第5章 5.5 三元一次方程组同步讲义2026-2027学年数学八年级上册（北师大版）

本初中数学讲义聚焦三元一次方程组，系统梳理其定义（含三个未知数，每个方程未知数项次数为1且共三个方程）、解法步骤（消元转化为二元一次方程组，求解后代入求第三未知数）及应用，构建从二元一次方程组过渡的知识支架。 资料以题型分类（解方程组、应用）为主线，“解题知识”模块明晰方法，典例（如天平平衡问题）与变式题结合。通过抽象现实问题数量关系（数学眼光），培养消元推理与运算能力（数学思维），用方程模型表达问题（数学语言），课中辅助分层教学，课后助力巩固查漏。

第5章 5.5 三元一次方程组 内 容 导 航 题型1 解三元一次方程组 题型2 三元一次方程组的应用 考 点 演 练 题型1 解三元一次方程组 解｜题｜知｜识 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 【典例1】如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（　　） A．2.1 B．3 C．7 D．6 【答案】A 【解答】解：解方程组得． 代入方程3x﹣5y﹣28＝0得10a28＝0，解得a＝2.1． 故选：A． 【变式1】若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则（　　） A．k＝6 B．k＝10 C．k＝9 D．k 【答案】B 【解答】解：根据题意得， （1）×2﹣（2）得： 代入3x+ky＝10得：k＝10． 故选：B． 题型2 三元一次方程组的应用 解｜题｜知｜识 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【典例1】如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（　　） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【答案】B 【解答】解：设球的质量是x，小正方形的质量是y，小正三角形的质量是z． 根据题意得到：． 解得：， 第三图中左边是：3x+2y+z＝7x，因而需在它的右盘中放置7个球． 故选：B． 【变式1】有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 　150　 元钱． 【答案】150 【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元， 根据题意有：， 把这两个方程相加得：4x+4y+4z＝600， 4（x+y+z）＝600， ∴x+y+z＝150． ∴三种商品各一件共需150元钱． 过 关 验 收 1．已知，则x+y+z＝　2　 ． 【答案】2 【解答】解：由题意，∵， ∴x+y+y+z+z+x＝2+（﹣3）+5， ∴2（x+y+z）＝2+（﹣3）+5， ∴2（x+y+z）＝4， ∴x+y+z＝2． 故答案为：2． 2．已知方程组，则x+y+z＝　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：， ①×2﹣②得：x+y+z＝8， 故答案为：8． 3．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm，则桌子的高度等于 　85　 cm． 【答案】85． 【解答】解：设桌子的高度为xcm，长方体木块的长为acm，宽为bcm， 则：， ①+②得：2x＝170， 解得：x＝85， 故答案为：85． 4．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z． 由题意列方程组 ②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7， 由①得x﹣z＝1⑤， 将y＝7代入③得 x+z＝7⑥， ⑤+⑥得2x＝8， 即x＝4，那么z＝3， 答：这个三位数是473． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 5.5 三元一次方程组 内 容 导 航 题型1 解三元一次方程组 题型2 三元一次方程组的应用 考 点 演 练 题型1 解三元一次方程组 解｜题｜知｜识 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 【典例1】如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（　　） A．2.1 B．3 C．7 D．6 【变式1】若方程组的解也是方程3x+ky＝10的解，则（　　） A．k＝6 B．k＝10 C．k＝9 D．k 题型2 三元一次方程组的应用 解｜题｜知｜识 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【典例1】如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（　　） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【变式1】有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 　 　 元钱． 过 关 验 收 1．已知，则x+y+z＝　 　 ． 2．已知方程组，则x+y+z＝　 　 ． 3．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm，则桌子的高度等于 　 　 cm． 4．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数． 学科网（北京）股份有限公司 $