26.2.3　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级上册数学

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过“探究与应用”“理解应用”“课堂检测”等学习支架，涵盖配方法转化、图象画法、待定系数法求解析式等核心内容。 资料特色鲜明，注重核心素养培养，通过问题情境引导学生用数学眼光抽象数量关系，如配方法步骤归纳培养推理能力，平移法画图象发展几何直观，三点求解析式实例强化模型意识。适合九年级学生升学备考，帮助夯实基础提升解题能力，为教师提供系统教学支持。

26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第二十六章　二次函数 26.2 探究与应用 问题1　你能把二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗? 问题2　类比以上方法将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式. 活动1　能用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式 问题情境 (教材补充例题)把下列函数写成y=a(x-h)2+k的形式,并写出其图象的开口方向、对称轴和顶点. (1)y=-x2+6x+1;　　　　　　　(2)y=x2-4x+. 理解应用 例 1 解:(1)y=-x2+6x+1=-(x-3)2+10, ∴此函数图象的开口向下,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,10). (2)y=x2-4x+(x-3)2+, ∴此函数图象的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,). 将y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的步骤 (1)提:提出二次项系数; (2)配:加上再减去一次项系数一半的平方; (3)化成顶点式; (4)整理. 学 方法 活动2　理解二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 操作尝试 如何画出函数y=x2-6x+21的图象?说出你的方法,并在坐标系中画出图象. 解:y=x2-6x+21=(x-6)2+3.列表如下: 描点、连线,得到函数y=(x-6)2+3的图象如图. x …   3 4 5 6 7 8 9 … y=(x-6)2+3 …   7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法 (1)描点法,步骤如下:①利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式;②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点;③以顶点为中心,在对称轴的两侧对称地取几组值进行列表,利用对称性描点;④用平滑的曲线将描出的点顺次连接起来. (2)平移法,步骤如下:①把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,确定其顶点坐标(h,k);②作出二次函数y=ax2的图象;③将二次函数y=ax2的图象平移,将其顶点平移到点(h,k)的位置. 学 方法 问题1　写出二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点,以及随着x的增大,y的变化情况,再求出函数的最值. 引发思考 解:二次函数y=x2-6x+21的图象开口向上,对称轴是直线x=6,顶点是(6,3).当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大;当x=6时,y取最小值,最小值是3. 问题2　二次函数y=x2-6x+21的图象是由二次函数y=x2的图象经过怎样的平移得到的? 解:将二次函数y=x2的图象先向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数y=x2-6x+21的图象(平移方法不唯一). 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质: 概括新知 二次函数 y=ax2+bx+c a的取值 a>0 a<0 开口方向 向　　　  向　　　  对称轴 直线x=　　　  顶点坐标 （-,） 增减性 当x<-时,y随x的增大而　　;  当x>-时,y随x的增大而　　  当x<-时,y随x的增大而　　　;  当x>-时,y随x的增大而　　　  最值 y最小值=　　　  y最大值=　　　  上 下 - 减小 增大 增大 减小 (教材补充例题)下列关于函数y=-2x2+4x+1的说法正确的是(　　) A.图象是开口向上的抛物线 B.图象的对称轴是直线x=-1 C.A(x1,y1)和B(x2,y2)是图象上的两个点,若x1<x2<-1,则y1<y2 D.图象可由二次函数y=-2x2的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度得到 理解应用 例 2 C (教材补充例题)求下列二次函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值: (1)y=-x2+2x+3; (2)y=3(x-8)(x+2). 例 3 解:(1)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. ∵a=-1<0,∴当x=1时,y有最大值4. (2)y=3(x-8)(x+2)=3(x-3)2-75. ∵a=3>0,∴当x=3时,y有最小值-75. 活动3　会用待定系数法求二次函数的解析式 问题情境 我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式.那么如何确定二次函数的解析式呢? (1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点应满足什么条件? 引发思考 解:(1)由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标,可以确定二次函数. (2)如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的解析式吗?如果能,求出这个二次函数的解析式. 解: (2)能求出这个二次函数的解析式. 设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由已知,函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得关于a,b,c的三元一次方程组 解这个方程组,得 ∴这个二次函数的解析式是y=2x2-3x+5. 求二次函数的解析式y=ax2+bx+c,需求出a,b,c的值.由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,求出a,b,c的值,就可以写出二次函数的解析式. 概括新知 (教材补充例题)一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1;当x=-2时,y=0;当x=2时,y=6.求这个二次函数的解析式. 理解应用 例 4 解:设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由题意,得解得 即这个二次函数的解析式为y=x2+x-1. 分别根据下列已知条件,求抛物线的解析式. (1)抛物线经过点(-1,6),(0,2),(2,0); 变式 解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c. 由题意,得解得 故抛物线的解析式为y=x2-3x+2. (2)已知抛物线的顶点坐标为(-2,-3),且过点(-3,-2). 解:(2)∵抛物线的顶点坐标为(-2,-3), ∴设抛物线的解析式为y=a(x+2)2-3. 将(-3,-2)代入上式,得-2=a(-3+2)2-3, 解得a=1, 故抛物线的解析式为y=(x+2)2-3. 已知二次函数图象上三个点的坐标,用待定系数法求函数解析式的步骤 (1)设:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c; (2)列:根据题意将已知点的坐标代入,列方程组; (3)解:解方程组; (4)定:确定二次函数的解析式. 学 方法 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化成y=a(x-h)2+k的形式为 (　　) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 | 课堂检测 | B 2.二次函数y=-3x2-x的大致图象为 (　　) 图26-2-12 C 3.把二次函数y=-2x2-4x+1化成y=a(x-h)2+k的形式为　　　　　　,所以其图象的开口向　　,对称轴是直线　　 ,顶点坐标为　　.  4.二次函数y=x2+6x+7的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度后,所得的图象对应的二次函数解析式为 　　　　.  y=-2(x+1)2+3 下 x=-1 (-1,3) y=(x+1)2+3 5.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(-1,8),B(2,-1),与y轴交于点C(0,3),求二次函数的解析式. 解:把A(-1,8),B(2,-1),C(0,3)分别代入y=ax2+bx+c, 得解得 ∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3. $