第29讲 等式的性质 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

人教版·数学·七年级上册（2024 新版） §5.1.2 等式的性质 · 导学案 第二课时　学生版　·　欧几里得 300 BC《几何原本》公理体系 一、学习目标 ① 核心概念　理解等式的两条基本性质（性质 1：同加减 / 性质 2：同乘除），能用符号语言与文字语言双向表达；理解「等式两边同做」的深层含义。 ② 核心方法　掌握「同·同·非零」三查法（同一个数/式·两边同做·除数非零），能用等式性质进行严谨变形，为 §5.2 解一元一次方程奠定公理基础。 ③ 数学史素养　感受「公理→定理→应用」的数学演绎之美。 二、重难点 类别 具体内容 突破策略 重点 1 等式性质 1：等式两边同加（或同减）同一个数或式，结果仍为等式 天平模型直观 + 符号语言 a=b ⇒ a±c=b±c 重点 2 等式性质 2：等式两边同乘同一个数，或除以同一个非零数，结果仍为等式 天平放大缩小·除数非零反例警示 重点 3 用等式性质进行简单变形，为解方程做铺垫 从 x+3=5 到 x=2 的严谨推导·每步标注依据 难点 1 性质 2 中「除数非零」的深刻理解——为什么不能除以 0？ 反例：若 a=b，两边同除 0，则 0÷0 无意义 难点 2 「两边同做」的严格性——单边操作、部分项操作均破坏等式 三查法执行·反例警示·板演对比 难点 3 等式性质与代数式化简的本质区别——性质是「保等价的变形」，不是「化简」 对比 §4.2 合并同类项/去括号是「值不变」，性质是「等价变换」 ⚠️ 六大易错预警 ① 只加一边　由 a=b 得出 a+3=b（左加右不加）——破坏等式 ② 部分项加减　由 3x+5=8 只把左边的 5 减掉，右边不变——错误 ③ 除数为 0　由 a=b 两边同除以 c，忘记要求 c≠0 ④ 加数与乘数混淆　由 2x=6 想到「两边减 2」——应「两边除以 2」 ⑤ 忘记「同一个」　左边加 3、右边加 5——两边加的数不同 ⑥ 符号语言写错　a=b ⇒ a-c=b+c——把「同减」写成「一减一加」 三、复习回顾 回顾 1：§5.1.1 方程的定义与三大标准 ① 方程：含有未知数的　　　　　。 ② 一元一次方程三大标准：　　　　（一元）·　　　　（一次）·　　　　（整式）。 回顾 2：设·找·列 三步法 列方程解应用题的三步：①　　　　　　；②　　　　　　；③　　　　　　。 回顾 3：等式与代数式的区别（本节起点） 下列各式，哪些是等式？哪些是代数式？ ① 3x + 5　　② 3x + 5 = 8　　③ 2a - b　　④ a = b - 1　　⑤ x² + y 四、新知探究 探究一：天平模型——等式的物理直观 想象一架天平，左边放 a 克重物，右边放 b 克重物，天平平衡（a=b）。 问 1　如果我在两边同时再加上 3 克重物，天平还平衡吗？ 问 2　如果我只在左边加 3 克，右边不动，天平还平衡吗？ 问 3　如果我把两边的重量都变为原来的 2 倍，天平还平衡吗？ 问 4　如果我把两边都乘以 0，天平上还剩什么？ 探究二：等式性质 1（同加减） 性质 1（文字语言）　等式两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等。 性质 1（符号语言）　如果 a = b，那么 a ± c = b ± c。 原等式 变形操作 变形后等式 是否仍相等 a = b 两边同加 5 　　　　 　　　 x + 3 = 7 两边同减 3 　　　　 　　　 2x + 1 = 5 两边同减 1 　　　　 　　　 a = b 左边加 3，右边加 5 　　　　 　　　 a = b 两边同加 2a（式也可以） 　　　　 　　　 探究三：等式性质 2（同乘除·除数非零） 性质 2（文字语言）　等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于 0 的数，结果仍相等。 性质 2（符号语言）　 　　如果 a = b，那么 ac = bc； 　　如果 a = b（且 c ≠ 0），那么 = 。 原等式 变形操作 变形后等式 是否仍相等 a = b 两边同乘 3 　　　　 　　　 2x = 8 两边同除 2 　　　　 　　　 x = 2 两边同乘 3 　　　　 　　　 a = b 两边同除以 0 　　　　 　　　 a = b 左乘 2，右乘 3 　　　　 　　　 探究四：从方程到解——用性质做严谨变形 请你用等式性质，把 x + 3 = 8 变形，最终得到 x = ?，并在每一步右侧写明依据。 步骤 变形过程 依据 原方程 x + 3 = 8 —— 第 1 步 x + 3 　　　 = 8 　　　 两边同　　　（性质　） 化简 x = 　　 合并计算 再用等式性质变形 2x = 10，得到 x = ?，并写明依据。 步骤 变形过程 依据 原方程 2x = 10 —— 第 1 步 2x 　　　 = 10 　　　 两边同　　　（性质　） 化简 x = 　　 合并计算 五、例题精讲 例 1　用等式性质 1 变形 用等式性质 1 将下列方程变形（每一步写出依据）： (1) x + 5 = 12　　(2) x − 4 = 9　　(3) 3x + 7 = 3x + 2 + 5　　(4) 2y + 3 = 11 例 2　用等式性质 2 变形（含分数） 用等式性质 2 将下列方程变形（每一步写出依据）： (1) 5x = 30　　(2) −3x = 12 (3) x = 6　　(4) −y = 4 例 3　★压轴★ 综合应用——从方程到解 用等式性质完整解方程（每一步注明依据）： (1) 3x − 5 = 7　　(2) 2y + 6 = 18　　(3) x + 2 = 5 六、当堂检测 Part 1　性质辨析（5 题） 下列变形是否正确？错误的请指出原因： (1) 由 a = b，得 a + 2 = b + 2　　　　　　　　　　　　　（　　） (2) 由 a = b，得 a − 3 = b + 3　　　　　　　　　　　　　（　　） (3) 由 x + 5 = 10，得 x = 10 − 5　　　　　　　　　　　　（　　） (4) 由 a = b（c ≠ 0），得 = 　　　　　　　　　　　　（　　） (5) 由 3x = 6，得 x = 2（两边同除 3）　　　　　　　　　（　　） Part 2　用性质变形（4 题） 用等式性质求解下列方程（写出依据）： (1) x − 7 = 3　　(2) 4x = 20　　(3) 2x + 5 = 13　　(4) x = 6 Part 3　推理·陷阱识别（3 题） (1) 已知 2a = 2b，能否得 a = b？为什么？ (2) 已知 ac = bc，能否得 a = b？为什么？ (3) 由 x = 3 出发，用性质 1 和性质 2 构造一个新方程，使其解仍为 x = 3。 七、思维导图 + 三大黄金口诀 思维导图·等式性质全景 等式的性质 ├─ 历史根基（欧几里得 300 BC《几何原本》五大公理） │　├─ 公理 1：与同一个量相等的量相等（等量代换） │　├─ 公理 2：等量加等量，其和相等　⇒ 性质 1 │　└─ 公理 3：等量减等量，其差相等　⇒ 性质 1 ├─ 性质 1（同加减） │　├─ 文字：等式两边加（减）同一个数或式 │　├─ 符号：a=b ⇒ a±c=b±c │　└─ 应用：解方程「消去常数项」 ├─ 性质 2（同乘除·除数非零） │　├─ 文字：等式两边乘同一个数，或除以同一个非零数 │　├─ 符号：a=b ⇒ ac=bc；a=b（c≠0）⇒ a/c=b/c │　└─ 应用：解方程「系数化为 1」 ├─ 三查法（执行保障） │　├─ 一查：同一个数/式（不能一边加 3、一边加 5） │　├─ 二查：两边同做（不能只做一边） │　└─ 三查：除法时除数 ≠ 0 └─ 通向 §5.2 解一元一次方程 　　├─ 移项 = 性质 1 　　├─ 合并同类项 = §4.2.1（值不变） 　　└─ 系数化为 1 = 性质 2 三大黄金口诀 图标 口诀 含义 ⚖️ 等式如天平 两边平衡不打破——一切变形都要「同时同做」 🔒 同数同式同操作 同一个数（或式）·同一操作（加/减/乘/除）·同时施加于两边 🚫 除数不能为 0 性质 2 的护身符——0 作除数是逻辑的禁区，不是「规则」 八、分层作业 🅰 基础层（人人过关） A-1　性质辨析（6 题）　下列变形是否正确（正确 ✓/错误 ✗）： ① 由 a = b，得 a + 3 = b + 3　（　　） ② 由 a = b，得 a − 5 = b + 5　（　　） ③ 由 3x = 12，得 x = 4　（　　） ④ 由 a = b，两边同乘 c，得 ac = bc　（　　） ⑤ 由 a = b，两边同除 0，得 0 = 0　（　　） ⑥ 由 x + 2 = 6，得 x = 6 − 2 = 4　（　　） A-2　用性质解方程（5 题）　写出每一步依据： ① x + 6 = 15　　② x − 8 = 3　　③ 6x = 42 ④ x = 5　　⑤ 5x + 3 = 18 A-3　填空（3 题）　填入依据（性质 1 或性质 2） ① 由 2x − 3 = 7 得 2x = 10，用了　　　　；再得 x = 5，用了　　　　。 ② 由 x = 4 得 x = 12，用了　　　　。 ③ 由 4x + 8 = 20 得 x = 3 的两步依据分别是　　　　、　　　　。 🅱 提高层（选做） B-1　含参数变形（3 题）　 ① 若 3a = 3b，能否得 a = b？为什么？ ② 若 ka = kb（k 为常数），能否得 a = b？请分类讨论。 ③ 若 = ，能否得 a = b？为什么？ B-2　多步综合（3 题）　 ① 用性质解：−2x + 5 = 11 ② 用性质解：3(x − 1) = 12（提示：先除，再加） ③ 用性质解：x − 1 = 5 B-3　逆向命题（3 题）　 ① 请构造一个方程，其解为 x = 5，且需要「先用性质 1，再用性质 2」两步。 ② 请构造一个方程，其解为 x = −2，且需要用到「乘以负数」这一步。 ③ 请构造一个「假等式变形」，使不细心的同学容易上当，并指出错在哪里。 🅲 挑战层（学有余力，敢来挑战？） 🅲-1　含参陷阱题　若方程 (a − 2)x = 3 关于 x 有唯一解，则 a 需要满足什么条件？为什么？ 🅲-2　等量代换连锁　已知 3a = 2b，2b = 5c，且 3a + 5c = 24，求 a、b、c 各是多少？ 🅲-3　★★★ 欧几里得公理仿写（第 5 章第 2 节大结局）　 欧几里得《几何原本》五大公理之一：「与同一量相等的量彼此相等」（等量代换）。请你仿写一条自己的「代数公理」，要求： ① 一句话陈述，含「等式」「等量」「加/减/乘/除」中至少三个关键词； ② 用符号语言表达（如 a = b, b = c ⇒ ?）； ③ 举一个初中数学中「用到你这条公理」的实例； ④ 给这条公理起个响亮的名字。 九、反思 反思维度 我的收获 ① 概念理解 我知道等式的两条性质分别是：　　　　　 ② 方法掌握 我会用性质做变形的关键三步：　　　　 ③ 易错点 我最容易犯的错误是：　　　　 ④ 数学史 我记住的历史人物和年代：　　　　 ⑤ 章节联系 等式性质与 §5.2 解方程的关系：　　　　 ⑥ 待解决问题 我还想弄清楚的问题是：　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·数学·七年级上册（2024 新版） §5.1.2 等式的性质 · 导学案 第二课时　教师版（含答案与教学建议）　·　欧几里得 300 BC《几何原本》公理体系 一、学习目标 ① 核心概念　理解等式的两条基本性质（性质 1：同加减 / 性质 2：同乘除），能用符号语言与文字语言双向表达；理解「等式两边同做」的深层含义。 ② 核心方法　掌握「同·同·非零」三查法（同一个数/式·两边同做·除数非零），能用等式性质进行严谨变形，为 §5.2 解一元一次方程奠定公理基础。 ③ 数学史素养　感受「公理→定理→应用」的数学演绎之美。 二、重难点 类别 具体内容 突破策略 重点 1 等式性质 1：等式两边同加（或同减）同一个数或式，结果仍为等式 天平模型直观 + 符号语言 a=b ⇒ a±c=b±c 重点 2 等式性质 2：等式两边同乘同一个数，或除以同一个非零数，结果仍为等式 天平放大缩小·除数非零反例警示 重点 3 用等式性质进行简单变形，为解方程做铺垫 从 x+3=5 到 x=2 的严谨推导·每步标注依据 难点 1 性质 2 中「除数非零」的深刻理解——为什么不能除以 0？ 反例：若 a=b，两边同除 0，则 0÷0 无意义 难点 2 「两边同做」的严格性——单边操作、部分项操作均破坏等式 三查法执行·反例警示·板演对比 难点 3 等式性质与代数式化简的本质区别——性质是「保等价的变形」，不是「化简」 对比 §4.2 合并同类项/去括号是「值不变」，性质是「等价变换」 ⚠️ 六大易错预警 ① 只加一边　由 a=b 得出 a+3=b（左加右不加）——破坏等式 ② 部分项加减　由 3x+5=8 只把左边的 5 减掉，右边不变——错误 ③ 除数为 0　由 a=b 两边同除以 c，忘记要求 c≠0 ④ 加数与乘数混淆　由 2x=6 想到「两边减 2」——应「两边除以 2」 ⑤ 忘记「同一个」　左边加 3、右边加 5——两边加的数不同 ⑥ 符号语言写错　a=b ⇒ a-c=b+c——把「同减」写成「一减一加」 三、复习回顾 回顾 1：§5.1.1 方程的定义与三大标准 ① 方程：含有未知数的　　　　　。 答：等式 ② 一元一次方程三大标准：　　　　（一元）·　　　　（一次）·　　　　（整式）。 答：一个未知数 · 未知数最高次数为 1 · 等号两边都是整式 回顾 2：设·找·列 三步法 列方程解应用题的三步：①　　　　　　；②　　　　　　；③　　　　　　。 答：① 设未知数 x　② 找等量关系　③ 列出方程 回顾 3：等式与代数式的区别（本节起点） 下列各式，哪些是等式？哪些是代数式？ ① 3x + 5　　② 3x + 5 = 8　　③ 2a - b　　④ a = b - 1　　⑤ x² + y 答：等式：②④　代数式：①③⑤　（等式含「=」，代数式不含「=」） 【教学提示】回顾 3 是本节的思维起点：等式与代数式的最大区别是「等号」。等号不仅是符号，更是一种「相等关系」，性质就是保护这种关系不被破坏的规则。 四、新知探究 探究一：天平模型——等式的物理直观 想象一架天平，左边放 a 克重物，右边放 b 克重物，天平平衡（a=b）。 问 1　如果我在两边同时再加上 3 克重物，天平还平衡吗？ 答：平衡。此时 a+3=b+3。 问 2　如果我只在左边加 3 克，右边不动，天平还平衡吗？ 答：不平衡。左边偏重，等式被破坏。 问 3　如果我把两边的重量都变为原来的 2 倍，天平还平衡吗？ 答：平衡。此时 2a=2b。 问 4　如果我把两边都乘以 0，天平上还剩什么？ 答：两边都变成 0，等式虽然成立（0=0），但已失去原有信息。这就是「乘 0 是危险变换」——为除法的「除数非零」埋下伏笔。 【核心洞察】天平模型是等式性质的物理化身——两边「同做同一件事」，平衡才不被破坏。这个直观将支撑本节所有推导。 探究二：等式性质 1（同加减） 性质 1（文字语言）　等式两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等。 性质 1（符号语言）　如果 a = b，那么 a ± c = b ± c。 原等式 变形操作 变形后等式 是否仍相等 a = b 两边同加 5 a+5 = b+5 ✓ 仍相等 x + 3 = 7 两边同减 3 x = 4 ✓ 仍相等 2x + 1 = 5 两边同减 1 2x = 4 ✓ 仍相等 a = b 左边加 3，右边加 5 a+3 = b+5 ✗ 不再相等 a = b 两边同加 2a（式也可以） a+2a = b+2a ✓ 仍相等 探究三：等式性质 2（同乘除·除数非零） 性质 2（文字语言）　等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于 0 的数，结果仍相等。 性质 2（符号语言）　 　　如果 a = b，那么 ac = bc； 　　如果 a = b（且 c ≠ 0），那么 = 。 原等式 变形操作 变形后等式 是否仍相等 a = b 两边同乘 3 3a = 3b ✓ 仍相等 2x = 8 两边同除 2 x = 4 ✓ 仍相等 x = 2 两边同乘 3 x = 6 ✓ 仍相等 a = b 两边同除以 0 无意义（0÷0） ✗ 除数为 0 a = b 左乘 2，右乘 3 2a = 3b ✗ 不再相等 【为什么除数不能为 0？】从定义看，除法是乘法的逆运算：a÷c 意味着「找一个数 y 使 cy=a」。若 c=0，则 0·y=a：当 a≠0 时无解，当 a=0 时任意 y 都成立。所以 0 作除数无意义。这不是「规则」，而是逻辑的必然。 探究四：从方程到解——用性质做严谨变形 请你用等式性质，把 x + 3 = 8 变形，最终得到 x = ?，并在每一步右侧写明依据。 步骤 变形过程 依据 原方程 x + 3 = 8 —— 第 1 步 x + 3 − 3 = 8 − 3 两边同减 3（性质 1） 化简 x = 5 合并计算 再用等式性质变形 2x = 10，得到 x = ?，并写明依据。 步骤 变形过程 依据 原方程 2x = 10 —— 第 1 步 2x ÷ 2 = 10 ÷ 2 两边同除 2（性质 2，2≠0） 化简 x = 5 合并计算 【本节最大跃升】从「代数式化简」（值不变）到「等式变形」（等价变换）——这是初中代数最重要的思维跃升。§5.2 的移项本质就是性质 1，系数化为 1 本质就是性质 2。今天种下的公理种子，将开出整个 §5.2 的方程之花。 五、例题精讲 例 1　用等式性质 1 变形 用等式性质 1 将下列方程变形（每一步写出依据）： (1) x + 5 = 12　　(2) x − 4 = 9　　(3) 3x + 7 = 3x + 2 + 5　　(4) 2y + 3 = 11 (1) 解： 　x + 5 = 12 　x + 5 − 5 = 12 − 5　（两边同减 5，性质 1） 　x = 7 (2) 解： 　x − 4 = 9 　x − 4 + 4 = 9 + 4　（两边同加 4，性质 1） 　x = 13 (3) 解（陷阱题·恒等式）： 　3x + 7 = 3x + 2 + 5 　3x + 7 − 3x = 3x + 7 − 3x　（两边同减 3x，性质 1） 　7 = 7 ✓ 恒等式 　结论：此方程对任意 x 都成立，说明它其实是恒等式，不是「求 x」的方程。 (4) 解： 　2y + 3 = 11 　2y + 3 − 3 = 11 − 3　（两边同减 3，性质 1） 　2y = 8　　（还需用性质 2 得 y = 4，见例 2） 例 2　用等式性质 2 变形（含分数） 用等式性质 2 将下列方程变形（每一步写出依据）： (1) 5x = 30　　(2) −3x = 12 (3) x = 6　　(4) −y = 4 (1) 解： 　5x = 30 　5x ÷ 5 = 30 ÷ 5　（两边同除 5，性质 2，5≠0） 　x = 6 (2) 解： 　−3x = 12 　−3x ÷ (−3) = 12 ÷ (−3)　（两边同除 −3，性质 2，−3≠0） 　x = −4 (3) 解： x = 6 　两边同乘 2（性质 2）： x × 2 = 6 × 2 　x = 12 (4) 解： 　−y = 4 　两边同乘 −（性质 2）： 　y = 4 × (−) = −6 【方法提示】系数化为 1 的两种做法：整数系数用除法（如 5x → ÷5），分数系数用乘法（如 → ×2）。目标只有一个——让 x 的系数变成 1。 例 3　★压轴★ 综合应用——从方程到解 用等式性质完整解方程（每一步注明依据）： (1) 3x − 5 = 7　　(2) 2y + 6 = 18　　(3) x + 2 = 5 (1) 解：3x − 5 = 7 　3x − 5 + 5 = 7 + 5　（两边同加 5，性质 1） 　3x = 12 　3x ÷ 3 = 12 ÷ 3　（两边同除 3，性质 2，3≠0） 　x = 4 (2) 解：2y + 6 = 18 　2y + 6 − 6 = 18 − 6　（两边同减 6，性质 1） 　2y = 12 　2y ÷ 2 = 12 ÷ 2　（两边同除 2，性质 2，2≠0） 　y = 6 (3) 解：x + 2 = 5 　两边同减 2（性质 1）： x = 3 　两边同乘 3（性质 2）： 　x = 9 【★★★ 本节最大发现 ★★★】解方程的本质：反复使用性质 1 和性质 2，一步步把方程变成 x = 数。§5.2 学的移项、系数化为 1，本质都是这两条性质的重复使用！ 六、当堂检测 Part 1　性质辨析（5 题） 下列变形是否正确？错误的请指出原因： (1) 由 a = b，得 a + 2 = b + 2　　　　　　　　　　　　　（　　） (2) 由 a = b，得 a − 3 = b + 3　　　　　　　　　　　　　（　　） (3) 由 x + 5 = 10，得 x = 10 − 5　　　　　　　　　　　　（　　） (4) 由 a = b（c ≠ 0），得 = 　　　　　　　　　　　　（　　） (5) 由 3x = 6，得 x = 2（两边同除 3）　　　　　　　　　（　　） 答案： (1) ✓ 性质 1 (2) ✗ 错。左减右加不是「同一操作」，破坏等式 (3) ✓ 性质 1（两边同减 5） (4) ✓ 性质 2（c ≠ 0 已注明） (5) ✓ 性质 2（3 ≠ 0） Part 2　用性质变形（4 题） 用等式性质求解下列方程（写出依据）： (1) x − 7 = 3　　(2) 4x = 20　　(3) 2x + 5 = 13　　(4) x = 6 (1) 解：两边同加 7（性质 1）→ x = 10 (2) 解：两边同除 4（性质 2）→ x = 5 (3) 解：两边同减 5（性质 1）→ 2x = 8；两边同除 2（性质 2）→ x = 4 (4) 解：两边同乘 （性质 2）→ x = 8 Part 3　推理·陷阱识别（3 题） (1) 已知 2a = 2b，能否得 a = b？为什么？ (2) 已知 ac = bc，能否得 a = b？为什么？ (3) 由 x = 3 出发，用性质 1 和性质 2 构造一个新方程，使其解仍为 x = 3。 (1) 答：能。两边同除 2（2 ≠ 0，性质 2） (2) 答：不一定！只有当 c ≠ 0 时才能得到 a = b。若 c = 0，则 0 = 0 对任意 a、b 都成立，无法推出 a = b。★这是「除数非零」的经典考察★ (3) 参考构造：从 x = 3 出发 → 两边同乘 2 得 2x = 6 → 两边同加 5 得 2x + 5 = 11。验证：把 x = 3 代入 2·3 + 5 = 11 ✓ 七、思维导图 + 三大黄金口诀 思维导图·等式性质全景 等式的性质 ├─ 历史根基（欧几里得 300 BC《几何原本》五大公理） │　├─ 公理 1：与同一个量相等的量相等（等量代换） │　├─ 公理 2：等量加等量，其和相等　⇒ 性质 1 │　└─ 公理 3：等量减等量，其差相等　⇒ 性质 1 ├─ 性质 1（同加减） │　├─ 文字：等式两边加（减）同一个数或式 │　├─ 符号：a=b ⇒ a±c=b±c │　└─ 应用：解方程「消去常数项」 ├─ 性质 2（同乘除·除数非零） │　├─ 文字：等式两边乘同一个数，或除以同一个非零数 │　├─ 符号：a=b ⇒ ac=bc；a=b（c≠0）⇒ a/c=b/c │　└─ 应用：解方程「系数化为 1」 ├─ 三查法（执行保障） │　├─ 一查：同一个数/式（不能一边加 3、一边加 5） │　├─ 二查：两边同做（不能只做一边） │　└─ 三查：除法时除数 ≠ 0 └─ 通向 §5.2 解一元一次方程 　　├─ 移项 = 性质 1 　　├─ 合并同类项 = §4.2.1（值不变） 　　└─ 系数化为 1 = 性质 2 三大黄金口诀 图标 口诀 含义 ⚖️ 等式如天平 两边平衡不打破——一切变形都要「同时同做」 🔒 同数同式同操作 同一个数（或式）·同一操作（加/减/乘/除）·同时施加于两边 🚫 除数不能为 0 性质 2 的护身符——0 作除数是逻辑的禁区，不是「规则」 八、分层作业 🅰 基础层（人人过关） A-1　性质辨析（6 题）　下列变形是否正确（正确 ✓/错误 ✗）： ① 由 a = b，得 a + 3 = b + 3　（　　） ② 由 a = b，得 a − 5 = b + 5　（　　） ③ 由 3x = 12，得 x = 4　（　　） ④ 由 a = b，两边同乘 c，得 ac = bc　（　　） ⑤ 由 a = b，两边同除 0，得 0 = 0　（　　） ⑥ 由 x + 2 = 6，得 x = 6 − 2 = 4　（　　） 答：①✓ ②✗ ③✓ ④✓ ⑤✗（除数为 0） ⑥✓ A-2　用性质解方程（5 题）　写出每一步依据： ① x + 6 = 15　　② x − 8 = 3　　③ 6x = 42 ④ x = 5　　⑤ 5x + 3 = 18 ① 两边同减 6（性质 1）→ x = 9 ② 两边同加 8（性质 1）→ x = 11 ③ 两边同除 6（性质 2）→ x = 7 ④ 两边同乘 4（性质 2）→ x = 20 ⑤ 两边同减 3（性质 1）→ 5x = 15；两边同除 5（性质 2）→ x = 3 A-3　填空（3 题）　填入依据（性质 1 或性质 2） ① 由 2x − 3 = 7 得 2x = 10，用了　　　　；再得 x = 5，用了　　　　。 ② 由 x = 4 得 x = 12，用了　　　　。 ③ 由 4x + 8 = 20 得 x = 3 的两步依据分别是　　　　、　　　　。 答：① 性质 1、性质 2　② 性质 2　③ 性质 1、性质 2 🅱 提高层（选做） B-1　含参数变形（3 题）　 ① 若 3a = 3b，能否得 a = b？为什么？ ② 若 ka = kb（k 为常数），能否得 a = b？请分类讨论。 ③ 若 = ，能否得 a = b？为什么？ ① 能。两边同除 3（3 ≠ 0，性质 2） ② 分类：k ≠ 0 时能（性质 2）；k = 0 时 0 = 0 恒成立，a、b 未必相等。★除数非零的经典陷阱★ ③ 能。两边同乘 3（性质 2），得 a = b。 B-2　多步综合（3 题）　 ① 用性质解：−2x + 5 = 11 ② 用性质解：3(x − 1) = 12（提示：先除，再加） ③ 用性质解：x − 1 = 5 ① 两边同减 5：−2x = 6；两边同除 −2：x = −3 ② 两边同除 3：x − 1 = 4；两边同加 1：x = 5 ③ 两边同加 1：x = 6；两边同乘 ：x = 9 B-3　逆向命题（3 题）　 ① 请构造一个方程，其解为 x = 5，且需要「先用性质 1，再用性质 2」两步。 ② 请构造一个方程，其解为 x = −2，且需要用到「乘以负数」这一步。 ③ 请构造一个「假等式变形」，使不细心的同学容易上当，并指出错在哪里。 参考答案： ① 例：3x − 4 = 11 → 两边同加 4 → 3x = 15 → 两边同除 3 → x = 5 ✓ ② 例：−4x + 3 = 11 → 两边同减 3 → −4x = 8 → 两边同除 −4 → x = −2 ✓ ③ 例：由 5a = 5b 直接得 a = b（若 5 换成 0 则不成立·陷阱题：命题「若 ca = cb，则 a = b」，缺少 c ≠ 0 的前提） 🅲 挑战层（学有余力，敢来挑战？） 🅲-1　含参陷阱题　若方程 (a − 2)x = 3 关于 x 有唯一解，则 a 需要满足什么条件？为什么？ 解：要用性质 2 得到 x = ，需要 a − 2 ≠ 0，即 a ≠ 2。 追问：如果 a = 2，方程变成 0·x = 3，即 0 = 3——★矛盾，方程无解★。 ★结论：a ≠ 2 时方程有唯一解 x = 3/(a−2)；a = 2 时方程无解。这是「除数非零」在解方程时的直接体现。 🅲-2　等量代换连锁　已知 3a = 2b，2b = 5c，且 3a + 5c = 24，求 a、b、c 各是多少？ 解（性质应用综合）： 由 3a = 2b 且 2b = 5c，得 3a = 5c（等量代换·欧几里得公理 1）。 代入 3a + 5c = 24：5c + 5c = 24，即 10c = 24。 两边同除 10（性质 2）：c = 2.4； 由 2b = 5c = 12，两边同除 2（性质 2）：b = 6； 由 3a = 12，两边同除 3（性质 2）：a = 4。 答：a = 4，b = 6，c = 2.4。★这道题用了 5 次性质 2 + 1 次公理 1（等量代换）★ 🅲-3　★★★ 欧几里得公理仿写（第 5 章第 2 节大结局）　 欧几里得《几何原本》五大公理之一：「与同一量相等的量彼此相等」（等量代换）。请你仿写一条自己的「代数公理」，要求： ① 一句话陈述，含「等式」「等量」「加/减/乘/除」中至少三个关键词； ② 用符号语言表达（如 a = b, b = c ⇒ ?）； ③ 举一个初中数学中「用到你这条公理」的实例； ④ 给这条公理起个响亮的名字。 参考仿写 1（等量代换 + 性质结合）： 　名字：★等量三段律★ 　文字：若 a = b，且 b = c，则对任意数 k，有 a + k = c + k。 　符号：a = b, b = c ⇒ a + k = c + k（k 为任意数） 　实例：解 x + 3 = 8，由等式两边同减 3：x + 3 − 3 = 8 − 3，即 x = 5。 参考仿写 2（乘除拓展）： 　名字：★放缩守恒律★ 　文字：若两个量相等，把它们同时放大或缩小同样多倍（倍数不为 0），仍然相等。 　符号：a = b, c ≠ 0 ⇒ ac = bc, a/c = b/c 　实例：由 x = 4，两边同乘 2（放大 2 倍），得 x = 8。 ★★★ 教师寄语：欧几里得用五大公理奠定了 2300 年数学的地基。你今天写下的每一条公理，都是站在欧几里得的肩膀上——从「使用者」变成「构造者」。这就是数学思维的最高境界。 九、反思 反思维度 我的收获 ① 概念理解 我知道等式的两条性质分别是：　　　　　 ② 方法掌握 我会用性质做变形的关键三步：　　　　 ③ 易错点 我最容易犯的错误是：　　　　 ④ 数学史 我记住的历史人物和年代：　　　　 ⑤ 章节联系 等式性质与 §5.2 解方程的关系：　　　　 ⑥ 待解决问题 我还想弄清楚的问题是：　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $