第1章 特殊平行四边形 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（北师大版·新教材）

第一章提优测评卷 ,答案P17 时间：90分钟 总分：100分 第I卷（选择题 共20分) 一、选择题（本题包括10小题，每题2分，共20分） 1.如图，在菱形ABCD中，AB=1,∠DAB=60°，则AC的长为( A. B.1 e号 D.√3 (第1题) (第2题) (第4题) (第6题) 2.(2025·陕西西安二十六中期中)如图，在菱形ABCD中，O为对角线BD的中点，E是对角线BD上 一点，且DE=DC,连接CE,CO.若∠ABC=80°，则∠OCE的度数为( A.60 B.50° C.309 D.20° 戡 3.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是( 30 120° X609 609 50 309 30 60° A B C D 4.一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°，D为 边AB的中点，点A,B对应的刻度为1,7，则CD的长为( 童 A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm 韵 5.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( ). A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形 6.如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED, △ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1一S2的值，只需知道( A.△ABE的面积 B.△ACD的面积 C.△ABC的面积 D.矩形BCDE的面积 7.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是AC, BD的中点，连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是 (). 球 A.AB=CD,AB⊥CD B.AB=CD,AD=BC C.AB=CD,AC⊥BD D.AB=CD,AD∥BC 1 45 M H (第7题) (第8题) (第9题) (第10题) 8.(2025·重庆合川区期中)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠EAF=45°，已知 AD=6,DF=2,则S△AEF等于( A.6 B.12 C.15 D.30 9.(2025·河南实验中学期中)如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB=3,BC=5,PE⊥BC 于点E,PF⊥CD于点F,连接AP,EF,则AP十EF的最小值为( ) A.34 2 B.4 C.√34 D.8 10.如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2,将正方形DEFG绕点D 顺时针旋转60°，得到正方形DEFG',此时点G'在AC上，连接CE',则CE'+CG'等于 (). A.√2+√6 B.√3+1 C.√3+√2 D.3+√6 第Ⅱ卷（非选择题共80分） 二、填空题（本题包括8小题，每题2分，共16分） 11.如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也随之 变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α是 度时，两条对角线长度相等。 D (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 12.(2025·山东济南章丘区期中)如图，已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6cm,8cm, AE⊥BC,垂足为E,则AE的长是 cm. 13.如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA,添加一个条件： ,使 四边形ABCD为矩形 14.如图，在矩形ABCD中，P,Q分别是BC,DC上的点，E,F分别是AP,PQ的中点，BC= 12,DQ=5,则线段EF的长为 15.(2025·四川成都武侯区期中)如图，正方形ABCD的边长为2，点A与原点重合，点B在y轴的正 半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形ABCD 的位置，B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为 2 B B D 0(4) D D (第15题) (第16题) (第17题) 16.(2026·陕西西安交大附中期中)勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣.如 图所示，AB为Rt△ABC的斜边，四边形ABGM,APQC,BCDE均为正方形，四边形 RFHN是矩形，点M,G,E,D,Q,P均在矩形RFHN的边上.若BC=6,AC=8,则矩形 RFHN内空白部分的面积之和是 17.新考法双动点问题(2025·甘肃庆阳期末)如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,点P和点Q分别从 点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s 和2cm/s,则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形 18.传统文化研究油纸伞的结构(2026·河北保定竞秀区期中)油纸伞在 我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结 晶，图(1)是一把油纸伞展开后的剖面图，点E,F分别为 伞骨AB,AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点， 四边形AEDF为菱形.当油纸伞打开到图(1)的程度时， (1) (2) (第18题) ∠BAC=120°，当油纸伞缩拢到图(2)的程度时，∠BAC =60°，若AE=18cm,则伞圈D下滑的距离DD1的长度为 cm. 三、解答题（本题包括8小题，第19题6分，第26题10分，其余每题8分，共64分） 19.(2025·贵州贵阳期中)如图(1)，△ABC和△DBC都是边长为4的等边三角形 (1)将△DBC沿BC方向平移得到△D1B1C1,如图(2)，图(3)所示，则四边形ABD1C1是平 行四边形吗？证明你的结论， (2)在(1)的条件下，若四边形ABD1C1为矩形，求BB1的值， D (1) (2) (第19题) 3 第一章提优测评卷 20.(2025·广东佛山南海区期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE∥ BD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E. (1)求证：四边形CODE是矩形； (2)连接OE,若AB=10,求OE的长. (第20题) 21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为边AB上任意一点（不与点A,B重合），过点D作DE ∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF. (1)求证：四边形ECFD是矩形； (2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离. B (第21题) 22.(2025·河南开封祥符区期中)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,AB=CD,AB∥CD.若四 边形EBOA是菱形. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠E=60°，AB=2,求四边形ABCD的面积. B (第22题) 实验班提优训练数学九年级上BSD 23.(2025·河南郑州金水区期中)如图，在△ABC中，AB=BC,过点A作BC的平行线与∠ABC的平 分线交于点D,连接CD (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)连接AC与BD交于点O,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接EO,若EO= 25,DE=4,求CE的长. 0 (第23题) 24.(2025·福建南平期中)(1)用数学的眼光观察 如图(1)，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E是对角线BD上一动点，连接AE,将EA绕 点E顺时针旋转60°得到EF,连接AF,DF,求∠ADF的度数 (2)用数学的思维思考. 如图(2)，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一动点，且BE>DE,连接AE,将EA绕 点E顺时针旋转90°得到EF,连接AF,DF.判断C,D,F三点的位置关系，并说明理由， D B (1) (2) (第24题) 5 25.转化思想如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E是边AB上任意一点（端点除外），线 段CE的垂直平分线分别交BD,CE于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N. (1)求证：AF=EF】 D. (2)求MN+NG的最小值. (3)当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？ (第25题) 26.如图(1)，在正方形ABCD中，E,F分别是边BC,AB上的点，且CE=BF.连接DE,过点E 作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC. (1)请判断：FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 (2)如图(2)，若E,F分别是边CB,BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成 立？请作出判断并给予证明. (3)如图(3)，若E,F分别是边BC,AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成 立？请直接写出你的判断. B B E E B C G (1) (2) (3) (第26题) 6÷2BD·AG=AB,OE+2AD·O, 即2×16×6=号×100E+号×160r, 解得OE十OF=9.6,是定值，不变， B C O c (1) (2) (第3题) (3)OE+OF的值会发生变化.OE,OF之间的数量关系 为OE-OF=9.6.理由如下： 如图(2)，连接AO,AC,AC交BD于点G,则S△ABD= S△AB0-S△ADO, ∴BD·AG=AB,OE-号AD,OF, 即2×16X6=号×100E-号×10F, 解得OE-OF=9.6,是定值，不变， ∴.OE+OF的值会发生变化，OE,OF之间的数量关系 为OE-OF=9.6. 4.(1)如图，过点E作EQ⊥AC于点Q,EN⊥BC于点N,过 点D作DP⊥AB于点P,DK⊥BC于点K. CE为∠ACB的平分线， ..EQ=EN. EQ⊥AC,FG⊥AC, ..FG//EQ. ,在△DEQ中，F为DE的中 点，FGEQ, ∴.EQ=2FG=2a,DQ=2DG. 同理可得DK=DP=2FH= B 2b.在四边形ENKD中， N M (第4题) EN//FM//DK, ..EN+DK=2FM,2a+26=2c, ∴.a十b=c c2-c-2ab+2m2-2m+8=0, ÷a+b2-a+b)-2ab+7m2-2m+号=0， 整理，得(。-)+(6-）》‘+号m-2=0, 1 1 a=2,b=2,m=2,c=a+6=1 放a,bc,m的值分别为分，号，1,2 (2)由(1)知，EN=DK, 又ENDK,.四边形ENKD为平行四边形， ∴.EDBC,ED=NK CE平分∠BCD, ·∠ECD=∠ECB=∠CED, ED=DC=NK.同理EB=ED, 答案6D详解令 ',Rt△EQD≌Rt△DKC,Rt△EQD≌Rt△ENB, ∴.BN=DQ=CK, ..BC-CD=BN+CK=2DQ=4DG, .DG=(BC-CD). 第一章提优测评卷 1.D[解析]连接BD交AC于点O, 四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， 0A-0C,∠BA0=含∠DAB=0,AcLBD, ∠A0B=90,∴0B=3AB=7 .1 在R△A0B中，0A=√AB-0B-V1P-()- AC=20A=3.故选D 3 2.D[解析]在菱形ABCD中，O为对角线BD的中点， ∠ABC=80°， BC=-CD,∠DBC=∠ABC=40 ∴.∠BDC=∠DBC=40°， .DE=DC, ÷∠DEC=∠DCE=180°-∠CDB=7o 2 O为BD的中点，∴∠COE=90°， ∴.∠OCE=90°-∠DEC=20°.故选D. 3.C[解析]根据等腰三角形的判定定理可得平行四边形的 一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得平行四边形的对角线互相垂 直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，故C符合 题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角， 可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形 是菱形，故D不符合题意.故选C 4.B[解析]由题图，可得∠ACB=90°，AB=7-1=6(cm), D为线段AB的中点，CD=2AB=3(cm).故选B 5.A 6.C[解析]如图，作AG⊥ED于点G,交BC于点F. 四边形BCDE是矩形， ∴.∠FBE=∠BEG=∠FGE=90°，BC∥ED,BC=ED, BE=CD,∴四边形BFGE是矩形， ∠AFB=∠FGE=90°， ∴.FG=BE=CD,AF⊥BC, S-S-S,=2D·AG-2BE· (第6题) BG-2CD·DG=2ED·AG-PG·ED=2BC· AF=S△ABC,∴.只需知道S△ABc,就可求出S-S1-S2的 值.故选C. 17 今实验班提优训练数学九年级上BSD 7.A[解析]，E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是 AC,BD的中点，.EN,NF,FM,ME分别是△ABD, △BCD,△ABC,△ACD的中位线， EN∥AB/FM,ME/CD∥NF,EN=2AB=FM, ME-2 CD-NF. .四边形EMFN为平行四边形. 当AB=CD时，EN=FM=ME=NF, .平行四边形EMFN是菱形. 当AB⊥CD时，EN⊥ME,则∠MEN=90°. 菱形EMFN是正方形.故选A 8.C[解析]如图，过点A作AH⊥AE,交CD的延长线于 点H. 四边形ABCD是正方形， .AB=AD=CD=BC=6,∠BAD=∠ADC=90°. ,AH⊥AE, ∴.∠HAE=∠BAD=90°， 45 ∴.∠HAD=∠BAE. 在△ADH和△ABE中， H- I∠DAH=∠BAE, D AD-AB, (第8题) ∠ADH=∠B, ∴.△ADH≌△ABE(ASA), ..BE-HD,AH=AE. .∠EAF=45°， ∴.∠HAF=∠EAF=45°. (AF=AF, 在△AFH和△AFE中，∠FAH=∠FAE, AH=AE, ∴.△AFH≌△AFE(SAS),∴.EF=HF DF=2,∴.CF=4. .EF2=CE2+CF2, .(2+BE)2=16十(6-BE)2, ..HD=BE=3, ..HF-HD+DF=5. .△AFH≌△AFE, ∴SaMs=SAm=2H·AD=×5X6=15. 故选C. 9.C[解析]连接CP,AC,如图所示. >连接CP,根据矩形的对角线相等的性质得 到EF=CP,把AP十EF的最小值问题转 化为求AP十CP的最小值问题 四边形ABCD是矩形，∴∠DCB=90°，即∠ECF=90°. PE⊥BC,PF⊥CD, ∠PEC=90°，∠PFC=90°， .四边形PECF是矩形，∴.EF=CP, ∴.AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值， 当A,P,C三点共线时，AP+CP的值最小，为AC的 长度 四边形ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°， ∴.AC=√AB2+BC=√32+5=√34， 18 .AP+EF的最小值为√34.故选C. A (第9题) 0.A[解析]如图，过点G作G'M⊥AD,G'N⊥CD,垂足 分别为M,N. M (第10题) ,四边形ABCD和四边形DE'F'G都是正方形， .AD=DC,DG'=DE',∠ADC=∠G'DE'=90, .∠ADC-∠GDC=∠GDE'-∠G'DC, 即∠ADG'=∠CDE'. (DA-DC, 在△DAG和△DCE'中，∠ADG'=∠CDE', DG'=DE', .△DAG'≌△DCE'(SAS), ..AG'=CE',..CE'+CG'=AC. 在Rt△DMG'中，DG'=DE=2,∠MDG=90°-60° =30°， .MG'=1,DM=√3 ,△AMG是等腰直角三角形，∴AG'=√2 在Rt△G'NC中，G'N=DM=√3，∠G'CN=45°， .G'C=√6， ∴AC=√2+√6，即CE+CG=√2+√6.故选A 11.90 2 [解析]如图，设AC与BD的交点为O. (第12题) 四边形ABCD是菱形， -AC-3m,-BD-4cm,ACLBD, ∴.BC=√B02+C02=√32+4=5(cm), ∴Sm=2AC·BD=号×6X8=24Km. :S菱形ABD=BC·AE, BC·AE=24,AE=号cm, 旧纳总结菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于 菱形的边长乘这一边上的高，用面积法可求出这一边上的 高的长度 13.∠B=90°（答案不唯一） 14.6.5[解析]连接AQ. ,四边形ABCD是矩形，BC=12,DQ=5, .AD=BC=12,∠D=90°， .在Rt△ADQ中，AQ=W√AD2+DQ=√122+5=13. ,E,F分别是AP,PQ的中点， ∴EF-2AQ=65 16(-2,2） [解析]连接AM,如图所示. B C D (第15题) ,正方形ABCD的边长为2， .AB=AD=2,∠BAD=∠ABC=∠ADM=90°， 由旋转的性质，得AB'=AB=2,∠B'AB=30°，∠B′ ∠ABC=90°， ∴∠B'AD=∠BAD-∠B'AB=60°，AB'=AD=2, ∠B'=∠ADM=90°， ∴△AB'M和△ADM都是直角三角形 (AB'=AD, 在R△AB'M和R△ADM中，AM=AM, ,'.Rt△AB'M≌Rt△ADM(HL), ∴∠BAM=∠DAM=∠BAD=30, ,∴.AM=2DM, 由勾股定理，得AD=√AM-DM=√3DM, 3AD=26 DM= 3 点M的坐标为(-2,2)】 16.240[解析]延长CA交HN于点T,延长CB交HF于 点K,如图所示。 H. (第16题) 在Rt△ABC中，AB为斜边，BC=6,AC=8, ∠ACB=90°， 由勾股定理，得AB=√AC2+BC=√82十62=10. ,四边形ABGM是正方形，.AM=AB=BG=10, ∠MAB=∠GBA=90°，面积为100. ,四边形APQC是正方形， 答案6D详解C ,.CQ=AC=8,面积为64 :四边形BCDE是正方形， .CD=BC=6,面积为36. ,四边形RFHN是矩形， ∴∠R=∠F=∠H=∠N=90°， ∴.∠DTN=∠H=90°，∠QKF=∠H=90°， ∴.∠R=∠N=∠DTN=90°，∠R=∠F=∠QKF=90°， .四边形RNTD和四边形RQKF都是矩形， ∴.RN=DT,RF=QK,∠MTA=∠ACB=90°， ∠BKG=∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，∠ABC+∠CAB=90°， 又∠MAT+∠CAB=180°-∠MAB=90°， ∴∠ABC=∠MAT, ∠ACB=∠MTA, 在△ABC和△MAT中，3∠ABC=∠MAT, AB=MA, ,∴.△ABC≌△MAT(AAS), ..AT=BC=6, .DT=AT+AC+CD=6+8+6=20, .RN=DT=20, 同理证明△ABC≌△BGK, .BK=AC=8, .QK=CQ+BC+BK=8+6+8=22, .RF=QK=22, .矩形RFHN的面积为RN·RF=20X22=440, ,.矩形RFHN内空白部分的面积之和为440一100一 64-36=240. 7.4[解析]设最快x秒后，四边形ABPQ成为矩形，此时 BP=3x cm,DQ=2x cm,AQ=(20-2x)cm. ,四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，AQBP, .当AQ=BP时，四边形ABPQ为矩形， .3x=20一2x,解得x=4. 18.(18√3-18)[解析]如题图(1).：四边形AEDF为菱 形，∠BAC120°，AE18cm: >在题图(1)中，∠BAC=120°，则∠DAE=∠DAF= 60°，可证明△ADE是等边三角形 ∠DAE=∠DAF=Z∠BAC=6O,AE=DE, ∴.△ADE是等边三角形， .∴.AD=AE=18cm. 如图，设AD1交EF于点H. .AE=AF=18cm,∠BAC=60°， .△AEF是等边三角形， ∴.EF=AE=18cm. ∠D1AE=∠D1AF, EH=FH-号F=9(emAD,F, ∴.∠AHE=90°， (第18题) .AH=√AE2-EH=√182-92=9√3(cm). .AE=D E,EF LAD,..DH=AH, .AD1=2AH=18√3(cm), 19 今实验班提优训练数学九年级上BSD ∴.DD1=AD1-AD=(18√3-18)cm. 19.(1)四边形ABD,C1是平行四边形.证明如下： 根据平移的性质，得到AB=C1D1,ABC1D1, ∴.四边形ABDC1是平行四边形. (2)如图，连接BD1,AC1. ,四边形ABD1C1为矩形， ..AC=CD=BB1=BC1, 此时B1,C重合， .BB1=4. (第19题) 20.(1).CEBD,DE∥AC, ∴.四边形CODE为平行四边形. ,四边形ABCD为菱形， .AC⊥BD,'.∠COD=90°， ∴.平行四边形CODE是矩形. (2)如图.四边形ABCD是菱形， .CD=AB=10. 由(1)可知，四边形CODE是矩形， .OE=CD=10. (第20题) 21.(1)'.FD//CA,BC//DE, ∴四边形ECFD为平行四边形 又∠C=90°，.平行四边形ECFD为矩形， (2)如图，过点C作CH⊥EF于点H, 在Rt△ECF中，CF=2,CE=4, ∴EF=√CE2+CF=√42+2=25. Sm=2C.CE=2Er·CH, ∴CH=CF·CE45 EF 5 (第21题) 之点C到F的鹿离为9 22(1),四边形ABCD的对角线相交于点O,AB=CD, AB∥CD,四边形EBOA是菱形， ∴.OA=OB,四边形ABCD是平行四边形， OA-OC-AC.OD-OB-BD, 1 .AC=BD,.平行四边形ABCD是矩形 (2)·四边形EBOA是菱形， ∴∠AOB=∠E=60°，AO=BO, ,.△AOB是等边三角形，∴.AO=AB=2. :四边形ABCD是矩形， .AC=2AO=4,∠ABC=90°， ∴.BC=√AC2-AB2=2√3， ∴.SE形ABCD=AB·BC=2X23=4V3. 23.(1)BD平分∠ABC, ∠ABD=∠DBC. ,AD∥BC,.∠ADB=∠DBC, ∴∠ABD=∠ADB,.AB=AD, 又AB=BC,∴.AD=BC. 又ADBC,∴四边形ABCD是平行四边形. ,AB=BC,.平行四边形ABCD是菱形. (2)由(1)得B0=DO. DE⊥BC,EO=2√5，∴.BD=45, 20 .BE=√BD2-DE=√/(45)2-42=8. 设CE=x,则BC=BE-CE=8-x, ..CD=BC=8-x. 在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2, .(8-x)2=x2十42，解得x=3, .CE的长为3. 24.(1),四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， .AB=AD,∠BAD=60°，∴∠ABD=60°. ,将EA绕点E顺时针旋转60得到EF, .AE=EF,∠AEF=60°， △AEF是等边三角形， .AE=AF,∠EAF=60°=∠BAD, ∴.∠BAE=∠DAF, .△BAE≌△DAF, .∠ABD=∠ADF=60°. (2)C,D,F三点共线.理由如下： 如图，连接AC交BD于点O,过点F作FH⊥BD,交 BD的延长线于点H,则∠H=90. ,四边形ABCD是正方形， ..AC BD,AO=OD,/ADB= 45°，∠A0E=90°. 将EA绕点E顺时针旋转90°得 到EF, 0 .∠AEF=90°，AE=EF, B .∠AEO+∠FEH=90°= (第24题) ∠AEO+∠EAO, ∴∠EAO=∠FEH, .△AEO≌△EFH, ∴.AO=EH,OE=FH, ..OD=OA=EH, ..OE=DH=FH. ∠H=90°， .∠FDH=∠DFH=45°， ,.∠ADF=90°， .∠ADF+∠ADC=180°， C,D,F三点共线. 25.(1)如图(1)，连接CF. FG垂直平分CE,∴CF=EF ,四边形ABCD为菱形， 点A和点C关于对角线BD对称， ..CF=AF,..AF=EF. (2)连接AC,交BD于点O,如图(1)所示. M和N分别是AE和EF的中点，G为CE的中点， ∴MN=2AR,G=2CF,即MN+NG=(AF+ CF),当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF十 CF的值最小，即此时MN+NG的值最小 →通过等量代换将所求问题转化 菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°， .△ABC为等边三角形，AC=AB=1, MN+NG的最小值为2 1 (1 (2 (第25题) (3)∠CEF的大小不变.理由如下： 延长EF,交DC于点H,如图(2)所示！ '∠CFH=∠FCE+∠FEC,∠AFH=∠FAE+∠FEA, ∴.∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA. ,点F在菱形ABCD对角线BD上，∴根据菱形的对称 性可得∠AFD=∠CFD=∠APC .AF=CF=EF, ∠AEF=∠EAF,∠FEC=∠FCE, ∴·∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠AEF+∠CEF, ∴∠ABF=∠CEF. ∠ABC=60°，∠CEF=-∠ABF=30°，为定值 旧纳总结本题考查了菱形的性质、最短路径、等边三角 形的判定和性质、中位线定理，难度一般，题中线段较多， 需要理清线段之间的关系 26.(1)相等互相平行 (2)成立.证明如下 如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H. ,EG⊥DE,.∠GEH+∠DEC=90. ∠GEH+∠HGE=90°， ∴∠DEC=∠HGE. 在△HGE和△CED中， ∠GHE=∠ECD=90°， ∠HGE=∠CED, EG-DE ∴.△HGE≌△CED(AAS), ∴.GH=CE,HE=CD (第26题) CE=BF,..GH=BF. 又GHBF,且∠GHE=90°， ∴.四边形GHBF是矩形， ∴.FG=BH,FGCH,即FG∥CE. :四边形ABCD是正方形， ∴CD=BC, .'HE=BC,.'.HE+EB=BC+EB, ..BH=CE,.'.FG=CE. (3)成立.FG=CE,FG/CE 第二章 一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的概念 1.D 2.B[解析]，(n2一4)y2+(n-2)y一2=0是关于y的一 元二次方程， ∴.n2-4≠0，解得n≠士2.故选B. 答案6D详解◇ 归纳总结判断一个方程是否是一元二次方程应抓住定 义的5个方面：化简后；一个未知数；未知数的最高次数是 2;二次项的系数不等于0；整式方程， 3. 二次项 一次项 方程 般形式 常数项 系数 系数 (3.x+1)2 9x2+4x+ 0 2x=0 1=0 3x2-2x 2x2-2x -2 x2+1 2 -1 1=0 m-2=2, 4.C[解析]由一元二次方程的定义，可知 m-4≠0， 解得m=一4.故选C. 5.(x-2)(x-3)=30 6.x2+5x十6=0（答案不唯一）[解析]设一元二次方程 为a.x2+bx十c=0(a≠0)， .ac=6,.令a=1,则c=6,再令b=5, ∴.得到方程x2+5x十6=0. 素养考向开放性问题是近年中考的热点，这类题没有 固定解题模式，重在考查学生对知识的理解深度和灵活运 用能力.本题理解一元二次方程中二次项系数和常数项的 概念，按条件可写出答案. 7.(1)由题意，得m-1=0或m2+1=1且m-1≠1，解得 m=1或m=0. 故当m=0或1时，该方程是关于x的一元一次方程. (2)由题意，得m2+1=2且m-1≠0，解得m=-1. 故当m=一1时，该方程是关于x的一元二次方程. 8.(1)设十位数字为x,则个位数字为x十3，百位数字为 x+2. 根据题意，得[100(x十2)十10x十(x十3)]-9[(x十3)2十 x2+(x+2)2]=20, 整理，得9x2-7x-22=0. (2)设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长 为(14-x)cm. 根据题意，得2x(14一x)=24, 整理，得x2-14x十48=0. 第2课时一元二次方程的解 1,B[解析]把x=2代入x2十ax-2=0,得4十2a-2=0, 解得a=一1.故选B. 2.D[解析]由表中数据可得当x=-3或2时，ax2 bx=一3，.关于x的一元二次方程ax2一bx十3=0的解 是x1=一3，x2=2.故选D. 思路引得观察表格，当代数式ax2-bx的值为一3时， x的值是一元二次方程ax2一bx十3=0的解. 3.B[解析]由条件可知a2-3a-5=0,即a2-3a=5, .2a2-6a=2(a2-3a)=2X5=10.故选B. 素养考向整体思想是中考考查数学核心素养的重要方 面，是将一组关联的代数式（或部分结构）视为一个整体进 行运算或代换.它不是按部就班解方程，而是观察结构、简 化步骤、直达目标.本题将α代入方程，再将方程变形，即 可得到代数式的值 21台