5.3二元一次方程组的应用（第3课时）教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二元一次方程组的应用，核心是从几何拼接、行程情境中挖掘等量关系。通过复习一元一次方程步骤，对比二元方程组思路，抛出图形隐藏条件问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生从图形中提取关键信息。 资料特色在于情境化探究与数形结合，如墙砖拼接小组合作画图找长与宽关系，火车隧道用线段图辨析“隧道+车长”“隧道-车长”路程，体现几何直观与模型意识。归纳五步解题流程并强调双重检验，帮助学生提升分析建模能力，为教师提供清晰教学路径和易错点指导。

二元一次方程组的应用（第3课时） 一、教学目标 基础知识与基本技能：能从几何拼接、行程情境中识别两组等量关系；学会借助图形、线段图梳理复杂实际问题；掌握列二元一次方程组解应用题完整流程，规范书写解题格式，会检验解的实际意义。 基本思想与基本活动经验：经历 “观察图形→提取等量关系→建模列方程组→求解检验→归纳步骤” 完整探究流程；体会模型思想、数形结合；感受图示工具（拼接图、线段图）对复杂应用题的简化作用，积累图文类应用题解题经验。 发现问题与提出问题能力：面对拼接图形、火车运动情境，能够自主圈画已知条件，主动发问 “哪两个量相等？”“路程究竟是哪一段？”，能自主发现情境中的隐藏等量关系。 分析与解决问题能力：面对图文复合型应用题，自主选择画图策略建立方程组模型；可以对比一元一次方程与二元方程组两种思路，判断什么时候二元方程组思考更简便；能把数学解还原现实情境检验合理性。 二、教学重点与难点 教学重点：借助图形、线段图挖掘实际问题中两组等量关系，规范建立二元一次方程组求解实际问题。 教学难点：火车隧道问题中两个运动过程路程的辨析；图形拼接题隐藏等量关系挖掘；解完之后结合现实情境检验结果。 三、教学过程 （一）复习引入 教师活动： 回顾：二元一次方程组解决应用题，必须找到几个等量关系？ 旧知设问：用一元一次方程解应用题步骤是什么？对比思考，如果有两个未知量，用二元方程组思考会有什么不同？ 抛出矛盾：有些题目条件藏在图片里面，文字没有直接写出来，我们该怎么办？ 学生活动：回顾旧知，独立发言；小组简短交流。 设计意图：搭建新旧知识桥梁，引出本节课核心 ——从图形中挖掘隐藏条件。 （二）情境导入・探究活动 1：墙砖拼接问题（12min） 出示课本 P123 墙砖图情境：8 块完全相同小长方形墙砖拼成大长方形，大长方形高度 40cm。 探究任务（小组 4 人一组） ①这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 小长方形的长、宽，大长方形的长、宽。 它们之间的等量关系有： 小长方形的长＋小长方形的宽＝40 cm， 小长方形的长＝小长方形的宽×3， 小长方形的长×2＝小长方形的长＋小长方形的宽×3。 ②看图，你能读出哪两组相等关系？不要直接做题，先写等式。 ③尝试设未知数，列出方程组；小组内互相解释每一个方程代表图中什么含义。 教师巡视，收集学生典型错误：找错长和宽关系，只写出一个方程。请小组上台展示自己找到的等量关系。 解：设小长方形墙砖长为，宽为。 根据题意，得 或 解这个方程组，得 答：小长方形墙砖长为，宽为。 教师追问探究问题： · 如果不用二元方程组，你能用一元一次方程解决吗？对比两种方法感受优劣。 · 如果图片条件改变，大长方形高度改为 45cm，方程组如何变化？（小变式拓展） （三）新知探究・探究活动 2：火车隧道行程问题 课本例 3：火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s，求隧道和火车的长度。 探究任务： 不计算，小组合作画出两种运动状态线段图。 从车头进入隧道到车尾驶出隧道： 火车全身都在隧道里： 写出两个路程等量关系。 教师重点点拨易错点： 车头进→车尾出：行驶路程 = 隧道长 + 火车长 整车都在隧道内：行驶路程 = 隧道长‑火车长 解：设隧道长度，火车长度。 根据题意，得： 答：隧道长，火车长。 思考・交流（全班讨论）：结合墙砖、火车隧道两道题，归纳列二元一次方程组解决实际问题一般步骤。 师生共同归纳得出五步： 审题识图→找两组等量关系→设未知数→列并解方程组→检验（算理解 + 现实意义），写答案。 （四）巩固新知 课本 P125 随堂练习 1： 由甲地到乙地的公路全程为 200 km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路。已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是 60 km/h 和 100 km/h，从甲地到乙地用时 3 h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ 解：设普通公路行驶，高速公路行驶。 依题意，得： 解方程，得： 答：普通公路行驶，高速公路行驶。 分层练习： ①基础：规范抄写本题完整解题过程； ②变式：如果总时间改为 2.7 h，试列出方程组（不用求解）。 （五）课堂小结 引导学生思维导图归纳：两类情境（图形拼接问题、行程线段图问题）→找两组等量关系→列二元一次方程组→求解→双重检验。 教师提问：画图对我们解题起到什么作用？什么时候适合选用二元一次方程组？ 四、板书设计 5.3 二元一次方程组的应用 墙砖拼接（看图找等量） 解： 火车隧道（线段图） 路程 1：隧道 + 车长 路程 2：隧道‑车长 解： 解题步骤：审题识图→找等量→设元→列解方程组→检验（计算 + 实际）→答 提示：解完一定要检验，未知数要带单位。 五、知识总结 核心知识点 图文应用题条件一部分来自文字，一部分来自图形，图形要读出隐藏等量； 火车过隧道两类模型：车头进车尾出、整车在隧道； 二元方程组解应用题完整流程；解必须检验现实意义。 数学思想方法：模型思想、数形结合、转化思想，把现实问题转化代数方程组。 知识网络图 现实情境（图形 / 行程）二元一次方程组方程组解实际答案 易错易混警示 火车隧道路程容易加减搞反； 图形拼接看不见文字条件，漏看一组等量关系； 忘记检验结果是否符合现实情境； 设未知数、答句漏写单位。 六、课后作业 基础必做（习题 5.3） 3. 今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺。问井深及绳长各若干？（选自《算法统宗》） 完整参考答案： 解：设绳长尺，井深尺。 整理得： 两式相减：，代入得。 检验：绳 36 尺，折三份每份 12 尺，井深 8 尺，多出 4 尺；折四份每份 9 尺，多出 1 尺。 答：绳长尺，井深尺。 拓展选做 习题 5.3 第 4 题（1）一百馒头一百僧，写出完整解题过程。 完整参考答案： 解：设大和尚人，小和尚人。 第二个方程乘 3 得：；减去第一个方程，，。 答：大和尚人，小和尚人。 开放性任务：仿照习题 5.3 第 1 题，自己编写一道满足给定方程组的生活应用题（不照搬课本例子）。 5 学科网（北京）股份有限公司 $