第十四章 全等三角形(1) 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，逐步培养推理能力与思维能力，适配单元复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|全等三角形性质、判定定理（SAS/ASA/AAS/SSS/HL）及角平分线基础|选择填空为主，直接考查定义与性质，如判定全等条件的辨析| |B组|判定定理综合应用、性质与判定结合|添加条件证明、多步推理，如利用SAS证全等后推导边或角关系| |C组|跨知识点综合、动态探究|含“推理能力”“思维能力”标注题，如结合直角三角形、旋转的全等证明|

第十四章 全等三角形 第1 课时 全等三角形及其性质 A组 1.下列说法正确的是( ) A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等 2.如图,△ABC≌△ADE,∠CAE =20°,则∠DAB 的度数是( ) A.15° B.20° C.25° D.30° 3.如图,△AEB≌△DFC,AE⊥CB,DF⊥BC,AE=DF,∠C=28°,则∠A= . 4.如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE =1,则 DE 的长是 . 5.如图,△ABC≌△DBC,∠A =40°,∠ACD =88°,则∠ABC 的度数为 . 6.如图,△EFG≌△NMH,∠F 与∠M是对应角. (1)写出相等的线段与角； (2)已知EF=2.1 cm,FH =1.1 cm,HM=3.3cm,求MN和HG的长度. B组 7.如图,△ABC≌△ADE,其中B与D,C 与 E 对应. (1)写出对应边和对应角； (2)已知∠DAC =45°,∠BAE =125°,求∠BAD 的度数. 8.如图,已知△ACE≌△DBF,CE=BF,AE=DF,AD=8,BC=2. (1)求AC 的长; (2)求证:CE∥BF. C组 9.(推理能力)如图,Rt△ABC≌Rt△EDA,∠ACB =∠EAD =90°,点 C 在AD 上,DE与BC 交于点 F. (1)若AE=5,BC=8,则CD的长为 ; (2)已知∠BAC=54°,求∠D 和∠BFD 的度数. 第2 课时 三角形全等的判定(1)——SAS A组 1.如图,AC与BD 相交于点 P,AP =DP,要用SAS 证明△APB≌△DPC,还需( ) A. BA=CD B. PB=PC C.∠A=∠D D. ∠APB =∠DPC 2.如图,已知AB∥CD,AB=3,BC=4,要使△ABC≌△CDA,则需( ) A. AD=4 B. DC=3 C. AC=3 D. BD=4 3.如图,AD∥BC,欲证△ABC≌ A△CDA,根据SAS 可知,需补充一个条件为 . 4.如图,C 是线段AB 的中点,CD=BE,∠ACD=∠B,求证:△ACD≌△CBE. 5.如图,DF=CE,AD=BC,∠D =∠C.求证:△AED≌△BFC. C B组 6. 如图,在 △ABC 和 △DEF中,点 B,F,C,E在同一直线上,AC=DF,AC∥DF,请添加一个条件： ，使△ABC≌△DEF. 7.如图,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,扫码批改+错题本求证:△ABC≌△DEC. 8.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点 E,连接DE. (1)求证:△ABE≌△DBE; (2)若∠CDE=80°,∠C=50°,求∠AEB 的度数. 9.(思维能力)在△ABC 和△CDE中,CA=CB,CD =CE,∠ACB=∠DCE=α,AE交 BD 于点 F. (1)如图1,若α=90°,求证:①△ACE≌△BCD;②AE⊥BD; (2)如图2,若α=60°,则∠AFB 的度数为 . 第3 课时 三角形全等的判定(2)——ASA 和 AAS A组 1.下列说法不正确的是( ) A.有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 B.有三个角对应相等的两个三角形全等 C.有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 D.有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 2.如图,点B,F,E,D共线,∠B =∠D,BE=DF,添加一个条件,不能判定△ABF≌△CDE 的是( ) A.∠AFB=∠CED B.∠A=∠C C. AF=CE D. AB=CD 3.如图,AC,BD 相交于点O,∠A=∠D,请你补充一个条件，使△AOB≌△DOC，则你补充的条件是 (只需补充一个即可). 4.如图,AB=DB,∠ABD=∠CBE,请你添加一个适当的条件: ,使△ABC≌△DBE.(只需添加一个即可) 5.如图,AD,BC相交于点O,OB=OD,∠ABO=∠CDO.求证:△AOB≌△COD. B组 6.如图,点E,C,D,A在同一条直线上,AB∥DF,ED=AB,∠E=∠CPD.求证:△ABC≌△DEF. 7.如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:△ABC≌△AED. C组 8.(思维能力)在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,D 为AB 边上一点,DE⊥AE 于点 E,AC 与 DE交于点 F,∠ADE=22.5°. (1)如图1,求证:AC=BC; (2)如图2,点 D 与点B 重合,求证:BF=2AE. 第4 课时 三角形全等的判定(3)——SSS 6.如图,已知A,E,F,C在同一条直线上,AB =CD,BF=DE,AE=CF.求证:△ABF≌△CDE. 7.如图,AC,BD相交于点O,AO=DO,BO=CO. (1)求证:△ABO≌△DCO; (2)求证:△ABC≌△DCB. C组 8.(思维能力)已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D，E三点在一条直线上. (1)如图1,若B在线段DE上,求证:∠DAE=∠BAC; (2)如图2，点B 在 ED 的延长线上，请直接写出∠ADE 与∠AEC 之间的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 第5 课时 三角形全等的判定(4)——尺规作图 A组 1.如图,用直尺和圆规作∠PCD =∠AOB,作图痕迹中,弧MN是( ) A.以点 C 为圆心，OE 为半径的弧 B.以点 C 为圆心，EF 为半径的弧 C.以点 G 为圆心，OE为半径的弧 D.以点 G 为圆心，EF 为半径的弧 2.如图，在∠AOB 的两边上分别取OE=OF，将两块完全相同的三角尺的短直角边放置在∠AOB 的两边上，直角顶点分别与点E，F重合，另一个顶点重合于∠AOB 内部的点 C,其中判定△OCE≌△OCF 的方法可能是( ) A. AAS B. ASA C. SAS D.无法确定 3.请用尺规完成作图：以点 B 为顶点，射线 BC 为一边,作∠EBC=∠A. 4.如图,已知∠α,∠β,线段m,求作△ABC,使其两角、一边分别为∠α，∠β，线段m.请将作法补充完整，并根据作法完成作图.(尺规作图，保留作图痕迹) 作法:①作线段AB = ; ②在AB 的同旁作∠A=∠α,∠B= ; ③延长∠A 与∠B 的另一边交于点 C，则 就是所作三角形，这样作图的依据是 . B组 5.如图,B,C分别为射线BA,CD 的端点,连接BC,按要求完成下列各小题.(保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母) (1)在 BC的右侧,作∠BCE=∠BCD,交BA 于点 E; (2)在(1)的条件下,求作△CBF(点 F 在∠BCD内),使得△BCE≌△CBF. 6.如图,利用尺规,在△ABC 的边AC 上方作∠CAE =∠ACB,在射线AE 上截取AD =BC,连接CD,并证明CD∥AB.(要求保留作图痕迹，不写作法) 7.(几何直观)如图，OC是∠AOB 内部的一条射线. (1)请你用直尺和圆规在∠BOC 内部作∠COD，使得∠COD=∠AOC;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若∠AOB =110°,且∠AOB 与∠AOD 互补,求∠BOC 的度数. 第6课时 三角形全等的判定(5)——HL A组 1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( ) A.斜边和一直角边对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一锐角和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等 2.如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1 =40°,则∠2=( ) A.40° B.50° C.60° D.75° 3.在 Rt△ABC 和Rt△DEF中,∠ABC=∠DEF=90°,AB =DE,需再添加一个条件: ,使得这两个三角形全等. 4.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，则还需添加的条件是 . 5.如图,AB =CB,∠ABC =90°,F为AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 BE = BF. 求证:Rt△ABE≌Rt△CBF. 6.如图,∠A = ∠D =90°,AB = DE,BF = EC.求证:Rt△ABC≌Rt△DEF. B组 7.如图,∠A =∠D =90°,AC =BD,AC 与 BD 交于点O.求证:∠ABO=∠DCO. 8.如图,CE⊥AB,DF⊥AB,AC =BD,CE =DF.求证:AC∥BD. 9.(思维能力)综合运用. 如图，已知P(2，2)，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA=PB. (1)求证:PA⊥PB; (2)若点A(8,0),则点 B 的坐标为 ; (3)求 OA-OB 的值. 第7 课时 角的平分线(1) A组 1.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交BC 于点 D,若点 D 到AB 的距离为3,则CD 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,若BC=16,BD=10,则点 D 到AB 的距离是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 3.如图，点O 是△ABC中两个内角的平分线的交点，若∠A=60°,则∠BOC= . 4.如图,BD 是∠ABC 的平分线,DE⊥BC 于 E,S△ABC=36 cm²,AB = 12 cm,BC = 18 cm,则 DE 的长为 cm. 5.如图,BD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DE=6,BC=9,求△BCD的面积. 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,如果DE=5cm ,∠CAD=32°,求 CD 的长度及∠B 的度数. B组 7.如图,AB=AC,BD =CD,DE⊥AB,垂足为E, AC,垂足为F,求证:DE=DF. 8.如图,在△ABC中,∠C=90°. (1)过点 B 作∠ABC的平分线交AC 于点 D;(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法) (2)若CD=3,AB+BC=16,求△ABC 的面积. C组 9.(思维能力、运算能力)如图，在四边形ABCD 中，BE,CF 分别平分∠ABC,∠BCD,BE,CF 相交于点O,BE交CD于点E,CF交AB 于点 F. (1)写出∠A,∠D,∠BOC 之间的数量关系并证明你的结论；(提示：五边形的内角和为540°) (2)若∠A+∠D=240°,求证:OE=OF. 第8 课时 角的平分线(2) A组 1.如图,在 CD上求一点 P,使它到边OA,OB 的距离相等,则点 P 是( ) A.线段CD的中点 B. CD与过点O 作CD的垂线的交点 C. CD与∠AOB 的平分线的交点 D.以上均不对 2.如图,在 Rt△ABC 的斜边 BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC，交AB 于E，则下列结论一定正确的是( ) A. AE=BE B. DB=DE C. AE=BD D.∠BCE=∠ACE 3.如图,PM⊥OA 于 M,PN⊥OB 于 N,PM = PN,∠BOC=30°,则∠AOB= . 4.如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,S△ABC =7,DE =2,AB =4,则 AC 的长是 . 5.如图,P是OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB 于E,F,G分别是OA,OB 上的点,PF=PG,DF =EG.求证:OC是∠AOB 的平分线. B组 6.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A,B 分别为垂足,AB交OM 于点 N.求证:OA =OB. 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC,交BC于点 D.若AB=10, 求CD的长. A组： 8.(思维能力)如图,在△ABC中,点 D 在边 BC 的延长线上,∠ACB =100°,∠ABC 的平分线交AD 于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=50°. (1)求∠ACE 的度数; (2)求证:AE平分∠CAF. 第9 课时 《全等三角形》单元复习 A组 1.已知△ABC≌△DEF,∠A =50°,∠B =40°,则∠F的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.90° 2.两个完全一样的三角板如图摆放，使两个三角板的一条直角边分别放在△ABC的边AB，AC 上，它们的顶点重合于点M，则点 M一定在( ) A.∠A 的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的中线上 D. AB边的中线上 3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0,1),(3,1),(4,3),在下列选项的E 点坐标中,不能使△ABE 和△ABC全等的是( ) A.(4,-1) B.(-1,3) C.(-1,-1) D.(1,3) 4.如图,已知∠MAN=55°,点 B 为AN上一点.以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AN 于点 D，交AM于点 E；以点 B 为圆心，以AD为半径作弧，交AB 于点F；以点 F 为圆心，以DE 为半径作弧，交前面的弧于点 G;连接BG并延长交AM 于点 C,则∠BCM的度数为( ) A.70° B.110° C.125° D.130° 5.如图,点 E,F在线段BC上,BE=CF,DE =DF,AD⊥BC，垂足为点 D，则图中全等三角形的对数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图,△ABC≌△DCB,A,B 的对应点分别为点 D,C,若AB=6cm,BC=12cm,AC=10cm,DO=3cm,则OC的长是 cm. 7.如图,△ACB≌△A'CB',∠BCB'= 扫码批改+错题本37°,则∠ACA'的度数为 . 8.如图,AE⊥CB,DF⊥BC,AE=DF,AB =DC,若∠C=32°,则∠A= 9.如图,O为直线AB上一点,射线OC平分∠AOE,射线OD平分∠EOB,则∠COD 的度数为 . 10.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是6，10，12，三条角平分线的交点为 O，则 11.如图,AD 是△ABC 中BC 边上的中线,延长AD 至E,使DE=AD,连接BE,求证:△ACD≌△EBD.A C 12.如图,点 B,E,C,F 在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF,求证:△ABC≌△DEF. B组 13.如图,AB=AC,点D,E分别是线段AB,AC 的中点,连接BE,CD,求证:∠B=∠C. 14.如图,点A,F,C,D 在同一条直线上,EF∥BC,AB∥DE,AB=DE,求证:AF=CD. 15.如图,已知AB,CD 相交于点O,AC∥DB,OC=OD,CE平分∠ACO 交AB 于点 E,DF 平分∠BDO 交AB于点 F. (1)请用尺规作图补出图中的线段 DF；(不写作法，保留作图痕迹) (2)求证: 16.(推理能力)如图,AB=AC,∠BAC =90°,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,BD>CE,求证:BD=EC+ED. 17.(思维能力)如图1,△ABE 是等腰三角形,AB =AE,∠BAE=45°,过点B 作BC⊥AE 于点 C,在BC上截取 CD=CE,连接AD,DE,并延长AD交BE 于点 P. (1)求证:AD=BE; (2)求证:AD平分∠BAE; (3)如图2,将△CDE 绕着点 C 旋转一定的角度,AD 与BE 的位置关系是否发生变化?说明理由. 第十四章 全等三角形 第1课时 全等三角形及其性质 1. C. 2. B 3.62°4.5 5.96° 6.解:(1)∵△EFG≌△NMH,∠F与∠M 是对应角,∴EF=NM,EG=NH,FG=MH,∠F=∠M,∠E=∠N,∠EGF=∠NHM, ∴FH=GM,∠EGM=∠NHF. (2)∵EF=NM,EF=2.1cm,∴MN=2.1 cm. ∵FG=MH,FH+HG=FG,FH=1.1 cm,HM=3.3cm, ∴HG=FG-FH=HM-FH=3.3-1.1=2.2(cm). 7.解:(1)对应边:AB与AD,BC与DE,AC 与AE; 对应角:∠BAC与∠DAE,∠B与∠D,∠C 与∠E. (2)∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD =∠CAE. ∵∠DAC=45°,∠BAE=125°, 8.(1)解:∵△ACE≌△DBF,∴AC=BD, (2)证明:∵△ACE≌△DBF,∴∠ACE=∠DBF,∴CE∥BF. 9.解:(1)3 (2)∵∠ACB=∠EAD=90°,∠BAC=54°, ∴∠ACB+∠EAD=180°,∠B=90°-54°=36°,∴AE∥BC, ∵△ABC≌△EDA,∴∠D=∠B=36°,∠E=∠BAC=54°, ∴∠BFE=∠E=54°,..∠BFD=180°-54°=126°. 第2课时 三角形全等的判定(1)——SAS 1. B 2. B 3. CB=AD 4.证明:∵C是AB的中点,∴AC=CB. 在△ACD和△CBE中, ∴△ACD≌△CBE(SAS). 5.证明:∵DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即DE=CF. 在△AED和△BFC中 ∴△AED≌△BFC(SAS). 6. BF=CE(答案不唯一) 7.证明:∵∠1=∠2,∴∠ACB=∠DCE. 在△ABC和△DEC中 ∴△ABC≌△DEC(SAS). 8.(1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE, 在△ABE和△DBE中, ∴△ABE≌△DBE(SAS). (2)解:∵△ABE≌△DBE,∠CDE=80°, ∴∠BDE=∠A=180°-80°=100°, ∵∠C=50°,∴ ∠ABC=30°, ∵BE平分∠ABC,.. ∴ ∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°. 9.(1)证明:①∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE,即∠ACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中 ∴△ACE≌△BCD(SAS). ②由①得∠CAE=∠CBD, ∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°, ∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°, ∴∠AFB=90°,∴AE⊥BD. (2)60° 第3课时 三角形全等的判定(2) ——ASA 和AAS 1. B 2. C 3. AB=DC(答案不唯一) 4.∠BAC=∠BDE(答案不唯一) 5.证明:在△AOB 和△COD中, ∴△AOB≌△COD(ASA). 6.证明:∵AB∥DF,∴∠B=∠CPD,∠A=∠FDE. ∵∠E=∠CPD,∴∠B=∠E. 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(ASA). 7.证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,即∠BAC=∠EAD. 在△ABC和△AED中,,LEMAC=DEAD, ∴△ABC≌△AED(AAS). 8.证明:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°, ∴∠BAC=90°-∠ABC=45°, ∴∠ABC=∠BAC,过点C作CM⊥AB 于点M,易证△ACM≌△BCM(AAS),∴AC=BC. (2)如图,延长AE交BC的延长线于G,则∠ACG=90°. ∵DE⊥AE,∴∠AEB=∠GEB=∠ACB=90°, ∴ ∠EAF+∠AFE=∠BFC+∠CBF=90°, ∵∠BFC=∠AFE,∴∠CBF=∠EAF, 在△BCF和△ACG中, ∴ △BCF≌△ACG(ASA),∴ BF=AG, ∵∠ADE=∠ABE=22.5°,∠ABC=45°, ∴∠GBE=22.5°=∠ABE, 在△ABE和△GBE中, ∴△ABE≌△GBE(ASA),∴AE=GE, ∵BF=AG,∴BF=2AE. 第4课时 三角形全等的判定(3)————— 1. B 2. AC DB SSS 3. AF=CE(答案不唯一) 4.证明:在△AMB和△ANB 中, ∴△AMB≌△ANB(SSS). 5.解:△ABC≌△DEF,理由: ∵AF=DC,∴AC=DF. 在△ABC和△DEF 中 6.证明:∵AE=CF, ∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE, 在△ABF和△CDE中 ∴△ABF≌△CDE(SSS). 7.证明:(1)在△ABO和△DCO中, ∴△ABO≌△DCO(SAS). (2)由(1)得AB=DC,∵AO=DO,BO=CO, ∴AO+CO=DO+BO,即AC=DB. 在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(SSS). 8.(1)证明:在△ADB和△AEC中, ∴△ADB≌△AEC(SSS), ∴∠DAB=∠EAC,∴∠DAE=∠BAC. (2)解:由(1)可知△ADB≌△AEC,∴∠ADB=∠AEC, ∵∠ADB+∠ADE=180°,∴∠AEC+∠ADE=180°. 第5课时 三角形全等的判定(4)——尺规作图 1. D 2. C 3.解:如图,∠EBC 或∠E'BC 即为所求(作出其中一个即可). 4.解:①m ②∠β ③△ABC ASA 如图,△ABC 即为所作. 5.解:(1)如图,∠BCE 即为所求. (2)如图,△CBF 即为所求. 6.解：作图如图所示， 证明如下:∵AD=BC,∠DAC=∠ACB,AC=CA, ∴△ACD≌△CAB(SAS),∴∠ACD=∠CAB,∴CD∥AB. 7.解:(1)如图,∠COD 即为所求. (2)∵∠AOB与∠AOD 互补, ∴∠AOB+∠AOD=180°, ∴∠AOD=180°-∠AOB=180°-110°=70°, ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=110°-35°=75°. 第6课时 三角形全等的判定(5)——HL 1. B 2. B 3. AC=DF(答案不唯一) 4. AB=AC 5.证明:在 Rt△ABE和 Rt△CBF中, 6.证明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF. ∵∠A=∠D=90°,∴△ABC和△DEF都是直角三角形. 在 Rt△ABC和Rt△DEF中, 7.证明:∵∠A=∠D=90°,AC=DB,BC=CB, ∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB, ∴∠ABC=∠DBC=∠DCB-∠ACB, ∴ ∠ABO=∠DCO. 8.证明:∵CE⊥AB,DF⊥AB,∴∠CEA=∠DFB=90°. 又∵AC=BD,CE=DF,∴ Rt△ACE≌Rt△BDF(HL), ∴∠A=∠B,∴AC∥BD. 9.(1)证明:作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N, ∵P(2,2),∴PM=PN=2, ∵PA =PB,∴ Rt△PMA≌Rt△PNB(HL), ∴∠PAM=∠PBN,∴易得∠BPA=∠BOA =90°,∴PA⊥PB. (2)(0,-4) (3)解:由(1)可得MA=BN, ∴OA-OB=(OM+MA)-(BN-ON)=OM+ON=4. 第7课时 角的平分线(1) 1. A 2. D 3.120°4.2.4 5.解:如图,作DF⊥BC,垂足为 F. ∵BD是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DE=6,BC=9, ∴DE=DF=6, 6.解:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴CD=DE=5cm. 又∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°, ∴ ∠B=90°-∠BAC=90°-64°=26°. 7.证明:在△ABD和△ACD中, ∴ △ABD≌△ACD(SSS),∴∠BAD=∠CAD. ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. 8.解:(1)如图,BD 即为所作. (2)如图,作DH⊥AB于点H. ∵BD平分∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB, ∴CD=DH=3, ∴△ABC的面积 9.(1)解:∠A+∠D=2∠BOC,证明如下: 由题意设∠ABE=∠CBE=x,∠BCF=∠DCF=y, 则∠AFO+∠DEO=(2x+y)+(x+2y)=3(x+y). ∵∠A+∠D+∠AFO+∠DEO+∠EOF=540°, ∴∠A+∠D+3(x+y)+∠EOF=540°,① 又∠EOF=∠BOC=180°-(x+y),② 由①②,得∠A+∠D=2∠BOC. (2)证明:∵∠A+∠D=240°,∴∠BOC=120°, ∴∠BOF=∠COE=60°. 在BC上取BG=BF,连接OG,易证△BFO≌△BGO, ∴OF=OG,∠BOF=∠BOG=60°, ∴∠COG=∠COE=60°,易证△COG≌△COE, ∴OG=OE,∴OE=OF. 第8课时 角的平分线(2) 1. C 2. D 3.60°4.3 5.证明:在 Rt△PFD和Rt△PGE中, ∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE. ∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴OC 是∠AOB 的平分线. 6.证明:∵OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,∴AM=BM.在Rt△AOM 和Rt△BOM中, ∴Rt△AOM≌Rt△BOM(HL), ∴OA=OB. 7.解:如图,过点D作DE⊥AB于E. ∵∠C=90°,AD平分∠BAC,∴DE=CD, 解得DE=3,∴CD的长为3. 8.(1)解:∵∠ACB=100°,∴∠ACD=180°-100°=80°, ∵EH⊥BD,∴∠CHE=90°, ∵∠CEH=50°,∴∠ECH=90°-50°=40°, ∴ ∠ACE=∠ACD-∠ECH=80°-40°=40°. (2)证明:如图,过点E分别作EM⊥BF于M,EN⊥AC于N, ∵BE平分∠ABC,EH⊥BD,∴EM=EH, ∵∠ACE=∠ECH=40°,∴CE平分∠ACD, ∴EN=EH,∴EM=EN, ∴AE平分∠CAF. 第9课时 《全等三角形》单元复习 1. D 2. A 3. D 4. B 5. C 6.7 7.37°8.58°9.90°10.3:5:6 11.证明:∵AD 是△ABC的中线,∴BD=CD,在△ACD和△EBD中, ∴ △ACD≌△EBD(SAS). 12.证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF. ∵BE=CF,∴BC=EF, 在△ABC和△DEF 中, ∴△ABC≌△DEF(SAS). 13.证明:∵点 D,E分别是线段AB,AC的中点, ∵AB=AC,∴AD=AE, 在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(SAS),∴∠B=∠C. 14.证明:∵EF∥BC,AB∥DE, ∴∠BCA=∠EFD,∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(AAS),∴AC=DF, ∴AC-FC=DF-FC,即AF=CD. 15.(1)解：如图，DF 就是所作的角平分线. (2)证明:∵AC∥DB,∴∠ACO=∠BDO, ∵CE,DF分别平分∠ACO,∠BDO, ∴∠ECO=∠FDO, 在△OCE和△ODF中, ∴△OCE≌△ODF(ASA). 16.证明:∵∠BAC=90°,CE⊥AE,BD⊥AE, ∴∠ABD +∠BAD =90°,∠BAD +∠DAC =90°,∠ADB =∠E=90°, ∴∠ABD=∠DAC. 在△ABD和△CAE中, ∴△ABD≌△CAE(AAS).∴BD=AE,AD=EC. ∵AE=AD+DE,∴BD=EC+ED. 17.(1)证明:∵BC⊥AE,∠BAE=45°, ∴∠CBA=∠CAB=45°,∴易证BC=CA, 在△BCE和△ACD中, ∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD,即AD=BE. (2)证明:∵△BCE≌△ACD,∴∠EBC=∠DAC, ∵∠BDP=∠ADC,∴∠BPD=∠DCA=90°, ∵AB=AE,AP=AP,∴△Rt△APB≌△Rt△APE(HL), ∴∠BAP=∠EAP,∴AD平分∠BAE. (3)解:AD⊥BE不发生变化.理由如下: 设AD与BC相交于点F， 由(1)同理可证△BCE≌△ACD,∴∠EBC=∠DAC, ∵∠BFP=∠AFC,∴∠BPF=∠ACF=90°, ∴AD⊥BE. $