数的图象及应用 1、巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2、奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 题型3：奇、偶函数的图象及应用 10．（2026高一·湖南邵阳·阶段检测）如图，给出奇函数的局部图象，则的值为（    ） A． B．7 C．5 D． 【答案】A 【分析】结合函数的奇偶性以及图象求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， 结合图象可知. 故选：A 11．（5.2函数的基本性质）如图，已知偶函数在y轴及y轴一侧的部分图像，作出的大致图像．    【答案】详见解析 【分析】根据偶函数的图象特征即可直接画出图象. 【详解】偶函数的图象关于y轴对称，所以只需作出关于y轴对称的另一部分即可； 详见下图：    12．（2026高一·甘肃酒泉·期中）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数为偶函数，得到，结合图象，即可求解. 【详解】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. 13．（2026高一·甘肃庆阳·期末）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数奇偶性和特殊点，排除不符合的选项即可. 【详解】函数的定义域为，， 因此是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C，D不满足； 又，所以选项B不满足，A符合题意. 故选：A 14．（2026高一·四川广安·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除B，再根据即可排成CD，从而得到答案． 【详解】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． （三） 利用函数的奇偶性求函数值 利用函数的奇偶性求函数值的思路 已知f(a)求f(－a)的思路：判断f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a)与f(－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f(－a)． 注：(1)利用函数的奇偶性求函数值问题应充分运用奇(偶)函数的定义构造函数，从而使问题快速得到解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下,若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数,若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数解题. 题型4：利用函数的奇偶性求函数值 15．（2026高三·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】1 【分析】利用函数奇偶性分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 当时，， 所以，解得：， 所以当时，，所以. 16．（2026高一·贵州铜仁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【分析】根据奇函数性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. （四） 利用函数的奇偶性求参数值 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 题型5：利用函数的奇偶性求参数值 17.（2023·湖南·校联考模拟预测）已知是偶函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】方法一：因为， 所以， 由，得， 解得； 方法二：， 因为是偶函数， 所以图像关于直线对称， 所以，解得， 故选：D． 18．（2024秋·新疆·高三八一中学校考阶段练习）已知定义在上的函数是偶函数. (1)求的值； (2)求函数在其定义域上的最值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据函数为偶函数及定义域求解可得，根据偶函数的定义可得的值； （2）由（1）得函数的解析式及定义域结合函数图象可得函数的最值. 【详解】（1）是偶函数，的定义域关于原点对称， 又的定义域为， ，解得. 又， ，可得； （2）由（1）得，定义域为， 其图象是开口方向朝上，对称轴为直线的抛物线的一部分， 当时，， 当时，. 19．（2023春·新疆·高二校考期末）若函数是偶函数，则m= 【答案】1 【分析】根据偶函数的概念求解即可. 【详解】函数的定义域为 所以，若函数是偶函数 则，则，解得。 故答案为：. 20.（2023秋·高一单元测试）设是定义在上的偶函数，则 A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由于在上的偶函数，故定义域关于原点对称，即：，得. 又由于为偶函数，即：，化简得：=0. 则. 故选：C. （五） 利用函数的奇偶性求函数解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式的注意事项 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)． 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0. 题型6：利用函数的奇偶性求函数解析式 21．（2026高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，画出函数的图像，并求出的解析式． 【答案】， 【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以图像关于原点对称且，图像如图所示： 当时，， 所以当时，，则， 整理有， 所以的解析式为． 22．（2026高一·上海杨浦·期末）已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，， 则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 23．（2026高一·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数， 当时，； 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）由函数，所以函数的单调递增区间为和 又在区间上单调递增， 故，所以. 24．（2026高三·河南新乡·阶段检测）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 25．设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 26．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 27．（2026高一·广东江门·阶段检测）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 【答案】9 【分析】利用函数的奇偶性建立方程组，求出解析式，进而求出的值. 【详解】由题意知，，. 因为①， 则，即②， 由①②联立解得，. 所以. 故答案为：9 28．（2026高三·广东茂名·阶段检测）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是______． 【答案】 【分析】依题意可得，解方程组即可得解. 【详解】因为， 又因为是奇函数，是偶函数，所以． 由、解得． 故答案为： （六） 利用函数的奇偶性比较大小 利用函数的奇偶性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性转化为同一单调区间上的两函数值，然后利用单调性比较大小． 题型7：利用函数的奇偶性比较大小 29．（2026高一·江西宜春·阶段检测）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间上，然后利用函数的单调性比较大小关系，即可得到结果． 【详解】因为函数为偶函数，，， 当时，是增函数，又， 所以，即. 故选：A. 30．（2026高一·内蒙古赤峰·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解. 【详解】∵当时，恒成立， ∴当时，，即， ∴函数在上为单调减函数， ∵函数是偶函数，即， ∴函数的图像关于直线对称，∴， 又函数在上为单调减函数，∴， 即，∴， 故选：C. 31．（2026高一·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 32．（2026高一·广东汕尾·期末）已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质可得在上单调递减，结合单调性即可判断选项. 【详解】连续的奇函数的定义域为，所以, 因为在上单调递减，在[0,2]上单调递增， 所以在上单调递减， 因为，， 所以,, 所以; 故选：B 33．（2026高一·湖南·阶段检测）已知是上的偶函数，当时，是增函数，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用是上的偶函数可知，，再根据在区间上单调递增即可判断大小. 【详解】利用是上的偶函数可知，， 由于，又在区间上单调递增， 则, 故. 34．（2026高一·云南玉溪·期中）定义在上的奇函数满足：对，，且，都有，且，设，，，则（   ） A． B． C． D．，，大小关系不确定 【答案】C 【分析】由在上为减函数，且为奇函数，再由判断. 【详解】因函数是上的奇函数，且在上为减函数， 则，又， 则，，， 即. 故选：C. 35．【多选】（2026高一·江苏无锡·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，结合选项，逐项化简、判断，即可求解. 【详解】由是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 且在上均递增，则在上递减，在上递增， 对于A，由，可得， 但与的符号不能确定，所以和大小不确定， 即与大小不确定，所以A不正确； 对于B，由，因为， 又由， 因为，所以，所以 B正确； 对于C，由，则， 可得，即，所以C正确； 对于D，由， 且， 因为，可得，所以， 所以，所以D错误. 故选：BC. （七） 利用函数的奇偶性解不等式 利用函数的奇偶性解不等式 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”，转化为简单不等式求解． 注：(1)抽象不等式问题，解题步骤是: ①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; ②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f"，转化为解不等式(组)的问题. (2)需要注意的是:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0= f(l),f(x-1)<0，则f(x-1)< f(1). (3)利用好偶函数性质f(x)=f(|x|)可以避免讨论，简化计算. 题型8：利用函数的奇偶性解不等式 36．（2026高一·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将不等式转化为不等式组，再结合偶函数及函数单调性求解. 【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 37．（2026高一·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 38．（2026高一·天津·期中）若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出时，、和的解，再由奇函数性质得出时，、和的解，然后分类讨论解不等式可得． 【详解】当时，，时，，时，，， 又是奇函数，所以时，，时，，且， 不等式或或，所以或， 综上． 故选：D． 39．（2026高三·北京海淀·开学考试）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解. 【详解】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数， 若，则，平方可得， 解得， 故答案为： 40．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 41．（2026高二·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 题型9：函数性质的综合应用 42．【多选】（2026高一·云南昭通·期中）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．的递减区间为 D．是奇函数 【答案】ACD 【分析】利用反比例函数的性质判断ABC选项，由奇函数的定义判断D选项. 【详解】函数是反比例函数，结合反比例函数的性质可知， 的定义域为，关于原点对称，A选项正确； 的值域为，B选项错误； 的图象为一三象限双曲线，递减区间为，C选项正确； ，是奇函数，D选项正确. 故选：ACD 43．【多选】（2026高一·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A．B．是减函数C．是奇函数D．当时， 【答案】ACD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断C，结合单调性结合特例判断B，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 44．【多选】（2026高一·湖南·期末）已知函数满足对任意的，都有，且，当时，，则（   ） A． B． C．是增函数 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】利用赋值法判断A；令，可得，即可判断B；根据题意结合函数单调性的定义判断C；分析可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】因为，， 对于选项A：令，得，解得，故A错误 对于选项B：令，得，即， 可知为奇函数，所以，故B正确； 对于选项C：任取，则，可得， 则， 即，可知在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 令，得，即，可得， 因为， 因为在定义域上单调递减， 则，即，即， 所以不等式的解集为，故D正确. 45．【多选】（2026高二·山东烟台·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．若，则 D．当时， 【答案】AD 【分析】先根据偶函数定义判定A正确，再将绝对值函数分段讨论单调性，得出先减后增否定B，解绝对值不等式得到解集否定C，利用上函数单调递增，结合时证明D正确． 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，A正确； 对于B， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上是先减后增，B错误； 对于C，由，得，解得，C错误； 对于D，当时，，， 因为在上单调递增，且， 所以，D正确． 46．【多选】（2026高二·浙江金华·期末）设函数的定义域为，定义，．若为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的解析式为 C．在区间上单调递增 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由为奇函数，为偶函数，整理得到的解析式；根据的函数类型，结合函数的单调性即可分析在区间的单调性；结合函数的性质，即可求得的最大值. 【详解】为奇函数，， ，即； 为偶函数，， ，即. 联立，解得. ， 故是一个二次函数，其二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减； 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由在上单调递增，且，在区间上单调递增，故C正确； 对于D，，二次项系数，得时，取得最大值，此时，故D正确. 1．（2026高一·陕西汉中·期中）给定四个函数：①；②；③，；④，其中奇函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义，逐一判断各个函数即可得解. 【详解】函数是R上的偶函数，①不是奇函数； 函数的定义域为，定义域关于数0不对称，②不是奇函数； 函数，，定义域关于数0不对称，③不是奇函数； 函数的定义域是R，而，④不是奇函数， 所以奇函数的个数为0. 故选：A 2．（2026·四川南充·模拟预测）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义，结合题意计算即可求解. 【详解】因为为奇函数， 所以. 故选：A 3．（2026高一·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可. 【详解】函数是定义在区间上的奇函数， 则，解得，定义域为，，则， ，定义域为，，函数为奇函数，满足， 故. 故选：C 4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数运算规则可得, 易知，因此A正确，B错误； 则，可得C错误，D错误. 5．（2026·北京西城·模拟预测）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C 【分析】先根据奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性，再根据函数单调性的性质判断函数的单调性即可. 【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 6．（2026高一·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 7．（2026·江西·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】由奇函数性质得，令，求得，最后结合奇函数性质求解即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 令，得．令，得． 所以． 8．（2026高二·安徽·开学考试）已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据的奇偶性，由建立关于的方程求解并验证即可. 【详解】根据题意，函数是偶函数，则， 即， 又由，， 则有，解可得． 验证：时，，， 要满足，即， 整理得，满足是奇函数， 所以. 9．（北京市第五十中学2025-2026学年高一学期期中考试数学试题）设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，， 又时，是增函数，且， 所以，即. 故选：C 10．（2026高一·全国·课后作业）关于函数与的奇偶性，下列说法正确的是（    ） A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数是偶函数，是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数 【答案】D 【分析】先求定义域，发现的定义域不关于原点对称，再根据的关系来判断奇偶性． 【详解】函数的定义域满足即，因此函数定义域为，关于原点对称.此时，满足，，所以函数既是奇函数又是偶函数.而函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数. 故选D. 【点睛】根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足，判断函数的奇偶性，若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数.本题中的两个函数，虽然化简后都是，但是由于定义域不同，因此函数既是奇函数又是偶函数，是非奇非偶函数 11．【多选】（2026高一·广东珠海·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的奇偶性可排除AC，再判断选项BD中函数的单调性从而得出答案. 【详解】的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故A错误； 的对称轴为，故函数是偶函数且在区间上为增函数，故B正确； 令，则， 则是奇函数，故C错误； 令，则，则为偶函数， 当时，为增函数，故D正确. 故选：BD. 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图像如图，则下列说法正确的是（   ） A．这个函数有两个单调增区间 B．这个函数有三个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值 【答案】BC 【分析】根据题意补全函数的图象，进而观察图象求得答案 【详解】由题意作出该函数在上的图象，如图所示． 由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为， 故选：BC 13．【多选】（2026高一·浙江杭州·期中）已知函数与的图象如图所示，则（    ）        A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A；通过举反例排除B；根据复合函数的单调性可判断C； 通过函数的变化趋势可判断D. 【详解】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与x轴交于点，与y轴交于点， 由图可知，当从趋近于0时，的函数值从0趋近于，的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于，即的值可以取到， 又为奇函数，所以的值域为，故D正确. 故选：ACD 14．（2026高一·全国·课后作业）已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______，______. 【答案】 / / 【分析】结合已知函数解析式，利用奇函数性质求得，再结合偶函数性质求得，进而求得. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 又函数为偶函数，得， 所以， 所以，所以. 故答案为：； 15．（2026高一·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则___________. 【答案】 【分析】按题意求函数表达式即可 【详解】 和已知条件相加得 故 故 故答案为： 16．（2026高一·宁夏吴忠·期末）已知定义域为的奇函数，则的值为_____． 【答案】1 【分析】先由奇函数的定义域特点可得，再由奇函数的定义可得，结合奇函数的定义计算可直接得到结果. 【详解】由题可知，所以， 又是奇函数，所以，即， 所以，所以． 故答案为：1 17．（2026高二·浙江丽水·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是______. 【答案】 【分析】首先根据偶函数的性质转化不等式，然后利用函数的单调性解不等式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，， 所以， 当时，单调递增， 所以，即， 解得， 不等式的解集为. 18．（2026高一·江苏无锡·期中）已知函数是定义在R上的偶函数．    (1)求函数的解析式； (2)在下图所给的坐称系中画出的图象，并写出函数的增区间． 【答案】(1) (2)    递增区间为和 【分析】（1）先利用偶函数的性质令求出，再利用偶函数的性质求出可得函数解析式； （2）由解析式画出图象，再确定递增区间即可. 【详解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，即， 又，， 所以， 当时，，所以， 所以. （2）    由图象可得，递增区间为和. 19．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间. 【答案】(1) . (2) 单调递增区间是，单调减区间是．   . 【分析】（1）由题意可得为奇函数，则，设，则，然后时的解析式结合奇函数的性质可求出时的解析式，从而可求得在上的解析式； （2）先画出函数在轴右侧的图像，再根据对称性画出轴左侧的图像即可，从而可求出其增区间 【详解】（1）解：因为函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，则． 设，则，因为当时，． 所以当时，． 于是有. （2）解:先画出函数在轴右侧的图像，再根据对称性画出轴左侧的图像，如由图像可知函数的单调递增区间是，单调减区间是．   . 20．（2026高一·全国·课后作业）设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有． （1）若，试比较与的大小关系； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，根据题意有，然后根据奇偶性证明； （2）由（1）可知原函数为增函数，利用原函数的奇偶性和单调性综合求解. 【详解】解：（1）因为，所以， 由题意得， 所以． 又是定义在上的奇函数， 所以， 所以，即． （2）由（1）知为上的单调递增函数， 因为， 所以， 即， 所以， 所以． 所以实数的取值范围为． 【点睛】本题考查函数的奇偶性及单调性的综合应用，考查不等式的求解问题，难度一般，灵活转化是关键. 21．（2026高一·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $