1.3 勾股定理的应用 教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的应用，涵盖用逆定理检验垂直、圆柱侧面最短路径转化及折叠问题构造直角三角形列方程。以“蚂蚁爬圆柱”情境导入，搭建从定理到实际问题的学习支架，衔接勾股定理基础与应用场景。 资料以检验垂直、折叠纸片、圆柱最短路径等生活化问题为载体，渗透“化曲为直”“方程思想”，通过展开圆柱侧面、折叠对称构造直角三角形，培养学生几何直观与空间观念。融入《九章算术》实例，增强文化认同，助力教师高效突破重难点，提升学生用数学思维解决实际问题的能力。

1.3 勾股定理的应用 2026—2027学年 北师大版八年级数学上册 课时：1课时 一、教学目标 1. 能说出用勾股定理及其逆定理判断直角、检验两条边是否垂直的基本步骤。 1. 会把曲面（圆柱侧面）上的最短路径问题转化为平面上的两点间距离问题，理解“化曲为直”。 1. 能在折叠、测量等简单情境中构造直角三角形，用勾股定理列方程求解未知线段。 二、教学重点与难点 重点：用勾股定理及逆定理解决实际问题；圆柱侧面展开求最短路径。 难点：把曲面、折叠等情境转化为平面直角三角形模型。 三、教学过程 （一）情境导入 出示问题：一个圆柱形水杯，高12cm，底面周长是18cm。杯底A处有一只蚂蚁，想爬到杯口正对面B处吃食物，怎样爬路程最短？ 让学生先猜一猜、同桌议一议，再点明：这类“曲面上最短路线”问题，可以借助勾股定理解决。由此引入课题。 （二）探究新知 问题1（检验垂直）：装修工人要检验砖的边AD、BC是否垂直于边AB，手边只有卷尺。怎么办？ 引导：若测得AB、AD和对角线BD三条边长，满足AB²＋AD²＝BD²，则∠A＝90°，即AD⊥AB。 追问：若只带一把20cm的刻度尺，不能一次量出较长的边，可在AB上取AE＝3cm、AD上取AF＝4cm，再量EF。若EF＝5cm，则由3²＋4²＝5²可知∠A＝90°。这里用到常见勾股数3、4、5。 问题2（纸片折叠）：正方形纸片ABCD边长为8cm，E是AD中点。将纸片翻折，使点C落到点E，折痕交AB于G、交CD于F，求DF的长。 分析：翻折后点C与点E关于折痕FG对称，故FE＝FC。设DF＝x cm，则FC＝8−x，FE＝8−x。 在Rt△CDE中，DE＝4cm，DC＝8cm，由勾股定理得 CE²＝4²＋8²＝80。 在Rt△FDE中，DE＝4，DF＝x，FE＝8−x，列方程：x²＋4²＝(8−x)²，解得 x＝3。所以 DF＝3cm。 问题3（最短路径）：圆柱高12cm、底面周长18cm，A在底面，B在顶面且与A相对，求侧面最短路程。 方法：沿一条母线把圆柱侧面展开，得到一个长方形（长＝底面周长18cm，宽＝高12cm）。A在展开图下边缘，B在上边缘且与A水平相距半周长 18÷2＝9cm。 连接AB，在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝9cm，由勾股定理：AB＝√(12²＋9²)＝√(144＋81)＝√225＝15cm。即最短路程为15cm。 归纳：曲面上两点间的最短路径，常通过“展开”转化为平面上“两点之间线段最短”，再用勾股定理计算，体现“化曲为直”的思想。 （三）例题巩固 例（《九章算术》水池问题）：正方形水池边长为1丈（10尺），池中央一根芦苇高出水面1尺；把芦苇拉向岸边，顶端恰好到达岸边水面。求水深和芦苇长。 建模：设水深x尺，则芦苇长(x＋1)尺。池中心到岸的水平距离为10÷2＝5尺。 在由水深、水平距离、芦苇构成的直角三角形中，由勾股定理：x²＋5²＝(x＋1)²，即 x²＋25＝x²＋2x＋1，解得 x＝12。 所以水深12尺，芦苇长13尺。检验：5²＋12²＝25＋144＝169＝13²，符合。 （四）课堂小结 1. 检验垂直：测三边，用逆定理判断是否满足 a²＋b²＝c²。 1. 求曲面最短路径：展开成平面，确定两点位置，用勾股定理算线段长。 1. 折叠问题：利用“对应点连线被折痕垂直平分”，结合勾股设定未知数列方程。 四、板书设计 1. 检验垂直 2. 最短路径（展开） 3. 折叠问题 AB²+AD²=BD² 长方形：长=周长 FE=FC（对称） 3-4-5 构造直角 半周长定水平位移 设DF=x 列方程 x²+4²=(8-x)² 核心公式：a²＋b²＝c²（直角三角形三边关系） 五、教学反思 优点：以“蚂蚁爬圆柱”导入，学生兴趣较高；通过检验垂直、纸片折叠、最短路径三个贴近生活的例子，把勾股定理的应用落实到“构造直角三角形、列方程、展开转化”几个具体动作上，学生参与度和达成度较好。 不足与改进：一是对“展开图中点的定位”（如半周长的由来）部分学生理解不牢，下节课可补一个“给出不同高度点B”的变式，让学生自己标坐标、算位移；二是折叠问题设元列方程仍是薄弱点，可再增加一道“设CF=y”的同类练习，引导学生对比两种设元方式，体会方程思想。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $