5.1.2 等式的性质 导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“等式的性质”，引导学生认识等式概念、基本事实及性质，掌握用等式性质解一元一次方程的方法。通过从简单方程到复杂方程的问题导入，搭建从已有知识到新知探究的学习支架，衔接自然。 资料以问题探究为主线，通过实例验证等式性质在负数情境下的适用性，培养学生数学抽象与推理意识。实例运用与变式训练结合，达标检测题型多样，助力学生巩固知识提升数学运算能力，适合自主学习与课堂教学。

姓名: 学科: 日期: 5.1.2等式的性质 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年9月1日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解等式的概念、基本事实与等式的性质，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重难点） 2.经历问题探究，理解与掌握用等式性质解一元一次方程的方法与步骤，并能运用其解决相关的实际问题.（数学运算▪重点） 【学习过程】 1、 问题导入 （一）问题 你能直接说出这样简单方程的解吗？方程呢？ 探究：由题意可得 方程的解为; 方程的解为. 而对于复杂方程，仅靠观察来解方程是困难的. （2） 思考 对于比较复杂的方程，还要研究怎样解方程？方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质？ 2、 等式的概念与基本事实 （一）等式的概念 像这样的式子， 一般地，用等号连接表示相等关系的式子叫作等式.我们可以用表示一般的等式. （二）等式的基本事实 等式的有如下两个基本事实： 1.互换性：等式两边可以交换. 如果，那么. 例如，已知成立，反之也成立 2.传递性：相等关系可以传递. 如果，那么. 例如，已知，，那么成立 （3） 实例运用 例1（自编）.下列各式是等式的有 ②④ （只用填序号）. ①； ②； ③； ④； ⑤. 3、 等式的性质 （一）问题探究 在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等. 引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试. 1.探究1 已知等式，有 成立. 2.探究2 已知等式，有 成立. （2） 等式的性质 由上探究可知，引入负数后，等式依然有如下的性质： 1.等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 如果，那么. 2.等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果，那么； 如果，那么. （3） 实例运用 例2.根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果，那么； （2）如果，那么 （3）如果，那么； （4）如果，那么. 解： （1） 对于等式， 根据等式的性质1“等式两边同时加上，结果仍相等”可得 即 成立 （2）对于等式， 根据等式的性质1“等式两边同时减去，结果仍相等”可得 即 成立 （3）对于等式， 根据等式的性质2“等式两边同乘以，结果仍相等”可得 即 成立 （4）对于等式， 根据等式的性质2“等式两边同除以2，结果仍相等”可得 即 成立 （4） 变式训练 【变式1】根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 【变式2】下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】根据等式性质对各选项的变形逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A 、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项B、∵，等式两边同时减，得，原变形正确，符合题意； 选项C、∵，移项得，原变形错误，不符合题意； 选项D、∵，等式两边同时乘，得，原变形错误，不符合题意； 【变式3】由可得，依据是________． 【答案】等式的基本性质2 【难度】0.94 【知识点】等式的性质2 【分析】此题考查了等式的基本性质2：等式两边同时乘以同一个数或除以同一个不为零的数，等式仍然成立． 根据等式的基本性质2求解即可． 【详解】解：由可得，依据是等式的基本性质2． 故答案为：等式的基本性质2． 【变式4】若，则______，这是根据等式的基本性质______，在等式两边同时______． 【答案】 2 1 减去2 【难度】0.94 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查等式的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用等式的性质变形是关键．根据等式的基本性质，对方程进行变形，通过两边同时减去2，得到的值． 【详解】解：由方程，根据等式的基本性质1（即等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍是等式），在等式两边同时减去2，得． 故答案为：，，减去． 4、 利用等式的性质解方程 （1） 问题探究 你能利用等式的性质解方程：吗？ 探究： 方程两边加2，得 化简得 方程两边乘，得 于是 检验： ∵当时， 方程的左边， 右边， 即此时 ∴是方程的解. （2） 利用等式的性质解方程 由上探究可知， 一般地，解以为未知数的方程，就是以等式的性质为依据，把方程逐步转化为（为常数）的形式. 【注】一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程检验，看这个值能否使方程左、右两边的值相等. （3） 实例运用 例3.利用等式的性质解下列方程，并检验. (1)；(2）；(3). 分析：要使方程转化为（常数）的形式，需要去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出的值，类似地，利用等式的性质，可以将另外两个方程转化为的形式. 解：（1）方程两边减7，得 于是 检验： ∵当时， 方程的左边， 右边， 即此时 ∴是方程的解. （2）方程两边除以，得 于是 检验： ∵当时， 方程的左边， 右边， 即此时 ∴是方程的解. （3）方程两边加5，得 化简得 方程两边乘，得 于是 检验： ∵当时， 方程的左边， 右边， 即此时 ∴是方程的解. （4） 变式训练 【变式1】方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】等式的性质2 【分析】利用等式的基本性质，将未知数系数化为1即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 等式两边同时除以，得 ， ∴ 方程的解为． 【变式2】如果，那么________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】等式的性质2 【分析】利用等式的性质，两边同除以即可求出的值． 【详解】解： ， 等式两边同时除以，得， ． 【变式3】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． （1）方程两边同减去2，即可得出答案； （2）方程两边同乘2，即可得出答案； （3）方程两边同加上5，即可得出答案； （4）方程两边先同时减去1，变为，然后方程两边同除以2，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边都减2，得． （2）解：， 方程两边都乘2，得． （3）解：， 方程两边都加5，得． （4）解：， 方程两边都减1，得； 方程两边都除以2，得． 5、 达标检测 1．如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1 【详解】由第一个天平平衡得：小大大小， 化简得：大小． 第二个天平左边：小大小小小． 故虚线框里要放个小白球． 2．如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，符合题意； C、∵， ∴， ∴，原式变形不正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形不正确，不符合题意． 3．下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】根据等式的基本性质逐一判断每位同学的变形，即可得到正确结果． 【详解】解：小明：∵， ∴，故小明变形错误； 佳佳：∵， ∴，故佳佳变形错误； 小红：∵， ∴，故小红变形错误； 丽丽：∵， ∴，故丽丽变形正确． 4．下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】等式的基本性质为：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：∵若，两边同时加1可得，两边同时减2可得， ∴A，B选项变形正确，不符合题意． ∵若，且，两边同时除以4可得， ∴D选项变形正确，不符合题意． ∵若，当时，无论取何值等式都成立，只有时才能得到，题目没有说明，因此不能直接得到， ∴C选项变形错误，符合题意． 5．已知等式，那么______； ______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，等式两边同时加上或乘以同一个数，等式仍然成立解答即可． 【详解】已知，根据等式性质，等式两边同时加上，得，故第一个空白处为； 等式两边同时乘以，得，故第二个空白处为； 故答案为：；． 6．由等式的两边都______，得到等式，这是根据等式的基本性质______． 【答案】 减去 【难度】0.94 【知识点】等式的性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据等式的基本性质1，等式两边同时减去同一个整式，等式仍然成立，解答即可． 【详解】由等式，两边都减去，得，即，这是根据等式的基本性质； 故答案为：减去；． 7．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【难度】0.85 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用等式的性质解答即可； （2）利用等式的性质解答即可； （3）利用等式的性质解答即可； （4）利用等式的性质解答即可； （5）利用等式的性质解答即可； （6）利用等式的性质解答即可． 【详解】（1）方程两边同时减去5，得，即； （2）方程两边同时加上，得，即； （3）方程两边同时除以，得，即； （4）方程两边同时乘以，得，即； （5）方程两边同时减去，得，即， 方程两边同时除以，得； （6）方程两边同时加上，得，即， 方程两边同时除以，得． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 5.1.2等式的性质 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：1课时 日期：2026年9月1日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解等式的概念、基本事实与等式的性质，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象、数学运算▪重难点） 2.经历问题探究，理解与掌握用等式性质解一元一次方程的方法与步骤，并能运用其解决相关的实际问题.（数学运算▪重点） 【学习过程】 1、 问题导入 （一）问题 你能直接说出这样简单方程的解吗？方程呢？ 探究：由题意可得 方程的解为 ; 方程的解为 ; 而对于复杂方程，仅靠观察来解方程是困难的. （2） 思考 对于比较复杂的方程，还要研究怎样解方程？方程是含有未知数的等式，为了研究解方程，先来看看等式有什么性质？ 2、 等式的概念与基本事实 （一）等式的概念 像这样的式子， 一般地，用 连接表示 关系的式子叫作等式.我们可以用 表示一般的等式. （二）等式的基本事实 等式的有如下两个基本事实： 1.互换性：等式两边可以 . 如果，那么 . 例如，已知成立，反之 也成立 2.传递性：相等关系可以 . 如果，那么 . 例如，已知，，那么 成立 （3） 实例运用 例1（自编）.下列各式是等式的有 （只用填序号）. ①； ②； ③； ④； ⑤. 3、 等式的性质 （一）问题探究 在小学，我们已经知道：等式两边同时加（或减）同一个正数，同时乘同一个正数，或同时除以同一个不为0的正数，结果仍相等. 引入负数后，这些性质还成立吗？你可以用一些具体的数试一试. 1.探究1 已知等式，有 成立. 2.探究2 已知等式，有 成立. （2） 等式的性质 由上探究可知，引入负数后，等式依然有如下的性质： 1.等式的性质1 等式两边加（或减） （或 ），结果仍 . 如果，那么 . 2.等式的性质2 等式两边乘 ，或除以 ，结果仍 . 如果，那么 . 如果，那么 . （3） 实例运用 例2.根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如果，那么； （2）如果，那么 （3）如果，那么； （4）如果，那么. 解： （1） 对于等式， 根据等式的性质1“等式两边同时加上 ，结果仍相等”可得 即 成立 （2）对于等式， 根据等式的性质1“等式两边同时减去 ，结果仍相等”可得 即 成立 （3）对于等式， 根据等式的性质2“等式两边同乘以 ，结果仍相等”可得 即 成立 （4）对于等式， 根据等式的性质2“等式两边同除以 ，结果仍相等”可得 即 成立 （4） 变式训练 【变式1】根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式2】下列等式变形中，正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式3】由可得，依据是________． 【变式4】若，则______，这是根据等式的基本性质______，在等式两边同时______． 4、 利用等式的性质解方程 （1） 问题探究 你能利用等式的性质解方程：吗？ 探究： 方程两边加 ，得 化简得 方程两边乘 ，得 于是 检验： ∵当时， 方程的左边， 右边， 即此时 ∴是方程的解. （2） 利用等式的性质解方程 由上探究可知， 一般地，解以为未知数的方程，就是以 为依据，把方程逐步转化为 （为常数）的形式. 【注】一般地，从方程解出未知数的值以后，通常需要代入原方程 ，看这个值能否使方程左、右两边的值 . （3） 实例运用 例3.利用等式的性质解下列方程，并检验. (1)；(2）；(3). 分析：要使方程转化为（常数）的形式，需要去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出的值，类似地，利用等式的性质，可以将另外两个方程转化为的形式. 解：（1）方程两边减 ，得 于是 检验： ∵当时， 方程的左边， 右边， 即此时 ∴是方程的解. （2）方程两边除以 ，得 于是 检验： ∵当时， 方程的左边， 右边， 即此时 ∴是方程的解. （3）方程两边加 ，得 化简得 方程两边乘 ，得 于是 检验： ∵当时， 方程的左边， 右边， 即此时 ∴是方程的解. （4） 变式训练 【变式1】方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如果，那么________． 【变式3】利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式： (1) ； （2）； （3）； (4)． 5、 达标检测 1．如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 2．如果，那么根据等式的性质下列变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列四位同学对方程的变形中，正确的是（     ） 小明：若，则； 佳佳：若，则； 小红：若，则； 丽丽：若，则． A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽 4．下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知等式，那么______； ______． 6．由等式的两边都______，得到等式，这是根据等式的基本性质______． 7．利用等式的基本性质解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $