5.1.2等式的性质（第36课时）学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“等式的性质”，通过跷跷板平衡的生活情境引入，结合天平实验直观演示，引导学生从具体操作抽象出等式性质1和性质2，衔接方程概念，为后续解方程提供基础学习支架。 资料以核心素养为导向，通过实验观察培养数学抽象能力，典型例题与错误诊所强化逻辑推理和数学运算能力，分层达标检测兼顾基础与提升，融入数学文化增强学习兴趣，助力学生理解性质本质并规范应用。

第五章 一元一次方程 5.1 方程 5.1.2 等式的性质（第36课时） 一、学习目标（核心素养） 1. 数学抽象：通过天平实验的直观演示，理解等式的两条基本性质，发展抽象思维能力。 2. 逻辑推理：能运用等式的性质对等式进行变形，培养逻辑推理和代数运算能力。 3. 数学运算：会利用等式的性质解简单的一元一次方程，掌握检验方程解的方法。 4. 数学建模：通过等式性质的学习，体会'化归'思想，即将复杂方程转化为x=a的形式。 二、重点难点 重点 等式的两条基本性质的理解与掌握 运用等式的性质解简单的一元一次方程 对等式进行正确的变形 难点 等式性质2中'除以同一个不为0的数'的条件理解 灵活运用等式性质进行等式变形 理解解方程过程中的'化归'思想 三、情境导入 【生活情境】 同学们都玩过跷跷板吧？当跷跷板两边平衡时，如果在两边同时加上或减去相同重量的物体， 跷跷板还会保持平衡吗？如果两边的重量同时扩大到原来的几倍，或者同时缩小到原来的几分之一， 跷跷板还能保持平衡吗？ 【数学思考】 等式就像平衡的跷跷板（天平），等号两边的式子重量相等。 如果我们在等式两边进行同样的操作，等式还成立吗？ 探究活动： 观察下面的式子，你发现了什么规律？ （1）8 = 8 → 8 + 3 = 8 + 3 （2）8 = 8 → 8 - 3 = 8 - 3 （3）8 = 8 → 8 × 3 = 8 × 3 （4）8 = 8 → 8 ÷ 2 = 8 ÷ 2 如果把8换成代数式a和b，当a = b时，上面的结论还成立吗？ 四、合作探究 探究一：等式的性质1 【实验观察】 如图，天平左边放a克物体，右边放b克物体，天平平衡，说明a = b。 （1）如果在天平两边同时加上c克的砝码，天平还平衡吗？ （2）如果在天平两边同时减去c克的砝码，天平还平衡吗？ 结论：天平两边同时加（或减）相同重量的物体，天平______平衡。 等式的性质1： 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 符号语言：如果 a = b，那么 a ± c = b ± c 【即时训练1】填空： （1）如果 x - 3 = 5，那么 x = 5 + ____；（根据：____________） （2）如果 x + 3 = -5，那么 x = -5 ____；（根据：____________） （3）如果 2x = x + 4，那么 2x ____ = 4。（根据：____________） 探究二：等式的性质2 【实验观察】 继续观察天平实验：如果天平左边的重量变为原来的3倍，右边的重量也变为原来的3倍， 天平还平衡吗？如果两边同时变为原来的二分之一呢？ 结论：天平两边的重量同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，天平______平衡。 等式的性质2： 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 符号语言：如果 a = b，那么 ac = bc 如果 a = b（c ≠ 0），那么 a/c = b/c 重要提醒： 等式两边除以同一个数时，这个数不能为0！ 因为0作除数没有意义，这是最容易出错的地方。 【即时训练2】填空： （1）如果 3x = -6，那么 x = ____；（根据：____________） （2）如果 -2x = 6，那么 x = ____；（根据：____________） （3）如果 x = 3，那么 x = ____。（根据：____________） 探究三：等式的其他性质（补充） （1）对称性：如果 a = b，那么 b = a。（等式左右两边可以互换） （2）传递性：如果 a = b，b = c，那么 a = c。（等量代换） （3）如果 a = b，c = d，那么 a + c = b + d。（等式加法） 五、典型例题 题型一：等式性质的辨析 【例1】判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）如果 a = b，那么 ac = bc； （2）如果 ac = bc，那么 a = b； （3）如果 a = b，那么 a/c = b/c； （4）如果 a = b，c = d，那么 a - c = b - d。 解： （1）正确。根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，结果仍相等。 （2）错误。当 c = 0 时，a 和 b 可以不相等。例如：2×0 = 3×0，但2 ≠ 3。 （3）错误。缺少条件 c ≠ 0，因为0不能作除数。 （4）正确。根据等式性质1，a = b 两边减 c，得 a - c = b - c； 又 c = d，所以 b - c = b - d，因此 a - c = b - d。 题型二：利用等式的性质解方程 【例2】利用等式的性质解下列方程： （1）x + 7 = 26 解：两边减7，得 x + 7 - 7 = 26 - 7 x = 19 检验：将 x = 19 代入原方程， 左边 = 19 + 7 = 26 = 右边， 所以 x = 19 是原方程的解。 （2）-5x = 20 解：两边除以 -5，得 -5x ÷ (-5) = 20 ÷ (-5) x = -4 检验：将 x = -4 代入原方程， 左边 = -5×(-4) = 20 = 右边， 所以 x = -4 是原方程的解。 （3）-x - 5 = 4 （注意：先移项，再系数化为1） 解：两边加5，得 -x - 5 + 5 = 4 + 5 -x = 9 两边乘 -3，得 -x × (-3) = 9 × (-3) x = -27 （检验由同学们自己完成） 方法总结： 解方程的基本思路：利用等式的性质，将方程逐步变形为 x = a（常数）的形式。 一般步骤：先利用性质1移项（含未知数的在左边，常数在右边），再利用性质2将系数化为1。 注意：解方程后要养成检验的好习惯！ 题型三：等式性质的综合应用 【例3】已知 2x + 3y = 7，利用等式的性质求下列各式的值： （1）2x + 3y + 5 （2）4x + 6y （3）-2x - 3y 解：（1）因为 2x + 3y = 7， 根据等式性质1，两边加5，得 2x + 3y + 5 = 7 + 5 = 12。 （2）因为 2x + 3y = 7， 根据等式性质2，两边乘2，得 2(2x + 3y) = 7×2， 即 4x + 6y = 14。 （3）因为 2x + 3y = 7， 根据等式性质2，两边乘 -1，得 -(2x + 3y) = 7×(-1)， 即 -2x - 3y = -7。 六、错误诊所 易错点1：等式两边除以0 【错例】如果 3x = 5x，两边除以x，得 3 = 5。 【诊断】错误在于两边除以了x，但x可能为0，而0不能作除数。 【正解】两边减3x，得 0 = 2x，即 2x = 0，所以 x = 0。 易错点2：漏乘常数项 【错例】解方程 x + 3 = 1，两边乘2，得 x + 3 = 2。 【诊断】错误在于等式两边乘2时，常数项3漏乘了。根据等式性质2，每一项都要乘。 【正解】两边乘2，得 x + 6 = 2，解得 x = -4。 易错点3：移项时忘记变号 【错例】解方程 x + 5 = 2，得 x = 2 + 5 = 7。 【诊断】根据等式性质1，两边减5，应该是 x = 2 - 5，而不是加5。移项要变号！ 【正解】x = 2 - 5 = -3。 易错点4：符号处理错误 【错例】解方程 -3x = 6，得 x = 2。 【诊断】两边除以-3，右边应该是 6 ÷ (-3) = -2，而不是2。注意符号！ 【正解】x = -2。 七、达标检测 ★ 基础达标（必做） 1. 下列等式变形中，正确的是（ ） A. 若 a = b，则 a + c = b - c B. 若 a = b，则 ac = bc C. 若 a = b，则 a/c = b/c D. 若 a² = b²，则 a = b 2. 由方程 -3x = 2 得到 x = 的依据是（ ） A. 等式的性质1 B. 等式的性质2 C. 等式的性质1和性质2 D. 以上都不对 3. 填空题： （1）如果 x - 2 = 3，那么 x = ____，依据是____________； （2）如果 4x = -12，那么 x = ____，依据是____________； （3）如果 = 2，那么 x = ____，依据是____________。 4. 利用等式的性质解下列方程（要检验）： （1）x - 5 = 6 （2）0.3x = 45 （3）-4x = 12 （4）2 - x = 5 ★★ 能力提升（选做） 5. 下列说法正确的有（ ）个 ① 若 a = b，则 ac = bc； ② 若 ac = bc，则 a = b； ③ 若 a = b，则 a/c² = b/c²； ④ 若 a/c² = b/c²，则 a = b。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 已知 3a + 2b = 1，利用等式的性质求 6a + 4b - 3 的值。 7. 当 x = ______ 时，式子 2x + 3 与 5 - x 的值相等。 8. 已知关于x的方程 3a - x = + 3 的解是 x = 4，求 a 的值。 ★★★ 拓展探究（选做） 9. 小明在解方程 3a - 2x = 15 时，误将 -2x 看成了 +2x，得到方程的解为 x = 3， 请求出原方程的解。 10. 对于任意有理数a、b、c、d，我们规定： | a b | | c d | = ad - bc 若 | -2 3x | = -10，利用等式的性质求x的值。 | 1 x | 八、中考链接 1. （2024·河北模拟）下列等式变形正确的是（ ） A. 若 x = y，则 x - 5 = y + 5 B. 若 a = b，则 ac = bc C. 若 a/b = c/d，则 a = c D. 若 x² = x，则 x = 1 2. （2023·湖南中考）方程 2x + 1 = 3 的解是（ ） A. x = -1 B. x = 1 C. x = 2 D. x = -2 3. （2024·四川模拟）已知 x = 2 是关于x的方程 2x + a - 5 = 0 的解， 则 a 的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -9 D. 9 九、数学文化 等式与方程的历史 等式的概念早在古埃及时期就已经出现。在公元前1650年左右的莱因德数学纸草书中， 古埃及人已经能用文字描述和解决一些简单的一元一次方程问题。 我国古代数学著作《九章算术》中也有大量关于方程的内容。在'方程'章中， 古人用算筹排列成方阵来表示方程组，并创造了'直除法'来解线性方程组， 这比西方早了一千五百多年。 16世纪，法国数学家韦达创立了代数符号系统，用字母表示数， 使得方程的表达更加简洁明了，为代数学的发展奠定了基础。 韦达（Franciscus Vieta，1540-1603），法国数学家，被称为'代数学之父'。 他是第一个有意识地、系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂的人， 带来了代数理论研究的重大进步。他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与系数的关系 （即韦达定理）。在欧洲，他被尊称为'代数学之父'。 十、小结反思 知识要点 内容总结 等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 若 a = b，则 a ± c = b ± c 等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 若 a = b，则 ac = bc；若 a = b（c≠0），则 a/c = b/c 解方程 利用等式的性质将方程变形为 x = a（常数）的形式 检验 将求得的解代入原方程，看左右两边是否相等 数学思想方法： 1. 化归思想：将复杂的方程逐步转化为 x = a 的简单形式，这是解方程的核心思想。 2. 类比思想：通过天平平衡类比等式的性质，帮助我们直观理解抽象的代数概念。 3. 检验思想：解方程后要检验，培养严谨的数学态度。 【我的收获】 通过本节课的学习，我学会了： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【我的困惑】 我还有以下问题不太明白： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 参考答案 典型例题答案 【例1】 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）如果 a = b，那么 ac = bc； （2）如果 ac = bc，那么 a = b； （3）如果 a = b，那么 a/c = b/c； （4）如果 a = b，c = d，那么 a - c = b - d。 解： （1）正确。根据等式的性质2，等式两边乘同一个数，结果仍相等。 （2）错误。当 c = 0 时，a 和 b 可以不相等。例如：2×0 = 3×0，但2 ≠ 3。 （3）错误。缺少条件 c ≠ 0，因为0不能作除数。 （4）正确。根据等式性质1，a = b 两边减 c，得 a - c = b - c； 又 c = d，所以 b - c = b - d，因此 a - c = b - d。 题型二：利用等式的性质解方程 【例2】 利用等式的性质解下列方程： （1）x + 7 = 26 解：两边减7，得 x + 7 - 7 = 26 - 7 x = 19 检验：将 x = 19 代入原方程， 左边 = 19 + 7 = 26 = 右边， 所以 x = 19 是原方程的解。 （2）-5x = 20 解：两边除以 -5，得 -5x ÷ (-5) = 20 ÷ (-5) x = -4 检验：将 x = -4 代入原方程， 左边 = -5×(-4) = 20 = 右边， 所以 x = -4 是原方程的解。 （3）-x - 5 = 4 （注意：先移项，再系数化为1） 解：两边加5，得 -x - 5 + 5 = 4 + 5 -x = 9 两边乘 -3，得 -x × (-3) = 9 × (-3) x = -27 （检验由同学们自己完成） 题型三：等式性质的综合应用 【例3】 已知 2x + 3y = 7，利用等式的性质求下列各式的值： （1）2x + 3y + 5 （2）4x + 6y （3）-2x - 3y 解：（1）因为 2x + 3y = 7， 根据等式性质1，两边加5，得 2x + 3y + 5 = 7 + 5 = 12。 （2）因为 2x + 3y = 7， 根据等式性质2，两边乘2，得 2(2x + 3y) = 7×2， 即 4x + 6y = 14。 （3）因为 2x + 3y = 7， 根据等式性质2，两边乘 -1，得 -(2x + 3y) = 7×(-1)， 即 -2x - 3y = -7。 一、基础达标 1. B 提示：A中应该同加或同减；C中c不能为0；D中a、b可能互为相反数 2. B 提示：两边同时除以-3，属于等式的性质2 3. (1) 7，等式的性质1 (2) -3，等式的性质2 (3) -6，等式的性质2 4. (1) x = 11 检验：左边 = 11 - 5 = 6 = 右边(2) x = 150 检验：左边 = 0.3×150 = 45 = 右边(3) x = -3 检验：左边 = -4×(-3) = 12 = 右边(4) x = -9 检验：左边 = 2 - ×(-9) = 2 + 3 = 5 = 右边 二、能力提升 5. B 提示：①正确（性质2）；②错误（c可能为0）；③错误（c²可能为0）；④正确（c²作分母，说明c≠0） 6. 解：因为 3a + 2b = 1，两边乘2得 6a + 4b = 2， 所以 6a + 4b - 3 = 2 - 3 = -1。 7. 提示：列方程 2x + 3 = 5 - x，解得 x = 8. 解：将 x = 4 代入方程 3a - x = + 3， 得 3a - 4 = + 3，即 3a - 4 = 5， 3a = 9，所以 a = 3。 三、拓展探究 9. 解：小明看错后的方程为 3a + 2x = 15，将 x = 3 代入， 得 3a + 6 = 15，解得 a = 3。 原方程为 9 - 2x = 15，解得 x = -3。 10. 解：根据规定，| -2 3x | = (-2)·x - 3x·1 = -2x - 3x = -5x | 1 x | 由题意得 -5x = -10， 两边除以-5，得 x = 2。 四、中考链接 1. B 提示：A中一边减一边加，不对；C中只有分母相同才成立；D中x还可为0 2. B 3. B 提示：将x=2代入得 4 + a - 5 = 0，a = 1 学科网（北京）股份有限公司 $