5.4二元一次方程与一次函数（第1课时）教学设计 2026--2027 学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二元一次方程与一次函数的对应关系，通过复习二元一次方程的解和一次函数图像，提出驱动问题激活旧知，构建前后知识支架，引导学生探究方程与函数图像、方程组解与直线交点的内在联系。 资料以“写解→描点→观察图像→猜想验证→归纳结论”探究流程为主线，培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），用思维导图梳理知识逻辑，分层作业提升应用意识（数学语言），帮助学生建立数形结合思维，助力教师高效教学。

5.4 二元一次方程与一次函数（第 1 课时） 1、 教学目标 基础知识与基本技能：理解二元一次方程与一次函数的对应关系；掌握二元一次方程组的解与两条一次函数图像交点坐标的联系；能区分相交、平行两种直线位置对应的方程组解的情况，会完成方程、函数表达式之间互化。 基本思想与基本活动经验：经历 “写解→描点→观察图像→猜想验证→归纳结论” 完整探究流程，体会数形结合、方程与函数互化思想，感受从特殊实例推广到一般结论的推理过程。 发现问题与提出问题能力：能观察同一个式子的两种不同身份（二元一次方程、一次函数），自主提出疑问：二元一次方程的解和直线上的点有什么联系？两条直线无交点对应方程组会是什么结果？ 分析与解决问题能力：可以从数（方程组）、形（函数图像）两个视角分析同一个数学问题；会利用图像交点读取对应方程组的解，也能通过方程组解判断两条直线位置关系。 二、教学重点与难点 教学重点：二元一次方程与一次函数图像的等价关系；二元一次方程组的解与两条直线交点坐标的对应关系。 教学难点：理解 “无数组方程解对应直线上无数个点”；平行直线和方程组无解之间的逻辑对应，实现数与形双向转化。 三、教学过程 （一）复习引入 教师提问： ①二元一次方程 有多少个，写出其中几个。 有无数个。，，，，…… ②一次函数 ，它的图像是什么图形？图像上的点坐标满足什么关系？ 抛出驱动问题：同一个代数式既可以写成二元一次方程，又可以写成一次函数，二者仅仅是形式改写，还是存在更深的内在联系？引出课题《二元一次方程与一次函数》。 设计意图：激活旧知，制造认知冲突，明确本节课探究主线。 （二）新知 探究任务 1：二元一次方程和一次函数图像的关系（课本 P128 四个问题） 任务下发，学生独立写解，小组内部交流，在坐标系描点，完成 4 个小问题： (1) 方程 的解有多少个？写出其中的几个。 解：有无数个。，，，，…… (2) 在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 的图象上吗？ 解：描出的点在一次函数y＝5－x的图象上。 (3) 在一次函数 的图象上任取一点，它的坐标适合方程 吗？ 解：所取点的坐标满足方程x＋y＝5 。 (4) 以方程 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同吗？ 解：以方程x＋y＝5的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同，是同一条直线。 师生共同归纳结论： 探究任务 2：二元一次方程组与两条直线交点 同一坐标系画出 和 的图像，观察交点。 解：一次函数y＝5－x与y＝2x－1图象的交点为A（2，3）， 而就是方程组的解 动手画图找到交点 A，再用消元法解方程组，对比结果。 归纳：确定两条直线交点坐标，等价求对应二元一次方程组的解；解二元一次方程组等价确定两条直线交点坐标。 探究任务 3：平行直线与方程组无解（思考・交流课本 P129） 观察 与 ，两条直线位置关系；对应方程组 小组讨论：方程组有没有解？为什么？ 结论：两条直线平行，没有交点，对应的二元一次方程组无解。 （三）巩固新知 使用课本随堂练习三道题，板书完整解题过程。 课本随堂练习 1 1. 已知一次函数 与 图象的 交点的坐标是 ， 求方程组的解。 一次函数 与 图象如图所示： 方程组的解： 课本随堂练习 2 2. 图中两条直线 ，，交点的坐标可以看作哪个方程组的解？ 两条直线解析式直接联立，得到方程组： 也整理成二元一次方程标准形式： 课本随堂练习 3 3. 存在一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？直线y=-x+2与y=-x+5间有什么关系？ 解：假设存在，即，左边都等于x+y，右边2≠5，矛盾，不存在这样一组数。 两个函数一次项系数相同，常数项不同，两条直线互相平行，没有交点。 拓展变式（课堂补充）： 直线 与 的交点坐标，求对应的方程组的解。 解：联立 ，代入得 解：，交点。 （四）课堂小结 教师引导学生自主梳理： 1. 一个二元一次方程 一条直线（一次函数图像） 2. 二元一次方程组 两条直线 - 两直线相交，有唯一交点⇒方程组有唯一解 - 两直线平行，无交点⇒方程组无解 用思维导图框架板书梳理知识逻辑。 四、板书设计 5.4 二元一次方程与一次函数 1. 二元一次方程⇋一次函数（同一条直线） 例： 2. 方程组 ↔ 两条直线 交点（2，3） 解： 3. 位置关系 相交⇒唯一解；平行⇒无解 课本随堂练习关键步骤（右侧副板书写） 五、知识总结 核心知识点 1. 任意二元一次方程都可以化为一次函数形式，二者图像是同一条直线；直线上每一个点坐标，都是对应二元一次方程一组解。 2. 二元一次方程组的解，就是对应两个一次函数图像交点横、纵坐标。 3. 两个一次函数，若 k 相等，b 不等，图像平行，对应方程组无解。 数学思想方法 数形结合思想、转化思想（方程与函数互相转化）、特殊到一般推理思想 知识网络图 易错易混警示 1. 混淆：二元一次方程有无数组解，不是无数个方程组解； 2. 注意：图像法得到的解为近似解，计算要以代数消元为准； 3. 判断平行：看化简之后两个函数的 k、b，k 相同 b 不同才平行。 六、课后作业 1. 基础题：教材随堂练习变式，把二元一次方程改写为一次函数： ① ；② （写出变形完整步骤） 2. 中档题：已知 与 ， （1）联立方程组；（2）求出交点坐标，完整书写解题步骤。 3. 拓展探究题：方程组 判断有没有解，尝试用函数图像角度解释原因。 作业参考答案（教师备课用） 1.①由，移项得 ； ② 2. 解方程组： ，代入， 交点坐标，方程组解 3. 整理两个方程：，，k 值均等于 2，b 不等，两直线平行，方程组无解。 6 学科网（北京）股份有限公司 $